If \(x\in[-1,1]\), what is \(\cos(\cos^{-1}x)\) equal to?यदि \(x\in[-1,1]\) हो तो \(\cos(\cos^{-1}x)\) किसके बराबर है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: xx
The function \(\cos^{-1}x\) returns the principal angle \(\theta\in[0,\pi]\) such that \(\cos\theta=x\). Therefore \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). Option B (|x|) is incorrect because \(x\) may be negative and composition does not take absolute value. Option C (\(\cos^{-1}x\)) is an angle, not the original numeric value \(x\). Option D (\(-x\)) is also incorrect. Exam tip: remember domain/range restrictions — \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) on \([-1,1]\), whereas \(\cos^{-1}(\cos y)\) equals \(y\) only when \(y\in[0,\pi]\).\(\cos^{-1}x\) वह कोण देता है (principal value) जो \(\cos\) के द्वारा \(x\) देता है; इस कोण की मात्रा \(\theta\) सदैव \([0,\pi]\) में होती है और \(\cos\theta=x\) होता है। अतः \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प B (\(|x|\)) गलत है क्योंकि \(x\) ऋणात्मक भी हो सकता है पर \(\cos(\cos^{-1}x)\) उसे बदलकर धनात्मक नहीं कर देता। विकल्प C (\(\cos^{-1}x\)) गलत है क्योंकि वह कोण है न कि वही संख्या \(x\)। विकल्प D (\(-x\)) भी गलत है। परीक्षा टिप: ध्यान रखें कि \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) के लिए आवश्यक डोमेन \([-1,1]\) है, पर \(\cos^{-1}(\cos y)\) हमेशा \(y\) के बराबर नहीं होता — वह \([0,\pi]\) में प्रिंसिपल वैल्यू देता है।
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