When is (\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x) true?(\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x) कब सत्य है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: When (x\in[-1,1])जब (x\in[-1,1])
The governing complementary-angle identity is sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2. Rearranging gives cos⁻¹x = π/2 − sin⁻¹x. Both inverse functions must have real values, and the real domain of each is −1 ≤ x ≤ 1. Thus the identity is true precisely for x ∈ [−1, 1], making option A correct. The endpoints are included because sin⁻¹(±1) and cos⁻¹(±1) are defined. Option B is too broad: inverse sine and inverse cosine are not real for every real x. Options C and D lie outside the real domain and therefore cannot satisfy the stated real-valued identity.यहाँ लागू मुख्य पूरक-कोण पहचान है: sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर cos⁻¹x = π/2 − sin⁻¹x प्राप्त होता है। दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के वास्तविक मान तभी मिलते हैं जब −1 ≤ x ≤ 1 हो। इसलिए यह पहचान ठीक x ∈ [−1, 1] के लिए सत्य है और विकल्प A सही है। दोनों सिरों को शामिल किया जाता है, क्योंकि sin⁻¹(1), sin⁻¹(−1), cos⁻¹(1) और cos⁻¹(−1) सभी परिभाषित हैं। विकल्प B बहुत व्यापक है, क्योंकि ये फलन प्रत्येक वास्तविक x के लिए वास्तविक नहीं होते। विकल्प C और D वास्तविक डोमेन से बाहर हैं।
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