The correct answer is D. क्योंकि संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग भी चाहिए / Because context evidence effect and application are also needed. Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ उत्तर परिभाषा से आगे विश्लेषण मांगता है। परीक्षा में application जोड़ें।
The correct answer is A. संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग / Context evidence effect and application. Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ उत्तर में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें।
A. उदाहरण प्रभाव और अनुप्रयोग/Example effect and application
Step 1
Concept
Hard level needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उदाहरण प्रभाव और अनुप्रयोग / Example effect and application. Hard level needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 3
Exam Tip
Hard level में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें।
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\) / It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\). A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर बार \(q\neq0\) याद रखें।
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\)/\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, so \(q\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
In lowest form, (p) and (q) are also taken coprime. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(q\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य भी लिए जाते हैं।
A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया/Because it ignored many community and customary rights
Step 1
Concept
Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया / Because it ignored many community and customary rights. Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
Step 3
Exam Tip
भूमि बंदोबस्त ने स्वामित्व और राजस्व को नए ढंग से परिभाषित किया। परीक्षा में भूमि अधिकार और कर व्यवस्था साथ पढ़ें।
A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय/Civil rights and economic justice along with political freedom
Step 1
Concept
Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय / Civil rights and economic justice along with political freedom. Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
Step 3
Exam Tip
कराची प्रस्तावों ने भविष्य के भारत के अधिकार और न्याय की दिशा दिखाई। परीक्षा में मौलिक अधिकार और आर्थिक कार्यक्रम याद रखें।
A. क्योंकि क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है/Because an alkali is a water-soluble base
Step 1
Concept
A substance forming salt and water with acid can be a base.
Step 2
Why this answer is correct
To be called an alkali it must dissolve in water.
Step 3
Exam Tip
If insoluble it is a base but not an alkali. चरण 1: अम्ल से लवण और जल बनाने वाला पदार्थ क्षार हो सकता है। चरण 2: क्षारीय विलयन कहलाने के लिए जल में घुलना जरूरी है। चरण 3: अघुलनशील होने पर वह क्षार है पर क्षारीय विलयन नहीं।
A. क्षार व्यापक वर्ग है जबकि जल में घुलनशील क्षार को अल्कली कहते हैं/Base is a broader class while water-soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
A base can neutralise an acid.
Step 2
Why this answer is correct
Bases that dissolve in water are called alkalis.
Step 3
Exam Tip
Therefore, every alkali is a base, but every base is not an alkali. चरण 1: क्षार वह पदार्थ है जो अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें अल्कली कहा जाता है। चरण 3: इसलिए हर अल्कली क्षार है पर हर क्षार अल्कली नहीं होता।
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बनाता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलने वाले क्षार को ही क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलते/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases are not called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जाता।
A base that dissolves in water has a special name.
Step 3
Exam Tip
Such a base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलता है उसे विशेष नाम दिया जाता है। चरण 3: ऐसा क्षार क्षारीय विलयन कहलाता है।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलते/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore every base is not called an alkali. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए हर क्षार को क्षारीय विलयन नहीं कहा जाता।
A base that dissolves in water has a separate name.
Step 3
Exam Tip
Such a base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलता है उसे अलग नाम दिया जाता है। चरण 3: ऐसे क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. क्योंकि घुलनशील क्षार ही अल्कली कहलाते हैं/Because only soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
Bases are a broad group.
Step 2
Why this answer is correct
Bases that dissolve in water are called alkalis.
Step 3
Exam Tip
Therefore all alkalis are bases, but all bases are not alkalis. चरण 1: क्षार एक व्यापक समूह है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें अल्कली कहा जाता है। चरण 3: इसलिए सभी अल्कली क्षार हैं पर सभी क्षार अल्कली नहीं हैं।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलते/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore every base is not an alkali. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए हर क्षार क्षारीय विलयन नहीं होता।
A base that dissolves in water has a special name.
Step 3
Exam Tip
Such a base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलता है उसे विशेष नाम दिया जाता है। चरण 3: ऐसे क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं।
B. क्योंकि सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते/Because all bases are not soluble in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases cannot be called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
A base soluble in water is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में नहीं घुलते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलता है उसे क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में घुलते नहीं हैं/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a base that dissolves in water.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases cannot be called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन वह क्षार है जो जल में घुलता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
Therefore a water-soluble base is an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारीय विलयन कहते हैं। चरण 3: इसलिए जल में घुलनशील क्षार क्षारीय विलयन है।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते/Because all bases are not soluble in water
Step 1
Concept
An alkali is a base that dissolves in water.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases cannot be called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन वह क्षार है जो जल में घुलता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
A base that dissolves in water is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलता है उसे क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. कुछ क्षार जल में अघुलनशील होते हैं/Some bases are insoluble in water
Step 1
Concept
An alkali is a base soluble in water.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases do not dissolve in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore every base cannot be called an alkali. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। चरण 2: कई क्षार जल में नहीं घुलते। चरण 3: इसलिए हर क्षार को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
A water-soluble base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलने वाले क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं।
A base can react with acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहते हैं।
A base can react with acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहते हैं।
B. सभी क्षार पानी में नहीं घुलते और घुलनशील क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं/All bases do not dissolve in water and soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
Bases can neutralise acids.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलने वाले क्षार को क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A water-soluble base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बनाता है। चरण 2: सभी क्षार पानी में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार पानी में घुलता है उसे क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A base can react with an acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A. सभी क्षार जल में नहीं घुलते और घुलनशील क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं/Not all bases dissolve in water and soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
Bases can neutralise acids.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A. क्षार लेकिन क्षारीय विलयन नहीं/Base but not an alkali
Step 1
Concept
A base can react with acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहा जाता है।
Bases that dissolve in water are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A base can react with an acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A. जल में घुलनशील क्षार को क्षारीय विलयन कहा जाता है/A water-soluble base forms an alkali solution
Step 1
Concept
Bases can neutralise acids.
Step 2
Why this answer is correct
Some bases dissolve in water and form alkaline solutions.
Step 3
Exam Tip
Thus only water-soluble bases form alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: कुछ क्षार जल में घुलते हैं और क्षारीय विलयन बनाते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षार क्षारीय विलयन नहीं बनाते पर घुलनशील क्षार ऐसा करते हैं।
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव सहित संक्षिप्त उत्तर/Short answer with definition example and effect
Step 1
Concept
Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव सहित संक्षिप्त उत्तर / Short answer with definition example and effect. Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे लेकिन स्पष्ट बिंदु लिखें।
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव/Definition example and effect
Step 1
Concept
Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव / Definition example and effect. Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे पर स्पष्ट बिंदु लिखें।
Plateaus are flat lands higher than surrounding areas. For exams remember the definition of plateau.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊंचे और समतल / High and flat. Plateaus are flat lands higher than surrounding areas. For exams remember the definition of plateau.
Step 3
Exam Tip
पठार आसपास के क्षेत्रों से ऊंचे समतल भूभाग होते हैं। परीक्षा में पठार की परिभाषा याद रखें।
In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (b-a=c-b). In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है।
The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. कभी नहीं / Never. The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
Step 3
Exam Tip
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती।
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Step 1
Concept
The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n). The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं।
D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6)/It is an AP and (d=6)
Step 1
Concept
The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6) / It is an AP and (d=6). The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर स्थिर (6) है, इसलिए अनुक्रम समांतर श्रेणी है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर मिले तो तुरंत समांतर श्रेणी पहचानें।
A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r)/It is an AP and (d=r)
Step 1
Concept
Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r) / It is an AP and (d=r). Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
Step 3
Exam Tip
हर अगले पद से पिछले पद को घटाने पर (r) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पदों में भी वही नियम लगाएं।
B. लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference of consecutive terms is equal
Step 1
Concept
In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. लगातार पदों का अंतर समान होता है / The difference of consecutive terms is equal. In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेढ़ी में \(a_2-a_1\) जैसा अंतर स्थिर रहता है। यही सबसे पहले जाँचना चाहिए।
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Step 1
Concept
In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है / Each next term is obtained by adding the same number to the previous term. In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
Step 3
Exam Tip
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है।
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Step 1
Concept
In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है / The difference between every two consecutive terms is equal. In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है।
In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^{\frac{3}{2}}+x+1\). In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
Step 3
Exam Tip
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं।
In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अऋणात्मक पूर्णांक / Non-negative integers. In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
Step 3
Exam Tip
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है।
\(\sqrt{5}\) is a real coefficient and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial in (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह (x) में बहुपद है / It is a polynomial in (x). \(\sqrt{5}\) is a real coefficient and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial in (x).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) वास्तविक गुणांक है और (x) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह (x) में बहुपद है।
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(x^2+\frac{4}{x}+1\). \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए।
In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अऋणात्मक पूर्णांक / Non-negative integers. In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
Step 3
Exam Tip
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे महत्वपूर्ण पहचान नियम है।
Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल / Root. Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें।
A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है/(r) is a root of (p(x)=0)
Step 1
Concept
(p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है / (r) is a root of (p(x)=0). (p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
Step 3
Exam Tip
(p(r)=0) का अर्थ है कि (x=r) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। मूल जांचने के लिए प्रतिस्थापन सबसे सुरक्षित तरीका है।
A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो/The value that satisfies the equation
Step 1
Concept
A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो / The value that satisfies the equation. A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
Step 3
Exam Tip
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का मान (0) हो जाता है। परीक्षा में पहले मान रखकर जांचें।
When the highest power is (2), the equation is called quadratic. Identifying degree is the first step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. द्विघात समीकरण / Quadratic equation. When the highest power is (2), the equation is called quadratic. Identifying degree is the first step.
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी घात (2) होने पर समीकरण द्विघात कहलाता है। घात पहचानना पहला कदम है।
An equation of degree (2) is called a quadratic equation. Remember that quadratic means degree (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. द्विघात समीकरण / Quadratic equation. An equation of degree (2) is called a quadratic equation. Remember that quadratic means degree (2).
Step 3
Exam Tip
घात (2) वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं। नाम याद रखने के लिए द्वि का अर्थ (2) समझें।
\(\sqrt{14}\) is irrational because (14) is not a perfect square. The other options can be written in rational form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{14}\). \(\sqrt{14}\) is irrational because (14) is not a perfect square. The other options can be written in rational form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{14}\) अपरिमेय है क्योंकि (14) पूर्ण वर्ग नहीं है। बाकी विकल्प परिमेय रूप में लिखे जा सकते हैं।
A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है।
\(\frac{p}{q}\) form is the definition of a rational number. The denominator (q) must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय संख्या / Rational number. \(\frac{p}{q}\) form is the definition of a rational number. The denominator (q) must not be zero.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{p}{q}\) रूप परिमेय संख्या की परिभाषा है। इसमें हर (q) शून्य नहीं होना चाहिए।
The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बहुपद का शून्यक / Zero of the polynomial. The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
Step 3
Exam Tip
जिस मान पर बहुपद का मान (0) हो, वह शून्यक कहलाता है। इसलिए (c) बहुपद का शून्यक है।
A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (p(2)=0) हो / When (p(2)=0). A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
Step 3
Exam Tip
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए।
A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं/\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप दो पूर्णांकों का अनुपात होता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह पूरा रूप लिखना चाहिए।
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 3: प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें।
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना/Having a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers are defined as having only (1) as common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Finding any common factor other than (1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
Irrationality proofs show exactly this impossible situation. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा है कि उनका साझा गुणनखंड केवल (1) हो। चरण 2: (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिलना असंभव है। चरण 3: अपरिमेयता की सिद्धि इसी असंभव स्थिति को दिखाती है।
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में/As a ratio of two integers
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
So assuming \(\sqrt{2}\) rational, we write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Start the proof from the definition. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। चरण 3: परिभाषा से प्रमाण की शुरुआत करें।
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में/As a ratio of two integers
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
So after assuming rationality, we write \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
The definition of rationality starts the proof. चरण 1: परिमेय संख्या की पहचान है कि वह दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सके। चरण 2: इसलिए परिमेय मानते ही \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: परिमेयता की परिभाषा प्रमाण की शुरुआत बनती है।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying a square root often helps identify the number correctly. चरण 1: समाप्त दशमलव और भिन्न परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके देखना कई बार सही पहचान देता है।
C. जिसका दशमलव अनवसानी और अनावर्ती हो/Its decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
It also does not repeat in a fixed pattern.
Step 3
Exam Tip
Decimal expansion is a useful way to identify irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या का दशमलव खत्म नहीं होता। चरण 2: उसमें कोई निश्चित दोहराव भी नहीं होता। चरण 3: दशमलव विस्तार देखकर अपरिमेय संख्या पहचानना आसान हो जाता है।
A rational number can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
A number that cannot be written in this form is called irrational.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, remember the condition \(q \neq 0\). चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: जो संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती, वह अपरिमेय कहलाती है। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्न में \(q \neq 0\) की शर्त याद रखें।
121 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<121\) है। चरण 2: 121 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
109 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<109\) है। चरण 2: 109 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
97 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<97\) है। चरण 2: 97 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
63 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<63\) है। चरण 2: 63 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: (r<b) वाली शर्त को परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले जांचें।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
41 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, (r<b) is the most important rule. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<41\) है। चरण 2: 41 भाजक के बराबर है, इसलिए शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) सबसे महत्वपूर्ण नियम है।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
B. (q) पूर्णांक और \(0\le r<b\)/(q) integer and \(0\le r<b\)
Step 1
Concept
In the lemma, (q) is an integer and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The key condition is \(0\le r<b\).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, the remainder condition is the most important clue. चरण 1: प्रमेय में (q) पूर्णांक हो सकता है और (r) शेषफल होता है। चरण 2: शेषफल की मुख्य शर्त \(0\le r<b\) है। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में शेषफल की सीमा सबसे महत्वपूर्ण संकेत है।
