If (A) has (n) elements, how many commutative binary operations can be defined on (A)?यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (n^{\frac{n(n+1)}{2}})(n^{\frac{n(n+1)}{2}})
Step 1: In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value. Step 2: The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). Step 3: Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is (n^{\frac{n(n+1)}{2}}).चरण 1: क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। चरण 2: स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 3: हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ (n^{\frac{n(n+1)}{2}}) होंगी।
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