Which expression is defined as a real number?कौन सा व्यंजक वास्तविक संख्या के रूप में परिभाषित है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\tan^{-1}5\)\(\tan^{-1}5\)
The direct answer is option C: \(\tan^{-1}5\) is a real number. In inverse trigonometric functions, the input must belong to the function's domain. Since tangent can take every real value, \(\tan^{-1}x\) is defined for every real x; therefore 5 is allowed. Option A, \(\sin^{-1}2\), is not real because sine values lie only from -1 to 1, and 2 is outside that interval. Option B, \(\cos^{-1}(-3/2)\), is not real because cosine also has range [-1,1], while \(-3/2\) is less than -1. Option D, \(\sec^{-1}(1/2)\), is not real under the usual real inverse-secant definition because secant values have absolute value at least 1; \(|1/2|<1\). Thus C alone is defined in the reals. Memory cue: check the input range before using an inverse trigonometric function.सीधा उत्तर विकल्प C है: \(\tan^{-1}5\) वास्तविक संख्या के रूप में परिभाषित है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन में दिया गया input उसके domain में होना चाहिए। tangent हर वास्तविक मान ले सकता है, इसलिए \(\tan^{-1}x\) हर वास्तविक x के लिए परिभाषित है; अतः 5 स्वीकार्य है। विकल्प A, \(\sin^{-1}2\), वास्तविक नहीं है क्योंकि sine का मान केवल -1 से 1 के बीच होता है और 2 इस सीमा से बाहर है। विकल्प B, \(\cos^{-1}(-3/2)\), भी वास्तविक नहीं है क्योंकि cosine की सीमा [-1,1] है, जबकि \(-3/2\) -1 से छोटा है। विकल्प D, \(\sec^{-1}(1/2)\), सामान्य वास्तविक परिभाषा में मान्य नहीं है, क्योंकि secant के मान का परिमाण कम से कम 1 होता है, जबकि \(|1/2|<1\)। इसलिए केवल C सही है। याद रखें: inverse trigonometric expression में पहले input की range जाँचें।
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