For a real number \(x\), in which interval does the principal value of \(\tan^{-1}x\) lie?वास्तविक संख्या \(x\) के लिए \(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान किस अंतराल में होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)\(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
The principal value of \(\tan^{-1}x\) is always chosen from \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). In this interval, \(\tan\theta\) is one-to-one, so every real \(x\) corresponds to exactly one angle. Option C is incorrect because \(\tan\theta\) is undefined at \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\). Exam tip: the endpoint angles are never included in the principal-value range of \(\tan^{-1}x\).\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान हमेशा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में लिया जाता है। इस अंतराल में \(\tan \theta\) एक-एक फलन है और प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक ही कोण देता है। विकल्प C सही नहीं है, क्योंकि \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan\theta\) अपरिभाषित होता है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के लिए सिरों वाले कोण कभी शामिल नहीं होते।
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