What is the value of \(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\)?निम्नलिखित का मान क्या है: \(\tan^{-1}\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\)?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(-\frac{\pi}{3}\)\(-\frac{\pi}{3}\)
The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा।
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