On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे (3(q+1)) के रूप में लिखना चाहिए।
The lemma uses dividend (a), divisor (b), quotient (q), and remainder (r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct relation is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
Do not forget the condition \(0 \le r < b\). चरण 1: प्रमेयिका में भाज्य (a), भाजक (b), भागफल (q) और शेषफल (r) होते हैं। चरण 2: सही संबंध (a=bq+r) है। चरण 3: साथ में \(0 \le r < b\) लिखना न भूलें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 390.
Step 2
Why this answer is correct
\(391\times15=5865\), so (6127=5865+262).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 391 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 390 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(391\times15=5865\), इसलिए (6127=5865+262) है। चरण 3: ऋणात्मक या 391 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 699.
Step 2
Why this answer is correct
\(700\times10=7000\), so (7001=7000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 700 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 699 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(700\times10=7000\), इसलिए (7001=7000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 700 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 288.
Step 2
Why this answer is correct
\(289\times15=4335\), so (4555=4335+220).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 289 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 288 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(289\times15=4335\), इसलिए (4555=4335+220) है। चरण 3: ऋणात्मक या 289 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 499.
Step 2
Why this answer is correct
\(500\times10=5000\), so (5001=5000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 500 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 499 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(500\times10=5000\), इसलिए (5001=5000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 500 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than 247.
Step 2
Why this answer is correct
\(247\times12=2964\), so (3199=2964+235).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder bigger than the divisor is not the standard form. चरण 1: यूक्लिडीय रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और 247 से छोटा होता है। चरण 2: \(247\times12=2964\), इसलिए (3199=2964+235) है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल दिखे तो वह मानक रूप नहीं है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 119.
Step 2
Why this answer is correct
\(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).
Step 3
Exam Tip
Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है।
\(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। चरण 2: \(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है।
When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। चरण 2: (4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Here the divisor is 17 and the remainder is 16, which is less than 17.
Step 3
Exam Tip
Always compare the remainder with the divisor to check validity. चरण 1: मानक रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक 17 है और शेषफल 16 है, जो 17 से छोटा है। चरण 3: शेषफल की वैधता देखने के लिए उसे भाजक से जरूर मिलाएं।
On division by (31), the remainder must be from (0) to (30).
Step 2
Why this answer is correct
In (31q+30), the remainder is (30), which is less than (31).
Step 3
Exam Tip
A remainder (31), (37), or negative is not in standard form. चरण 1: (31) से भाग देने पर शेषफल (0) से (30) तक होना चाहिए। चरण 2: (31q+30) में शेषफल (30) है, जो (31) से छोटा है। चरण 3: शेषफल (31), (37) या ऋणात्मक हो तो वह मानक रूप नहीं होगा।
On division by (8), remainders can be from (0) to (7).
Step 2
Why this answer is correct
So in (8q+r), (r=0,1,2,3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Do not include (8q+8) while writing standard forms. चरण 1: (8) से भाग देने पर शेषफल (0) से (7) तक हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (8q+r) में (r=0,1,2,3,4,5,6,7) होगा। चरण 3: सामान्य रूप लिखते समय (8q+8) शामिल न करें।
