What is cos⁻¹(−x) equal to, where x ∈ [−1,1]?cos⁻¹(−x) किसके बराबर है, जहाँ x ∈ [−1,1]?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: π − cos⁻¹xπ − cos⁻¹x
The governing identity on the principal branch of inverse cosine is cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x for x ∈ [−1,1]. Let α = cos⁻¹x. Then α lies in [0,π] and cos α = x. Using the cosine identity, cos(π − α) = −cos α = −x. Also, π − α remains in [0,π], the principal range of cos⁻¹. Therefore cos⁻¹(−x) = π − α = π − cos⁻¹x, so option C is correct. Option A incorrectly treats arccos as an odd function; it is not. Option B ignores the sign change, and option D is a sine-related shift that does not generally have cosine −x. The range condition is what makes the identity unambiguous.प्रतिलोम कोसाइन की मुख्य शाखा के लिए पहचान है: cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x, जहाँ x ∈ [−1,1]। α = cos⁻¹x मानें। तब α ∈ [0,π] और cos α = x होता है। अब cos(π − α) = −cos α = −x। साथ ही π − α भी [0,π] के मुख्य परिसर में रहता है। इसलिए cos⁻¹(−x) = π − α = π − cos⁻¹x, अतः विकल्प C सही है। विकल्प A यह मानकर चलता है कि arccos विषम फलन है, लेकिन प्रतिलोम कोसाइन विषम नहीं है। विकल्प B ऋणात्मक चिन्ह के प्रभाव को अनदेखा करता है। विकल्प D का संबंध इस पहचान से नहीं है और वह सामान्यतः ऐसी कोण-मान नहीं देता जिसका कोसाइन −x हो। दिए गए अंतराल की शर्त मुख्य मान को निश्चित करती है और पहचान को सभी मान्य x पर लागू बनाती है।
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