Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, remove the denominator carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(2=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=2q^2\) बनता है। चरण 3: वर्ग करने के बाद हर को ठीक से हटाएँ।
Divisibility and contradiction start from this equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्ग करने से \(\sqrt{n}\) हटता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है। चरण 3: इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास शुरू होता है।
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction. चरण 1: \(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। चरण 3: बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है।
A. वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पाना/To remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\), we square to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
This equation gives divisibility and contradiction later. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। चरण 3: यही समीकरण आगे विभाज्यता और विरोधाभास देता है।
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना/To remove the square root and get a divisibility equation
Step 1
Concept
We square \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
This equation starts the divisibility and contradiction steps. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। चरण 3: इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास की शुरुआत होती है।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Always write the denominator-clearing step carefully. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा। चरण 2: दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: हर हटाने का चरण हमेशा ध्यान से लिखें।
So after squaring both sides, the left side becomes (5).
Step 3
Exam Tip
A square root and square cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए दोनों ओर वर्ग करने पर बाईं ओर (5) मिलेगा। चरण 3: वर्गमूल और वर्ग एक-दूसरे को हटाते हैं।
Write the denominator-clearing step clearly. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करें तो \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: हर को हटाने का चरण साफ लिखें।
In the proof of \(\sqrt{3}\), the factor (3) plays the main role. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने से \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है।
The left side becomes (2) and the right side becomes \(\frac{p^2}{q^2}\), so \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, multiply by \(q^2\) to clear the denominator. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के दोनों ओर वर्ग करें। चरण 2: बाईं ओर (2) और दाईं ओर \(\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा, इसलिए \(p^2=2q^2\)। चरण 3: वर्ग करने के बाद हर हटाने के लिए दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करें।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=rq^2\).
Step 3
Exam Tip
This general equation applies to (2,3,5). चरण 1: \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(r=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=rq^2\) मिलता है। चरण 3: यही सामान्य समीकरण (2,3,5) पर लागू होता है।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
After squaring, do not forget to multiply by \(q^2\). चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: वर्ग करने के बाद दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करना न भूलें।
Therefore (m=5k) is the correct next step. चरण 1: \(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है।
Squaring only the numerator is a common mistake. चरण 1: भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। चरण 2: इसलिए (\left\(\frac{p}{q}\right\)2=\frac{p-2}{q-2})। चरण 3: केवल अंश का वर्ग करना सामान्य गलती है।
Squaring only the numerator is a mistake. चरण 1: भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। चरण 2: इसलिए (\left\(\frac{a}{b}\right\)2=\frac{a-2}{b-2})। चरण 3: भिन्न के वर्ग में केवल अंश का वर्ग करना गलती है।
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण/Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
Putting (n=5) gives the number \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
This starts the irrationality proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (n=5) रखने पर संख्या \(\sqrt{5}\) बनती है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से \(\sqrt{5}\) का अपरिमेयता प्रमाण आगे बढ़ता है।
Multiplying both sides by \(y^2\) gives \(x^2=5y^2\).
Step 3
Exam Tip
Remember the condition \(y\neq0\) while removing the denominator. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) को वर्ग करने पर \(5=\frac{x^2}{y^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करने पर \(x^2=5y^2\) बनता है। चरण 3: हर हटाते समय \(y\neq0\) की शर्त ध्यान में रखें।
When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (p-2=(3r)2=9r-2).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong. चरण 1: (p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। चरण 2: इसलिए (p-2=(3r)2=9r-2)। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा।
Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next. चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर (p-2=(3k)2) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है।
The coefficient (3) must also be squared to (9). चरण 1: (p=3k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(3k)2=9k-2)। चरण 3: गुणांक (3) का भी वर्ग (9) करना जरूरी है।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) है। चरण 2: दोनों ओर वर्ग करने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना आम गलती है।
Do this simplification carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह सरलीकरण ध्यान से करें।
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता/Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
Be careful when removing squares in a proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। चरण 3: प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें।
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\). चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना जरूरी है। चरण 2: भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। चरण 3: इसलिए सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है।
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the correct equation is \(3=\frac{p^2}{q^2}\). चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। चरण 2: भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। चरण 3: इसलिए सही समीकरण \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है।
A. दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया/Both sides were not squared
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\), not \(3=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Always square both sides to remove a square root. चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। चरण 2: सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) होगा, \(3=\frac{p}{q}\) नहीं। चरण 3: वर्गमूल हटाते समय दोनों ओर वर्ग अवश्य करें।
To remove it, we square both sides and get \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct algebraic operation to remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में वर्गमूल मौजूद है। चरण 2: उसे हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग किया जाता है, जिससे \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल हटाने के लिए सही बीजगणितीय क्रिया चुनें।
A square and square root cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए बाईं ओर (\(\sqrt{5}\)2=5) मिलेगा। चरण 3: वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को हटाते हैं।
Write this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (a=3k) है। चरण 2: वर्ग करने पर ((3k)2=9k-2) मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण ध्यान से लिखें।
In exams, do not skip the squaring step. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानते हैं। चरण 2: वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करते हैं। चरण 3: परीक्षा में वर्ग करने का चरण छोड़े बिना लिखें।
We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (10).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (10). We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (10).
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) और मान (10) है।
We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (8).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (8).
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), और मान (8) है।
Since (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). In exams, use the difference of squares identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6). Since (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). In exams, use the difference of squares identity.
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), इसलिए (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\))। परीक्षा में वर्गों के अंतर की पहचान लगाएं।
Since (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), we get \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\). In exams, use the identity and subtract (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (23). Since (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), we get \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\). In exams, use the identity and subtract (2).
Step 3
Exam Tip
(\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), इसलिए \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\)। परीक्षा में पहचान लगाकर (2) घटाएं।
The numerator is \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) and the denominator is ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), so the answer is (a+b). In exams, make a common denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,a+b,). The numerator is \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) and the denominator is ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), so the answer is (a+b). In exams, make a common denominator.
Step 3
Exam Tip
ऊपर \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) और नीचे ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), इसलिए उत्तर (a+b) है। परीक्षा में common denominator बनाएं।
((64)^{\frac{1}{3}}=4), (\(x^6\)^{\frac{1}{3}}=x-2), and (\(y^{-3}\)^{\frac{1}{3}}=y^{-1}), so the answer is \(\dfrac{4x^2}{y}\). In exams, apply the exponent to each factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{4x^2}{y},\). ((64)^{\frac{1}{3}}=4), (\(x^6\)^{\frac{1}{3}}=x-2), and (\(y^{-3}\)^{\frac{1}{3}}=y^{-1}), so the answer is \(\dfrac{4x^2}{y}\). In exams, apply the exponent to each factor.
Step 3
Exam Tip
((64)^{\frac{1}{3}}=4), (\(x^6\)^{\frac{1}{3}}=x-2) और (\(y^{-3}\)^{\frac{1}{3}}=y^{-1}), इसलिए उत्तर \(\dfrac{4x^2}{y}\) है। परीक्षा में प्रत्येक factor पर घात लगाएं।
Inside, \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), and applying the power (-2) gives \(\dfrac{1}{a^4b^6}\). In exams, simplify the inside part first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{1}{a^4b^6},\). Inside, \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), and applying the power (-2) gives \(\dfrac{1}{a^4b^6}\). In exams, simplify the inside part first.
Step 3
Exam Tip
अंदर \(\dfrac{a^2}{b^{-3}}=a^2b^3\), और (-2) घात लगाने पर \(\dfrac{1}{a^4b^6}\) मिलता है। परीक्षा में अंदर का भाग पहले सरल करें।
Applying the outside exponent \(\dfrac{1}{2}\) gives \(a^2b^{-1}=\dfrac{a^2}{b}\). In exams, apply the fractional power to every factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{a^2}{b},\). Applying the outside exponent \(\dfrac{1}{2}\) gives \(a^2b^{-1}=\dfrac{a^2}{b}\). In exams, apply the fractional power to every factor.
Step 3
Exam Tip
बाहर की घात \(\dfrac{1}{2}\) लगाने पर \(a^2b^{-1}=\dfrac{a^2}{b}\) मिलता है। परीक्षा में fractional power को हर factor पर लगाएं।
The expression inside is \(a^{-3}b^4\), and the power (-1) gives its reciprocal \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, apply the outer negative power at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{a^3}{b^4},\). The expression inside is \(a^{-3}b^4\), and the power (-1) gives its reciprocal \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, apply the outer negative power at the end.
Step 3
Exam Tip
अंदर का भाग \(a^{-3}b^4\) है, और (-1) घात से उसका व्युत्क्रम \(\dfrac{a^3}{b^4}\) हो जाता है। परीक्षा में outer negative power अंत में लगाएं।
\(x^{5-(-1)}=x^6\) and \(y^{-2-3}=y^{-5}\), so the form is \(\dfrac{x^6}{y^5}\). In exams, simplify the exponent of each variable separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{x^6}{y^5},\). \(x^{5-(-1)}=x^6\) and \(y^{-2-3}=y^{-5}\), so the form is \(\dfrac{x^6}{y^5}\). In exams, simplify the exponent of each variable separately.
Step 3
Exam Tip
\(x^{5-(-1)}=x^6\) और \(y^{-2-3}=y^{-5}\), इसलिए रूप \(\dfrac{x^6}{y^5}\) है। परीक्षा में हर variable का exponent अलग-अलग simplify करें।
In division, \(a^{2-(-1)}=a^3\) and \(b^{-3-1}=b^{-4}\), so the answer is \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, subtract exponents of like variables separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{a^3}{b^4},\). In division, \(a^{2-(-1)}=a^3\) and \(b^{-3-1}=b^{-4}\), so the answer is \(\dfrac{a^3}{b^4}\). In exams, subtract exponents of like variables separately.
Step 3
Exam Tip
भाग में \(a^{2-(-1)}=a^3\) और \(b^{-3-1}=b^{-4}\), इसलिए उत्तर \(\dfrac{a^3}{b^4}\) है। परीक्षा में समान variables के exponents अलग-अलग घटाएं।
(\(4x^{-2}\)^{-1}=4^{-1}x-2=\dfrac{x-2}{4}). In exams, apply the outside exponent to every factor of a product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{x^2}{4},\). (\(4x^{-2}\)^{-1}=4^{-1}x-2=\dfrac{x-2}{4}). In exams, apply the outside exponent to every factor of a product.
Step 3
Exam Tip
(\(4x^{-2}\)^{-1}=4^{-1}x-2=\dfrac{x-2}{4})। परीक्षा में product के हर factor पर बाहर की घात लगाएं।
\(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), so the whole square is \(x^4y^2\). In exams, simplify a negative exponent by moving its position.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,x^4y^2,\). \(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), so the whole square is \(x^4y^2\). In exams, simplify a negative exponent by moving its position.
Step 3
Exam Tip
\(\dfrac{x^2}{y^{-1}}=x^2y\), इसलिए पूरा वर्ग \(x^4y^2\) है। परीक्षा में ऋणात्मक घातांक को स्थान बदलकर सरल करें।
The outside power (-2) multiplies both exponents, so \(x^4y^{-6}=\dfrac{x^4}{y^6}\). In exams, apply the outside power to every factor inside the bracket.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\dfrac{x^4}{y^6},\). The outside power (-2) multiplies both exponents, so \(x^4y^{-6}=\dfrac{x^4}{y^6}\). In exams, apply the outside power to every factor inside the bracket.
Step 3
Exam Tip
बाहर की घात (-2) दोनों घातांकों से गुणा होगी, इसलिए \(x^4y^{-6}=\dfrac{x^4}{y^6}\) है। परीक्षा में bracket के बाहर की घात को हर factor पर लगाएं।
A negative exponent gives \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\). The negative sign in the exponent does not make the base negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{1}{a^3}\). A negative exponent gives \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\). The negative sign in the exponent does not make the base negative.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक घात में \(a^{-3}=\frac{1}{a^3}\) होता है। घात का ऋण चिह्न आधार को ऋणात्मक नहीं बनाता।
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+2\sqrt{2}\). \(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
Step 3
Exam Tip
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) और \(3x=3+3\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4+2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में घातों की गणना चरणों में करें।
The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). The like (x) terms cancel and the value left is \(2\sqrt{2}\). In exams do not be confused by the type of number during algebraic simplification.
Step 3
Exam Tip
समान (x) पद कट जाते हैं और मान \(2\sqrt{2}\) बचता है। परीक्षा में बीजीय सरलीकरण में संख्या के प्रकार से भ्रमित न हों।
Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^4-10x^2+1=0\). Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और फिर (\(x^2-5\)2=24), इसलिए \(x^4-10x^2+1=0\) है। परीक्षा में दो वर्गमूलों के योग से कभी द्विघात नहीं बल्कि चतुर्थ घात संबंध भी बन सकता है।
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), इसलिए योग \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण तेज तरीका है।
A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना/Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
In \(9k^2=3q^2\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing by (3) gives \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Remove only valid common factors while simplifying. चरण 1: \(9k^2=3q^2\) में साझा गुणनखंड (3) है। चरण 2: (3) से भाग देने पर \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में केवल वैध समान गुणनखंड हटाएँ।
This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। चरण 3: यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है।
D. \(q^2=2k^2\) होना चाहिए/It should be \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
Substituting (p=2k) in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Reduce factors carefully during algebraic simplification. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण में गुणक ठीक से घटाएँ।
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
A simplification error can spoil the proof. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है।
In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25). चरण 1: \(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। चरण 2: इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ।
Squaring the coefficient correctly is necessary for the next conclusion. चरण 1: (a=3m) का वर्ग \(a^2=9m^2\) होगा। चरण 2: इसे \(a^2=3b^2\) में रखने पर \(9m^2=3b^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग सही रखना आगे के निष्कर्ष के लिए जरूरी है।
Reduce factors correctly during simplification. चरण 1: (p=5r) रखने पर \(25r^2=5q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(q^2=5r^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में गुणक सही घटाएँ।
This step completes the proof that (q) is even. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। चरण 2: \(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है।
Simplify algebra carefully, or the proof will break. चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\), इसलिए \(q^2=5k^2\)। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण ध्यान से करें, वरना प्रमाण टूट जाता है।
A. वर्ग समीकरण से गलत मूल समीकरण निकालना/Incorrectly deriving a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(a=2b) does not directly follow from \(a^2=2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(a^2\) is even and (a) is even.
Step 3
Exam Tip
Do not hastily make a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(a^2\) सम है और (a) सम है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न बनाएं।
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Square the whole expression. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलेगा। चरण 2: सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें।
C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)
Step 1
Concept
The square of (p=5k) is ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2=25k-2), so writing \(5k^2\) is wrong.
Step 3
Exam Tip
Never forget to square the coefficient. चरण 1: (p=5k) का वर्ग ((5k)2) होगा। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(5k^2\) लिखना गलत है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना कभी न भूलें।
Do not write ((3k)2) as \(3k^2\). चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। चरण 3: ((3k)2) को \(3k^2\) न लिखें।
A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना/Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation
Step 1
Concept
(p=5q) does not directly follow from \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is that \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Do not hastily derive a root-level equation from a squared equation. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 2: सही निष्कर्ष है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है और फिर (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: वर्ग समीकरण से जल्दबाजी में मूल समीकरण न निकालें।
A. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना/Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)
Step 1
Concept
Squaring (p=5k) gives ((5k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(25k^2\), not \(5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Forgetting to square the coefficient can be a major proof error. चरण 1: (p=5k) का वर्ग करने पर ((5k)2) मिलता है। चरण 2: सही मान \(25k^2\) है, \(5k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग भूलना प्रमाण में बड़ी गलती बन सकता है।
Always remember to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) है, इसलिए (p-2=(3k)2)। चरण 2: ((3k)2=9k-2), अतः \(9k^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना हमेशा याद रखें।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) होने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है।
Writing ((5k)2) as \(5k^2\) is a mistake. चरण 1: (m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। चरण 2: इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। चरण 3: ((5k)2) को \(5k^2\) लिखना गलती है।
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=2r) है, इसलिए (p-2=(2r)2=4r-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें।
Do this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) को वर्ग करें। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(p^2=25k^2\)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण बहुत ध्यान से करें।
Then conclude that (b) is divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3b^2\) में दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=b^2\) मिलेगा, यानी \(b^2=3k^2\)। चरण 3: फिर (b) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लें।
A small algebra mistake can spoil the whole proof. चरण 1: (a=5k) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर (a-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: छोटे बीजगणितीय कदमों में गलती से पूरा प्रमाण बिगड़ सकता है।
