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On (\mathbb{Z}), (a*b=a+b+ab). Why does this operation not form a group on the whole set?समुच्चय (\mathbb{Z}) पर (a*b=a+b+ab) दिया है। यह संक्रिया किस कारण से पूर्ण समूह नहीं बनाती?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Some elements have no inverseकुछ अवयवों के प्रतिलोम नहीं हैं
Step 1: The operation is closed in (\mathbb{Z}) and associative. Step 2: The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives (x=\frac{-a}{1+a}). Step 3: For (a=1), (x=-\frac{1}{2}), not an integer, so not every element has an inverse.चरण 1: संक्रिया (\mathbb{Z}) में बंद है और साहचर्य भी है। चरण 2: तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से (x=\frac{-a}{1+a}) मिलता है। चरण 3: (a=1) पर (x=-\frac{1}{2}), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते।
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