On R, define aRb if and only if a−b is rational. What is the equivalence class of √2?R पर aRb तभी परिभाषित है जब a−b परिमेय हो। √2 का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: [√2] = {√2 + q : q ∈ Q}[√2] = {√2 + q : q ∈ Q}
The correct answer is A. By definition, the equivalence class of √2 consists of all real numbers x that are related to √2. The condition xR√2 means x−√2 is rational. If x−√2=q, where q∈Q, then x=√2+q. Conversely, every number of the form √2+q has difference q from √2, which is rational, so it belongs to the class. Therefore [√2]={√2+q:q∈Q}. Option B is only the set of rational numbers and does not contain √2+1, for example. Option C is too small because √2+1 and √2−2 also qualify. Option D contains all irrational numbers, but not every irrational number has a rational difference from √2. The key step is always to solve the relation condition for the unknown member x.सही उत्तर A है। √2 का तुल्यता वर्ग उन सभी वास्तविक संख्याओं x का समुच्चय है जो √2 से संबंधित हैं। संबंध की परिभाषा के अनुसार xR√2 तभी होगा जब x−√2 परिमेय हो। यदि x−√2=q, जहाँ q∈Q, तो x=√2+q मिलेगा। उलटे, √2+q के लिए √2+q−√2=q परिमेय है, इसलिए ऐसा प्रत्येक x वर्ग में अवश्य होगा। अतः [√2]={√2+q:q∈Q}। विकल्प B केवल परिमेय संख्याओं का समुच्चय है और √2+1 जैसी संख्या को नहीं दर्शाता। विकल्प C बहुत छोटा है, क्योंकि √2+1 और √2−2 भी वर्ग में हैं। विकल्प D सभी अपरिमेय संख्याएँ लेता है, पर हर अपरिमेय संख्या का √2 से अंतर परिमेय नहीं होता। मुख्य उपाय है कि संबंध की शर्त को x के लिए हल करें।
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