What is the domain of \(\tan^{-1}(x^2+1)\)?\(\tan^{-1}(x^2+1)\) का डोमेन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\mathbb{R})(\mathbb{R})
The governing domain fact is that tan⁻¹u, or arctan u, is defined for every real number u. The tangent function itself has restrictions, but its inverse has real domain all of ℝ. Since x² + 1 is real for every real x, substituting u = x² + 1 creates no additional restriction on x. Although x² + 1 is always at least 1, that describes the range of the inner expression, not the domain of the complete composite function. Therefore the domain is ℝ and option A is correct. Options B, C, and D impose restrictions that are not required for arctan; in particular, [1, ∞) is only the set of possible inner values.यहाँ मुख्य तथ्य है कि tan⁻¹u अर्थात arctan u प्रत्येक वास्तविक u के लिए परिभाषित होता है। मूल tangent फलन पर कुछ प्रतिबंध होते हैं, लेकिन उसका प्रतिलोम वास्तविक संख्याओं के पूरे समुच्चय ℝ पर परिभाषित है। x का कोई भी वास्तविक मान लेने पर x² + 1 भी वास्तविक रहता है, इसलिए संयुक्त फलन पर x के लिए कोई अतिरिक्त शर्त नहीं लगती। यद्यपि x² + 1 का मान हमेशा 1 या उससे अधिक होता है, यह केवल अंदर वाले व्यंजक का परास है, पूरे फलन का डोमेन नहीं। इसलिए सही डोमेन ℝ और सही विकल्प A है। विकल्प B, C और D अनावश्यक प्रतिबंध लगाते हैं; विशेष रूप से [1, ∞) आंतरिक व्यंजक के संभावित मानों का समुच्चय है।
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