What condition on x makes sin⁻¹x real?sin⁻¹x को वास्तविक बनाने के लिए x पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: −1 ≤ x ≤ 1−1 ≤ x ≤ 1
For a real number y, sin y always lies between −1 and 1 inclusive. Therefore the inverse sine equation sin y = x has a real solution only when x belongs to the interval [−1, 1]. The endpoints are included because sin(−π/2) = −1 and sin(π/2) = 1. Hence the required condition is −1 ≤ x ≤ 1, making option A correct. Values greater than 1 or less than −1 cannot be outputs of the real sine function, so options B and C are impossible. Option D is false because inverse sine is not real for every real input; for example, sin⁻¹2 has no real value. This interval is the real domain of the principal inverse sine function.किसी वास्तविक कोण y के लिए sin y का मान सदैव −1 और 1 के बीच, दोनों सिरों सहित, होता है। इसलिए समीकरण sin y = x का वास्तविक हल तभी संभव है जब x, [−1, 1] अंतराल में हो। दोनों सिरों को शामिल किया जाता है क्योंकि sin(−π/2) = −1 और sin(π/2) = 1। अतः आवश्यक शर्त −1 ≤ x ≤ 1 है और विकल्प A सही है। 1 से बड़े या −1 से छोटे मान वास्तविक ज्या फलन के मान नहीं हो सकते, इसलिए विकल्प B और C असंभव हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि sin⁻¹x प्रत्येक वास्तविक x के लिए वास्तविक नहीं होता; उदाहरण के लिए sin⁻¹2 का कोई वास्तविक मान नहीं है।
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