What is cos⁻¹(−x) equal to when x ∈ [−1, 1]?जब x ∈ [−1, 1] हो, तब cos⁻¹(−x) किसके बराबर होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: π − cos⁻¹xπ − cos⁻¹x
Let θ = cos⁻¹x. By definition, θ lies in the principal range [0, π] and cos θ = x. Using the identity cos(π − θ) = −cos θ, we obtain cos(π − θ) = −x. Since π − θ also lies in [0, π], it is the principal angle whose cosine is −x. Therefore cos⁻¹(−x) = π − θ = π − cos⁻¹x, so option A is correct. The expression −cos⁻¹x is generally outside the principal range and incorrectly treats arccos as an odd function. Option C does not follow from the cosine subtraction identity, and option D would incorrectly claim that arccos has the same value for x and −x. The domain condition ensures both inverse values are real.मान लें θ = cos⁻¹x। परिभाषा के अनुसार θ का मुख्य परिसर [0, π] है और cos θ = x। अब पहचान cos(π − θ) = −cos θ से cos(π − θ) = −x प्राप्त होता है। साथ ही π − θ भी [0, π] में स्थित है, इसलिए यही वह मुख्य कोण है जिसका कोज्या −x है। अतः cos⁻¹(−x) = π − θ = π − cos⁻¹x और विकल्प A सही है। −cos⁻¹x सामान्यतः मुख्य परिसर से बाहर हो सकता है और यह गलत रूप से प्रतिलोम कोज्या को विषम फलन मानता है। विकल्प C कोज्या की किसी उपयुक्त पहचान से प्राप्त नहीं होता, जबकि विकल्प D x और −x के लिए समान मान मानता है, जो सही नहीं है। दी गई सीमा यह सुनिश्चित करती है कि दोनों मान वास्तविक हों।
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