What is the horizontal limiting value of tan⁻¹x when x is very large and negative?जब x बहुत बड़ा ऋणात्मक हो, तब tan⁻¹x का क्षैतिज आसन्न मान क्या होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: −π/2−π/2
The principal range of tan⁻¹x is (−π/2, π/2). As x becomes increasingly negative, the angle in this range whose tangent equals x approaches the lower endpoint −π/2. In limit notation, lim x→−∞ tan⁻¹x = −π/2. Thus option A is correct. The value is approached from above; it is a horizontal asymptotic value rather than a value attained at a finite input. Option B is the corresponding limit when x→+∞, so its sign is wrong here. Option C would describe behavior near x = 0, not at negative infinity, and option D lies outside the principal range of arctangent. The sign and the direction of infinity are both essential in identifying the correct limit.tan⁻¹x का मुख्य परिसर (−π/2, π/2) होता है। जब x लगातार अधिक ऋणात्मक होता जाता है, तब इस परिसर में वह कोण, जिसकी स्पर्शज्या x के बराबर है, −π/2 के निकट पहुँचता है। सीमा के रूप में लिखें तो lim x→−∞ tan⁻¹x = −π/2। इसलिए विकल्प A सही है। यह मान किसी सीमित x पर प्राप्त नहीं होता, बल्कि x के ऋणात्मक अनंत की ओर जाने पर इसके निकट पहुँचा जाता है; इसलिए इसे क्षैतिज आसिम्प्टोटिक मान कहते हैं। x→+∞ पर सीमा π/2 होती, इसलिए विकल्प B का चिह्न गलत है। विकल्प C, x के शून्य के निकट व्यवहार से संबंधित है और विकल्प D tan⁻¹ के मुख्य परिसर में भी नहीं है।
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