What is (\tan^{-1}x+\cot^{-1}x), where (x>0)?(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x) का मान क्या है, जहाँ (x>0)?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\frac{\pi}{2})(\frac{\pi}{2})
The governing concept is the principal-value identity for inverse tangent and inverse cotangent. For a positive real number x, let θ = tan⁻¹x. Then θ lies in (0, π/2), and cot⁻¹x is the complementary angle π/2 − θ under the standard Class 12 principal-value convention. Therefore tan⁻¹x + cot⁻¹x = θ + (π/2 − θ) = π/2. Hence option B is correct. Option A would occur only for a particular value such as x = 1, not for every positive x. Options C and D ignore the complementary principal-value relationship. The restriction x > 0 also avoids sign-related branch complications.यहाँ लागू मुख्य अवधारणा प्रतिलोम स्पर्शज्या और प्रतिलोम कोटिज्या के मुख्य मानों का संबंध है। x > 0 के लिए θ = tan⁻¹x मान लें। तब θ का मान (0, π/2) में होता है और मानक मुख्य-मान परिभाषा के अनुसार cot⁻¹x = π/2 − θ होता है। इसलिए tan⁻¹x + cot⁻¹x = θ + (π/2 − θ) = π/2। अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प A केवल x = 1 जैसे किसी विशेष मान पर मिल सकता है, प्रत्येक धनात्मक x के लिए नहीं। विकल्प C और D पूरक कोण वाले संबंध की उपेक्षा करते हैं। x > 0 की शर्त शाखा और चिह्न से जुड़ी संभावित उलझन को भी दूर करती है।
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