For the relation on A={1,2,3,4,5,6} defined by “a and b are both multiples of 3 or both are not multiples of 3”, which statement is true?A={1,2,3,4,5,6} पर संबंध “a और b दोनों 3 के गुणज हैं या दोनों 3 के गुणज नहीं हैं” द्वारा परिभाषित है। कौन सा कथन सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The relation is not antisymmetricसंबंध प्रति-सममित नहीं है
The correct answer is C. The definition separates A into two groups: multiples of 3, {3,6}, and nonmultiples of 3, {1,2,4,5}. Two elements are related exactly when they lie in the same group. This makes the relation reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation. It is not antisymmetric: for example, 1 and 2 are distinct, but both 1R2 and 2R1 are true because neither is a multiple of 3. A is therefore false. B is false because the definition is unchanged when a and b are interchanged. D is false because the two groups produce two equivalence classes, not six. A memory cue is that equivalence classes collect elements with the same stated property; here the property is ‘multiple of 3’ versus ‘not a multiple of 3’.सही उत्तर C है। यह परिभाषा A को दो समूहों में बाँटती है: 3 के गुणज {3,6} और 3 के गैर-गुणज {1,2,4,5}। दो तत्व तभी संबंधित हैं जब वे एक ही समूह में हों। इसलिए प्रत्येक तत्व अपने ही समूह में है, उलटे क्रम में भी संबंध बना रहता है और एक ही समूह में होने का गुण संक्रामक है। अतः यह तुल्यता संबंध है। फिर भी यह प्रति-सममित नहीं है। उदाहरण के लिए 1 और 2 अलग-अलग हैं, लेकिन 1R2 तथा 2R1 दोनों सत्य हैं, क्योंकि दोनों 3 के गुणज नहीं हैं। इसलिए A गलत है। B गलत है क्योंकि a और b को बदलने पर शर्त नहीं बदलती। D गलत है क्योंकि केवल दो तुल्यता वर्ग हैं, छह नहीं। याद रखने का तरीका है: ऐसी समान-गुण वाली परिभाषा अक्सर वर्ग बनाती है; यहाँ वर्ग ‘गुणज’ और ‘गैर-गुणज’ हैं।
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