Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{62}{2^4\cdot 5^3\cdot 31}\). Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(62=2\cdot 31\) है इसलिए (31) कट जाता है और सरल हर \(2^3\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें।
Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{58}{2^3\cdot 5^2\cdot 29}\). Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(58=2\cdot 29\) है इसलिए (29) कट जाता है और सरल हर \(2^2\cdot 5^2\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें।
Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{38}{2^2\cdot 5^3\cdot 19}\). Since \(38=2\cdot 19\), the factor (19) cancels and the reduced denominator is \(2\cdot 5^3\). Even if an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(38=2\cdot 19\), इसलिए (19) कट जाता है और सरल हर \(2\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो भी पहले कटौती देखें।
\(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
An extra prime factor may cancel with the numerator. चरण 1: \(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है।
The reduced denominator is (2), so the decimal terminates. In the other options, factors like (3) or (7) do not cancel completely.
Step 3
Exam Tip
Such questions test whether you reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\) हो जाता है। चरण 2: सरलतम रूप में हर (2) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी विकल्पों में (3) या (7) जैसे गुणनखंड पूरी तरह नहीं कटते। चरण 3: ऐसे प्रश्न सरलतम रूप की जाँच करवाते हैं।
The numerator \(77=7\cdot 11\), so the factor (7) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator becomes \(2^3\cdot 5^2\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
In tricky questions, extra denominator factors may cancel with the numerator. चरण 1: अंश \(77=7\cdot 11\) है, इसलिए हर का (7) कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^3\cdot 5^2\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: कठिन विकल्पों में हर के अतिरिक्त गुणनखंड अंश से कट सकते हैं।
In the second option the second equation is (3) times the first. Therefore both are the same line and the pair is dependent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x-2y=5) और (3x-6y=15) / (x-2y=5) and (3x-6y=15). In the second option the second equation is (3) times the first. Therefore both are the same line and the pair is dependent.
Step 3
Exam Tip
दूसरे विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है।
In the first option (1/2=4/8) but (6/13) is different. Therefore the lines are distinct parallel.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+4y=6) और (2x+8y=13) / (x+4y=6) and (2x+8y=13). In the first option (1/2=4/8) but (6/13) is different. Therefore the lines are distinct parallel.
Step 3
Exam Tip
पहले विकल्प में (1/2=4/8) लेकिन (6/13) अलग है। इसलिए रेखाएं अलग समानांतर हैं।
In the fourth option \(1/2 \ne 3/5\) so there is one unique solution. This identifies a consistent and independent pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (x+3y=8) और (2x+5y=11) / (x+3y=8) and (2x+5y=11). In the fourth option \(1/2 \ne 3/5\) so there is one unique solution. This identifies a consistent and independent pair.
Step 3
Exam Tip
चौथे विकल्प में \(1/2 \ne 3/5\) इसलिए एक अद्वितीय हल है। यही संगत और स्वतंत्र युग्म की पहचान है।
In the third option \(4/2 \ne 1/3\) so the lines intersect. Intersecting lines give one unique solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4x+y=8) और (2x+3y=7) / (4x+y=8) and (2x+3y=7). In the third option \(4/2 \ne 1/3\) so the lines intersect. Intersecting lines give one unique solution.
Step 3
Exam Tip
तीसरे विकल्प में \(4/2 \ne 1/3\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं।
In the second option (1/2=2/4) but (7/15) is different. Therefore the lines are parallel and have no solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x+2y=7) और (2x+4y=15) / (x+2y=7) and (2x+4y=15). In the second option (1/2=2/4) but (7/15) is different. Therefore the lines are parallel and have no solution.
Step 3
Exam Tip
दूसरे विकल्प में (1/2=2/4) लेकिन (7/15) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है।
In the first option the second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+y=5) और (2x+2y=10) / (x+y=5) and (2x+2y=10). In the first option the second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
Step 3
Exam Tip
पहले विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं।
Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4), (-2), (0.75). Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं।
(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
Step 3
Exam Tip
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा।
For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1053). For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें।
For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator must have a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\cdot 5\cdot 23\) contains (23). Hence it gives a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
Even one extra prime factor prevents termination. चरण 1: असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए। चरण 2: \(2^4\cdot 5\cdot 23\) में (23) मौजूद है। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव देगा। चरण 3: केवल एक अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड भी सांतता रोक देता है।
For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
For exact places, the larger exponent must match the required number. चरण 1: ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। चरण 3: ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए।
Look for any factor other than (2) and (5) that remains in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\), \(50=2\cdot 5^2\) cancels, but (7) remains. So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
The remaining prime factors after cancellation decide the type. चरण 1: हर में (2) और (5) के अलावा बचने वाले गुणनखंड को देखें। चरण 2: \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\) में \(50=2\cdot 5^2\) कटता है, लेकिन (7) हर में बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: पूरी कटौती के बाद बचे अभाज्य गुणनखंड निर्णायक होते हैं।
\(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
For exact places, match the larger exponent. चरण 1: \(6250=2\cdot 5^5\) है। चरण 2: \(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। चरण 3: ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए।
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
Check the lowest form of every option first. चरण 1: विकल्पों को सरल करें। चरण 2: \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। चरण 3: हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें।
A reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(80=2^4\cdot 5\), so it is possible. (48), (84), and (98) contain primes like (3) or (7).
Step 3
Exam Tip
If lowest form is given, check the prime factors of the denominator directly. चरण 1: सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: \(80=2^4\cdot 5\), इसलिए यह संभव है। (48), (84), और (98) में (3) या (7) जैसे गुणनखंड हैं। चरण 3: सरलतम रूप बताया हो तो हर की सीधी अभाज्य जाँच करें।
For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
Step 3
Exam Tip
Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel. चरण 1: हर में (2), (5), और (13) हैं। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए।
Reduce each option. \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), and \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\), so they terminate.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), and the denominator still has (3), so it is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Reducing every option is the safest method. चरण 1: विकल्पों को सरल करें। \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), और \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\) सांत हैं। चरण 2: \(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), जिसके हर में (3) बचता है, इसलिए यह असांत आवर्ती है। चरण 3: हर विकल्प को सरल करना ही सुरक्षित तरीका है।
C. सरलतम हर में केवल (2) और (5) हों तो दशमलव सांत होगा/If the reduced denominator has only (2) and (5), the decimal terminates
Step 1
Concept
The decimal type is decided by the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the reduced denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. The other statements are incomplete because factors like (3) or (7) may also be present.
Step 3
Exam Tip
Be careful with words like always. चरण 1: दशमलव का प्रकार सरलतम रूप के हर से तय होता है। चरण 2: यदि सरलतम हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों, तो दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि हर में (3), (7) आदि भी हो सकते हैं। चरण 3: हमेशा शब्द देखकर सावधानी रखें।
A denominator with (3) along with (2) or (5) gives a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}\), so the recurring part starts earliest. The others have \(2^2\), (5), or \(2\cdot 5\), causing a longer non-repeating start.
Step 3
Exam Tip
In mixed denominators, powers of (2) and (5) show how much the recurring part is delayed. चरण 1: हर में (2) या (5) के साथ (3) होने पर दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 2: \(\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}\) में (2) की घात (1) है, इसलिए आवर्ती भाग जल्दी शुरू होता है। दूसरे विकल्पों में \(2^2\), (5), या \(2\cdot 5\) से पहले छोटा सांत भाग बनता है। चरण 3: मिश्रित हर में (2) और (5) की घातें आवर्ती भाग शुरू होने की देरी बताती हैं।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Always consider possible cancellation before deciding. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। चरण 3: विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें।
The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (6) places, (\max(a,b)=6).
Step 3
Exam Tip
In such questions, use the larger exponent, not the sum. चरण 1: हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (6) स्थानों के लिए (\max(a,b)=6) चाहिए। चरण 3: ऐसी समस्याओं में योग नहीं, बड़ी घात देखें।
The reduced denominator contains (11), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is a rational fraction, it gives a non-terminating recurring decimal. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: सरलतम हर में (11) बचता है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगी।
\(\frac{44}{242}\) simplifies by (22) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator (11) is not made of (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Simplify every option before making the final choice. चरण 1: \(\frac{44}{242}\) को (22) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। चरण 2: हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सभी विकल्पों को सरल करके ही अंतिम चयन करें।
It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent. चरण 1: \(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। चरण 2: इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें।
For a terminating decimal, the denominator must have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(100=2^2\times5^2\), so it is suitable.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Denominators like (10), (100), and (1000) give terminating decimals. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: \(100=2^2\times5^2\), इसलिए यह हर उपयुक्त है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (10), (100), (1000) जैसे हर समाप्त दशमलव देते हैं।
The denominator has only (2) and (5), so \(\frac{11}{250}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Choose the denominator made only of (2) and (5). चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{11}{250}\) समाप्त दशमलव देगा। चरण 3: विकल्पों में (2) और (5) से बने भाजक को चुनें।
The denominator contains (3), so \(\frac{7}{18}\) will not terminate.
Step 3
Exam Tip
In options, identify the denominator that has a factor other than (2) and (5). चरण 1: \(18=2\times3^2\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए \(\frac{7}{18}\) का दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: विकल्पों में उस भाजक को पहचानें जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो।
\(\frac{5}{12}\) is in lowest form and the denominator contains (3), so its decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
Check both reduction and extra prime factors. चरण 1: \(12=2^2\times3\) है। चरण 2: \(\frac{5}{12}\) सरल रूप में है और भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव आवर्ती होगा। चरण 3: सरल रूप और भाजक के अतिरिक्त गुणनखंड दोनों जांचें।
The denominator has only (2), so \(\frac{17}{64}\) gives a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Choose the denominator that contains only (2) and (5). चरण 1: \(64=2^6\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) है, इसलिए \(\frac{17}{64}\) समाप्त दशमलव देगा। चरण 3: विकल्पों में वही भाजक चुनें जिसमें केवल (2) और (5) हों।
The factor (3) makes the decimal non-terminating, and since the number is rational, it is recurring.
Step 3
Exam Tip
Be alert when a factor other than (2) or (5) appears. चरण 1: \(15=3\times5\) है। चरण 2: भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और भिन्न परिमेय है, इसलिए आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) से अलग गुणनखंड देखते ही सावधान हो जाएं।
It contains only (2) and (5), so \(\frac{9}{40}\) gives a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Quickly factor the denominators in options. चरण 1: \(40=2^3\times5\) है। चरण 2: इसमें केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{9}{40}\) समाप्त दशमलव देगा। चरण 3: विकल्पों में भाजक के अभाज्य गुणनखंड तेजी से पहचानें।
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}+\sqrt{98}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8\sqrt{2}\) is irrational, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
Simplify each option before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{98}=8\sqrt{2}\)। चरण 2: \(8\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए परिमेय नहीं है। चरण 3: हर विकल्प को सरल करने के बाद ही प्रकृति तय करें।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so \(\sqrt{3}+\sqrt{75}=6\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{3}\) is irrational, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
Simplify each option before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए \(\sqrt{3}+\sqrt{75}=6\sqrt{3}\)। चरण 2: \(6\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए परिमेय नहीं है। चरण 3: हर विकल्प को सरल करने के बाद ही प्रकृति तय करें।
\(4\sqrt{2}\) is irrational, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
In options, simplify every result before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(4\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए परिमेय नहीं है। चरण 3: विकल्पों में पहले सभी परिणाम सरल करें, फिर प्रकृति तय करें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying a square root often helps identify the number correctly. चरण 1: समाप्त दशमलव और भिन्न परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके देखना कई बार सही पहचान देता है।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check the nature of both numbers separately. चरण 1: (8) परिमेय संख्या है। चरण 2: \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है क्योंकि (15) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की प्रकृति अलग-अलग जांचें।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In a pair, identify each number separately. चरण 1: (3) परिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म में दोनों संख्याओं को अलग-अलग पहचानें।
In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check both numbers, not just one. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है।
(6) is not a perfect square, so \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, eliminate clear rational numbers first. चरण 1: दशमलव (0.75), भिन्न और पूर्णांक परिमेय होते हैं। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले साफ परिमेय संख्याएँ हटाने से उत्तर जल्दी मिलता है।
Take \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\), and (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times25\times7=680400\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\) और (7) लें। चरण 2: \(16\times243\times25\times7=680400\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) हैं। चरण 2: \(64\times27\times25=43200\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(16\times9\times5\times7=5040\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^2=9\) और \(7^2=49\) हैं। चरण 2: \(64\times9\times49=28224\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Solving powers first gives the answer quickly. चरण 1: \(2^5=32\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(32\times9\times7=2016\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से उत्तर जल्दी मिलता है।
Solve powers first and then multiply. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(16\times9\times11=1584\)। चरण 3: घातों को पहले हल करके गुणा करें।
Solving powers first helps find the option quickly. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(16\times9\times5=720\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से विकल्प जल्दी मिल जाता है।
\(42=2\times3\times7\), so \(462=2\times3\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(462=42\times11\) लिखें। चरण 2: \(42=2\times3\times7\), इसलिए \(462=2\times3\times7\times11\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
\(33=3\times11\) and \(10=2\times5\), so \(330=2\times3\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(330=33\times10\) लिखें। चरण 2: \(33=3\times11\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(330=2\times3\times5\times11\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
\(21=3\times7\) and \(10=2\times5\), so \(210=2\times3\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(210=21\times10\) लिखें। चरण 2: \(21=3\times7\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(210=2\times3\times5\times7\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
15 and 25 are composite, so do not keep them in the final form. चरण 1: \(75=3\times25\) लिखें। चरण 2: \(25=5\times5=5^2\), इसलिए \(75=3\times5^2\)। चरण 3: 15 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम रूप में न रखें।
Write 60 as \(2\times30\), then \(30=2\times3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(60=2^2\times3\times5\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times15\) gives the product, but it is not prime factorisation. चरण 1: 60 को \(2\times30\) और फिर \(30=2\times3\times5\) लिखें। चरण 2: इसलिए \(60=2^2\times3\times5\)। चरण 3: \(4\times15\) सही गुणनफल है, पर यह अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
On division by 5, the remainder can be 0, 1, 2, 3, or 4.
Step 2
Why this answer is correct
6 is greater than divisor 5, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
First eliminate options equal to or greater than the divisor. चरण 1: 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 में से होगा। चरण 2: 6 भाजक 5 से बड़ा है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: विकल्पों में पहले वही हटाएं जो भाजक से बड़ा या बराबर हो।
Twice the number is (22q+16=11(2q+1)+5), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
The final remainder must always be less than 11. चरण 1: संख्या (11q+8) मानें। चरण 2: दुगुनी संख्या (22q+16=11(2q+1)+5), इसलिए शेषफल 5 होगा। चरण 3: अंतिम शेषफल हमेशा 11 से छोटा होना चाहिए।
In a valid form, the remainder must be from 0 to 14.
Step 2
Why this answer is correct
\(15\times6=90\), so (98=90+8), and 8 is valid.
Step 3
Exam Tip
Check both the calculation and the remainder limit. चरण 1: वैध रूप में शेषफल 0 से 14 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(15\times6=90\), इसलिए (98=90+8) और 8 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें।
If an option gives a remainder equal to or greater than (20), reject it immediately. चरण 1: \(20 \times 7=140\)। चरण 2: (148-140=8), इसलिए (r=8)। चरण 3: यदि विकल्पों में (20) या उससे बड़ा शेषफल हो, तो उसे तुरंत गलत मानें।
B. गलत, क्योंकि शेषफल (8) से छोटा होना चाहिए/Incorrect, because the remainder must be less than (8)
Step 1
Concept
In Euclid’s division lemma, the remainder satisfies \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=8), so (r) cannot be equal to (8).
Step 3
Exam Tip
Remembering the range of the remainder is very important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल \(0 \le r < b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=8), इसलिए (r) (8) के बराबर नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा याद रखना बहुत जरूरी है।
\(13 \times 8=104\), the closest smaller multiple of (13) to (105).
Step 2
Why this answer is correct
(105-104=1), so (q=8) and (r=1).
Step 3
Exam Tip
In such questions, the remainder must not be negative or greater than the divisor. चरण 1: \(13 \times 8=104\), जो (105) से छोटा सबसे निकट गुणज है। चरण 2: (105-104=1), इसलिए (q=8) और (r=1) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में शेषफल ऋणात्मक या भाजक से बड़ा नहीं होना चाहिए।
It is not enough for the sum to match; the remainder must be less than (5). चरण 1: \(5 \times 8=40\) है। चरण 2: (43-40=3), इसलिए \(43=5 \times 8+3\) सही है। चरण 3: केवल जोड़ सही होना काफी नहीं, शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए।
The upper limit of the remainder is one less than the divisor. चरण 1: (a=4q+r) में भाजक (4) है। चरण 2: शेषफल (0,1,2,3) हो सकता है, लेकिन (4) नहीं। चरण 3: शेषफल की ऊपरी सीमा भाजक से एक कम होती है।
\(4\times7=28\), the nearest smaller multiple of (4) to (29).
Step 2
Why this answer is correct
(29-28=1), so the correct form is \(29=4\times7+1\).
Step 3
Exam Tip
Do not allow the remainder to be negative or equal to (4). चरण 1: \(4\times7=28\), जो (29) से छोटा निकटतम गुणज है। चरण 2: (29-28=1), इसलिए सही रूप \(29=4\times7+1\) है। चरण 3: शेषफल को ऋणात्मक या (4) के बराबर न रहने दें।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
In \(31=4 \times 7+3\), (4) is in the divisor’s place.
Step 3
Exam Tip
In the product (bq), identify the first factor as the divisor when comparing with the form. चरण 1: (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(31=4 \times 7+3\) में (4) भाजक की जगह है। चरण 3: रूप में पहले गुणक को भाजक मानें जब तुलना (bq) से हो।
In division by (10), the last digit can quickly show the remainder. चरण 1: \(10 \times 4=40\) है। चरण 2: (47-40=7), इसलिए शेषफल (7) है। चरण 3: (10) से भाग में अंतिम अंक देखकर शेषफल जल्दी मिल सकता है।
In \(20=6 \times 2+8\), remainder (8) is greater than divisor (6).
Step 3
Exam Tip
It is not enough for the sum to be correct; the remainder range must also be correct. चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(20=6 \times 2+8\) में शेषफल (8), भाजक (6) से बड़ा है। चरण 3: केवल योग सही होना काफी नहीं, शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
The number multiplied with the divisor is the quotient. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: \(81=10 \times 8+1\) में (q=8) है। चरण 3: गुणा में भाजक के बाद आने वाली संख्या भागफल होती है।
A. औपनिवेशिक राजस्व दरों की सूची/A list of colonial revenue rates
Step 1
Concept
Cultural expression is linked with symbols emotion and identity.
Step 2
Why this answer is correct
A list of revenue rates is administrative information not a cultural tool of national feeling.
Step 3
Exam Tip
In exams identify the nature of the example. चरण 1: सांस्कृतिक अभिव्यक्ति प्रतीक भावना और पहचान से जुड़ी होती है। चरण 2: राजस्व दरों की सूची प्रशासनिक सूचना है राष्ट्रीय भावना का सांस्कृतिक साधन नहीं। चरण 3: परीक्षा में उदाहरण चुनते समय उसके स्वरूप को पहचानें।
A. औपनिवेशिक राजस्व दरों की सूची/A list of colonial revenue rates
Step 1
Concept
Cultural expression is linked with symbols emotion and identity.
Step 2
Why this answer is correct
A list of revenue rates is administrative information not a cultural tool of national feeling.
Step 3
Exam Tip
In exams identify the nature of the example. चरण 1: सांस्कृतिक अभिव्यक्ति प्रतीक भावना और पहचान से जुड़ी होती है। चरण 2: राजस्व दरों की सूची प्रशासनिक सूचना है राष्ट्रीय भावना का सांस्कृतिक साधन नहीं। चरण 3: परीक्षा में उदाहरण चुनते समय उसके स्वरूप को पहचानें।
A. औपनिवेशिक कर दरों की प्रशासनिक तालिका/Administrative table of colonial tax rates
Step 1
Concept
Collective belonging is linked with cultural feelings and symbols.
Step 2
Why this answer is correct
A table of tax rates is administrative information so it is not a cultural expression.
Step 3
Exam Tip
In exams identify symbol and emotion while selecting examples. चरण 1: सामूहिक अपनापन सांस्कृतिक भावनाओं और प्रतीकों से जुड़ता है। चरण 2: कर दरों की तालिका प्रशासनिक सूचना है इसलिए यह सांस्कृतिक अभिव्यक्ति नहीं है। चरण 3: परीक्षा में उदाहरण चुनते समय प्रतीक और भावना को पहचानें।
A. इससे जनता की स्मृतियों और संस्कृति को राष्ट्रीय पहचान का भाग बनाया गया/It made people's memories and culture part of national identity
Step 1
Concept
Folklore is formed from the experiences of common people.
Step 2
Why this answer is correct
Collecting it presented people's culture as shared national heritage.
Step 3
Exam Tip
In exams it is important to connect folk culture with national identity. चरण 1: लोककथाएँ आम लोगों के अनुभवों से बनती हैं। चरण 2: इन्हें इकट्ठा करने से जनता की संस्कृति राष्ट्र की साझा धरोहर के रूप में सामने आई। चरण 3: परीक्षा में लोक संस्कृति को राष्ट्रीय पहचान से जोड़ना जरूरी है।
A. वे लोगों को साझा उद्देश्य और पहचान से जोड़ते हैं/They connect people with common purpose and identity
Step 1
Concept
National symbols are not just visual objects.
Step 2
Why this answer is correct
They create common purpose, identity, and emotional connection.
Step 3
Exam Tip
In exams, clearly explain the function of symbols. चरण 1: राष्ट्रीय प्रतीक केवल दृश्य वस्तु नहीं होते। चरण 2: वे साझा उद्देश्य पहचान और भावनात्मक जुड़ाव बनाते हैं। चरण 3: परीक्षा में प्रतीकों के कार्य को स्पष्ट शब्दों में लिखें।
Hydra is an easy example of budding. चरण 1: मुकुलन में जनक के शरीर पर छोटी कलिका बनती है। चरण 2: यह कलिका बढ़कर नया जीव बन सकती है। चरण 3: हाइड्रा में मुकुलन का उदाहरण सरलता से समझा जाता है।
A. ग्रहणकर्ता फिर संवेदक तंत्रिका फिर मेरुरज्जु फिर चालक तंत्रिका फिर प्रभावक/Receptor then sensory nerve then spinal cord then motor nerve then effector
Step 1
Concept
In a reflex arc the receptor first detects the stimulus.
Step 2
Why this answer is correct
The message goes through the sensory nerve to the spinal cord and then through the motor nerve to the effector.
Step 3
Exam Tip
In exams understanding the sequence is most important. चरण 1: परावर्ती चाप में पहले उद्दीपन को ग्रहणकर्ता पहचानता है। चरण 2: संदेश संवेदक तंत्रिका से मेरुरज्जु तक और फिर चालक तंत्रिका से प्रभावक तक जाता है। चरण 3: परीक्षा में क्रम समझना सबसे जरूरी है।
In some situations the body needs quick protection.
Step 2
Why this answer is correct
Reflex action gives a very fast response.
Step 3
Exam Tip
Pulling the hand away from a hot object is an example. चरण 1: कुछ स्थितियों में शरीर को तुरंत बचाव करना होता है। चरण 2: परावर्ती क्रिया में प्रतिक्रिया बहुत तेजी से होती है। चरण 3: गर्म वस्तु छूने पर हाथ हटाना इसका उदाहरण है।
A. अली बंधु खिलाफत आंदोलन/Ali brothers Khilafat Movement
Step 1
Concept
Mohammad Ali and Shaukat Ali were linked with the Khilafat Movement.
Step 2
Why this answer is correct
General Dyer was linked with Jallianwala Bagh.
Step 3
Exam Tip
Therefore the first pair is correct. चरण 1: मोहम्मद अली और शौकत अली खिलाफत आंदोलन से जुड़े थे। चरण 2: जनरल डायर जलियाँवाला बाग से जुड़ा था। चरण 3: इसलिए पहला युग्म सही है।
A. रौलेट अधिनियम बिना मुकदमे कैद/Rowlatt Act detention without trial
Step 1
Concept
The Rowlatt Act gave the government power to detain without trial.
Step 2
Why this answer is correct
This was its repressive feature.
Step 3
Exam Tip
The other pairs do not match their correct contexts. चरण 1: रौलेट अधिनियम सरकार को बिना मुकदमे कैद की शक्ति देता था। चरण 2: यही इसकी दमनकारी विशेषता थी। चरण 3: बाकी युग्म अपने सही संदर्भ से मेल नहीं खाते।
A. युद्ध खर्च बढ़ा और भारत में करों का बोझ बढ़ा/War expenditure increased and the tax burden in India rose
Step 1
Concept
The war increased British government expenditure.
Step 2
Why this answer is correct
Taxes and price pressures rose to meet this cost.
Step 3
Exam Tip
This became a cause of public resentment. चरण 1: युद्ध ने ब्रिटिश सरकार का खर्च बढ़ाया। चरण 2: इस खर्च को पूरा करने के लिए कर और कीमतों का दबाव बढ़ा। चरण 3: यही जनता के असंतोष का कारण बना।
Mohammad Ali and Shaukat Ali are known as the Ali brothers.
Step 2
Why this answer is correct
They were leading figures of the Khilafat Movement.
Step 3
Exam Tip
The leader-movement link is important for exams. चरण 1: मोहम्मद अली और शौकत अली को अली बंधु कहा जाता है। चरण 2: वे खिलाफत आंदोलन के प्रमुख नेता थे। चरण 3: नाम और आंदोलन का सही संबंध परीक्षा में बहुत पूछा जाता है।
A. वह गणराज्य और स्वतंत्र नागरिकता की प्रतीक थी/She symbolised republic and free citizenship
Step 1
Concept
Every symbol has its own context.
Step 2
Why this answer is correct
Marianne's signs were linked with the French Revolution and the Republic.
Step 3
Exam Tip
So see her as a national figure of liberty not as a goddess of justice. चरण 1: हर प्रतीक का अपना संदर्भ होता है। चरण 2: मैरिएन के चिह्न फ्रांसीसी क्रांति और गणराज्य से जुड़े थे। चरण 3: इसलिए उसे न्याय की देवी नहीं बल्कि स्वतंत्रता की राष्ट्रीय आकृति समझें।
A. गणराज्य और नागरिक एकता की भावना फैलाने के लिए/To spread republican and civic unity
Step 1
Concept
Public symbols carried ideas to ordinary people.
Step 2
Why this answer is correct
Marianne made the French Republic visible to the public.
Step 3
Exam Tip
Such symbols created shared civic identity. चरण 1: सार्वजनिक प्रतीक आम लोगों तक विचार पहुंचाते थे। चरण 2: मैरिएन ने फ्रांसीसी गणराज्य को जनता के सामने जीवंत बनाया। चरण 3: ऐसे प्रतीक नागरिकों में साझा पहचान बनाते थे।
Identify clue words and choose the answer. चरण 1: ओक पत्तों का मुकुट जर्मेनिया से जुड़ा है। चरण 2: जर्मेनिया जर्मन राष्ट्र की प्रतीक थी। चरण 3: संकेत शब्दों को पहचानकर उत्तर चुनें।
The red cap is found among the symbols of Marianne.
Step 2
Why this answer is correct
Marianne was the national figure of France.
Step 3
Exam Tip
Use clue words to identify the correct symbol. चरण 1: लाल टोपी मरियान के प्रतीकों में मिलती है। चरण 2: मरियान फ्रांस की राष्ट्रीय आकृति थी। चरण 3: संकेत शब्दों से सही प्रतीक पहचानें।
A. वर्साय में विलियम प्रथम को जर्मन सम्राट घोषित किया जाना/William I being proclaimed German Emperor at Versailles
Step 1
Concept
The question asks an event linked with German unification.
Step 2
Why this answer is correct
William I's proclamation at Versailles is linked with the formation of the German Empire.
Step 3
Exam Tip
The other events relate to Italian unification. चरण 1: प्रश्न जर्मन एकीकरण से जुड़ी घटना पूछता है। चरण 2: वर्साय में विलियम प्रथम की घोषणा जर्मन साम्राज्य की स्थापना से जुड़ी है। चरण 3: बाकी घटनाएं इटली के एकीकरण से संबंधित हैं।
He played a central role in uniting the German states.
Step 3
Exam Tip
Link Bismarck with Prussia and German unification in exams. चरण 1: बिस्मार्क प्रशिया के चांसलर थे। चरण 2: उन्होंने जर्मन राज्यों को एकजुट करने में मुख्य भूमिका निभाई। चरण 3: परीक्षा में बिस्मार्क को प्रशिया और जर्मन एकीकरण से जोड़ें।
A. यूरोप में पुरानी कुलीन शक्ति के बीच नया मध्य वर्ग उभरा और उसने उदार अधिकारों तथा आर्थिक एकता के माध्यम से राष्ट्रवाद को बल दिया/Amid old aristocratic power a new middle class emerged in Europe and strengthened nationalism through liberal rights and econ
Step 1
Concept
Connect the three main elements of the subtopic.
Step 2
Why this answer is correct
The aristocracy was the old power the new middle class was the new force and liberalism was the new political economic idea.
Step 3
Exam Tip
In a final conclusion write society economy and politics together. चरण 1: उपविषय के तीन मुख्य तत्व जोड़ें। चरण 2: कुलीन वर्ग पुरानी शक्ति था नया मध्य वर्ग नई शक्ति था और उदारवाद नई राजनीतिक आर्थिक सोच थी। चरण 3: अंतिम निष्कर्ष में समाज अर्थव्यवस्था और राजनीति तीनों को साथ लिखें।
Birth based privileges were against it. चरण 1: उदार राष्ट्रवाद के सिद्धांत देखें। चरण 2: यह समानता और स्वतंत्रता का समर्थन करता है। चरण 3: जन्म आधारित विशेषाधिकार इसके विरुद्ध थे।
It held that all citizens should be equal before law.
Step 3
Exam Tip
Equality is a frequently tested idea. चरण 1: उदार राष्ट्रवाद की कानूनी सोच पहचानें। चरण 2: इसके अनुसार सभी नागरिक कानून के सामने समान होने चाहिए। चरण 3: समानता इसका परीक्षा में बार बार पूछा जाने वाला विचार है।
Its influence was high even though its size was small. चरण 1: अभिजात वर्ग की संख्या पर ध्यान दें। चरण 2: यह समाज का छोटा लेकिन प्रभावशाली समूह था। चरण 3: संख्या कम होने पर भी इसके पास शक्ति थी।
The landed aristocracy owned estates and had influence.
Step 3
Exam Tip
For exams remember aristocracy as the dominant class in Europe. चरण 1: उस समय सत्ता और जमीन पर किसका अधिकार था यह पहचानें। चरण 2: भूस्वामी कुलीन वर्ग के पास बड़ी जमीन और सामाजिक प्रभाव था। चरण 3: परीक्षा में कुलीन वर्ग को यूरोप का प्रभावशाली वर्ग याद रखें।
