What is the value of \(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\)?\(\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: -\(\frac{\pi}{4}\)-\(\frac{\pi}{4}\)
Direct answer: option A, \(-\frac\pi4\). First evaluate the inner value: \(\sin(-\frac\pi4)=-\frac{\sqrt2}{2}\). Now inverse sine asks for the principal angle having that sine. Because \(-\frac\pi4\) already lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\), namely \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\), the outer function returns the same angle: \(\sin^{-1}(\sin(-\frac\pi4))=-\frac\pi4\). A is correct. B changes the sign and has positive sine. C, \(-\frac{3\pi}4\), is outside the principal range. D is positive and also outside that range. The inverse function does not always cancel sine, but it does here because the original angle is in the required range. Memory cue: for sine, keep angles between -90° and 90° unchanged.सीधा उत्तर: विकल्प A, \(-\frac\pi4\)। पहले अंदर का मान निकालें: \(\sin(-\frac\pi4)=-\frac{\sqrt2}{2}\)। अब प्रतिलोम ज्या ऐसा मुख्य कोण देती है जिसकी ज्या यही संख्या हो। चूँकि \(-\frac\pi4\), प्रतिलोम ज्या की मुख्य सीमा \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\) में पहले से है, बाहरी फलन वही कोण लौटाता है: \(\sin^{-1}(\sin(-\frac\pi4))=-\frac\pi4\)। A सही है। B में चिह्न बदल गया है और उसकी ज्या धनात्मक होगी। C \(-\frac{3\pi}4\) मुख्य सीमा से बाहर है। D धनात्मक होने के साथ सीमा से भी बाहर है। प्रतिलोम फलन हमेशा सीधे रद्द नहीं करते; यहाँ ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि मूल कोण मुख्य सीमा में है। याद रखें: ज्या के लिए -90° से 90° के भीतर का कोण अपरिवर्तित रहता है।
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