(-8+(-12)=-20) and ((-8)(-12)=96), so this pair is correct. In exams, when (c) is positive and (b) is negative, both numbers are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-8) और (-12) / (-8) and (-12). (-8+(-12)=-20) and ((-8)(-12)=96), so this pair is correct. In exams, when (c) is positive and (b) is negative, both numbers are negative.
Step 3
Exam Tip
(-8+(-12)=-20) और ((-8)(-12)=96), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में (c) धनात्मक और (b) ऋणात्मक हो तो दोनों संख्याएं ऋणात्मक होती हैं।
(-8+(-10)=-18) and ((-8)(-10)=80), so this pair is correct. In exams, when (c) is positive and (b) is negative, both numbers are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-8) और (-10) / (-8) and (-10). (-8+(-10)=-18) and ((-8)(-10)=80), so this pair is correct. In exams, when (c) is positive and (b) is negative, both numbers are negative.
Step 3
Exam Tip
(-8+(-10)=-18) और ((-8)(-10)=80), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में (c) धनात्मक और (b) ऋणात्मक हो तो दोनों संख्याएं ऋणात्मक होती हैं।
(-5+(-9)=-14) and ((-5)(-9)=45), so this pair is correct. In exams, if (c) is positive and (b) is negative, both numbers may be negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-5) और (-9) / (-5) and (-9). (-5+(-9)=-14) and ((-5)(-9)=45), so this pair is correct. In exams, if (c) is positive and (b) is negative, both numbers may be negative.
Step 3
Exam Tip
(-5+(-9)=-14) और ((-5)(-9)=45), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में (c) धनात्मक और (b) ऋणात्मक हो तो दोनों संख्याएं ऋणात्मक हो सकती हैं।
(8+(-5)=3) and \(8\times(-5)=-40\), so this pair is correct. In exams, match the sum with (b) and product with (c).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (8) और (-5) / (8) and (-5). (8+(-5)=3) and \(8\times(-5)=-40\), so this pair is correct. In exams, match the sum with (b) and product with (c).
Step 3
Exam Tip
(8+(-5)=3) और \(8\times(-5)=-40\), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (c) से मिलाएं।
(6+(-4)=2) and \(6\times(-4)=-24\), so this pair is correct. In exams, match the sum with (b) and product with (c).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6) और (-4) / (6) and (-4). (6+(-4)=2) and \(6\times(-4)=-24\), so this pair is correct. In exams, match the sum with (b) and product with (c).
Step 3
Exam Tip
(6+(-4)=2) और \(6\times(-4)=-24\), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (c) से मिलाएं।
(5+(-3)=2) and \(5\times(-3)=-15\), so this pair is correct. In exams, split the middle term using such a pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (5) और (-3) / (5) and (-3). (5+(-3)=2) and \(5\times(-3)=-15\), so this pair is correct. In exams, split the middle term using such a pair.
Step 3
Exam Tip
(5+(-3)=2) और \(5\times(-3)=-15\), इसलिए यह जोड़ी सही है। परीक्षा में मध्य पद को इसी जोड़ी से तोड़ें।
The numbers with product (-18) and sum (-3) are (3) and (-6). Hence this is the correct pair of roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) और (-6) / (3) and (-6). The numbers with product (-18) and sum (-3) are (3) and (-6). Hence this is the correct pair of roots.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल (-18) और योग (-3) वाली संख्याएँ (3) और (-6) हैं। इसलिए यही जड़ों का सही युग्म है।
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Step 1
Concept
The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) / \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\). The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
Step 3
Exam Tip
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें।
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) / \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\). The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
Step 3
Exam Tip
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं।
The sum is \(3+\sqrt{2}\) and the product is \(3\sqrt{2}\). These match (3) and \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) और \(\sqrt{2}\) / (3) and \(\sqrt{2}\). The sum is \(3+\sqrt{2}\) and the product is \(3\sqrt{2}\). These match (3) and \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
योग \(3+\sqrt{2}\) और गुणनफल \(3\sqrt{2}\) है। ये (3) और \(\sqrt{2}\) से मिलते हैं।
A. \(-2+\sqrt{2}\) और \(-2-\sqrt{2}\)/\(-2+\sqrt{2}\) and \(-2-\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
By the formula, \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\). Pay attention to the negative sign and denominator (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-2+\sqrt{2}\) और \(-2-\sqrt{2}\) / \(-2+\sqrt{2}\) and \(-2-\sqrt{2}\). By the formula, \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\). Pay attention to the negative sign and denominator (2).
Step 3
Exam Tip
सूत्र से \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\)। ऋण चिह्न और हर (2) दोनों पर ध्यान दें।
A. \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\)/\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\)
Step 1
Concept
The sum is \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) and the product is \(\sqrt{35}\). Both match \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) / \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\). The sum is \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) and the product is \(\sqrt{35}\). Both match \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\).
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) और गुणनफल \(\sqrt{35}\) है। ये दोनों \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) से मिलते हैं।
By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\pm\sqrt{10}\). By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
Step 3
Exam Tip
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\) है। (D) को सरल करने में \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) याद रखें।
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\) / \(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\). For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है।
The sum is \(2-\sqrt{5}\), so the coefficient of (x) is (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2). The product \(-2\sqrt{5}\) also matches.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) और \(-\sqrt{5}\) / (2) and \(-\sqrt{5}\). The sum is \(2-\sqrt{5}\), so the coefficient of (x) is (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2). The product \(-2\sqrt{5}\) also matches.
Step 3
Exam Tip
योग \(2-\sqrt{5}\) है, इसलिए (x) का गुणांक (-\(2-\sqrt{5}\)=\sqrt{5}-2) है। गुणनफल \(-2\sqrt{5}\) भी सही है।
The first coordinates of intersection points are the zeroes. Tip: choose points whose second coordinate is (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-8) और (3) / (-8) and (3). The first coordinates of intersection points are the zeroes. Tip: choose points whose second coordinate is (0).
Step 3
Exam Tip
कटान बिंदुओं के पहले निर्देशांक शून्यक होते हैं। टिप: दूसरे निर्देशांक को (0) देखकर बिंदु चुनें।
A. \(100x=237.555\ldots\), \(1000x=2375.555\ldots\)
Step 1
Concept
In \(x=2.37555\ldots\), (37) is the non-repeating part and (5) is repeating.
Step 2
Why this answer is correct
Taking (100x) and (1000x) aligns the repeating parts. Subtracting then gives the fraction.
Step 3
Exam Tip
First note the length of the non-repeating part and then the repeating part. चरण 1: \(x=2.37555\ldots\) में दशमलव के बाद (37) सांत भाग है और (5) आवर्ती है। चरण 2: (100x) और (1000x) लेने से आवर्ती भाग एक जैसी स्थिति में आ जाता है। फिर घटाने से भिन्न मिलती है। चरण 3: पहले सांत भाग की लंबाई और फिर आवर्ती भाग की लंबाई देखें।
In \(x=0.21818\ldots\), the non-repeating part is (2) and the repeating part is (18).
Step 2
Why this answer is correct
First use \(10x=2.1818\ldots\), then \(1000x=218.1818\ldots\) so the recurring parts align.
Step 3
Exam Tip
Choose powers of (10) based on the lengths of the non-repeating and repeating parts. चरण 1: \(x=0.21818\ldots\) में पहले (2) सांत भाग है और (18) आवर्ती भाग है। चरण 2: पहले \(10x=2.1818\ldots\) से आवर्ती भाग दशमलव के तुरंत बाद आता है, फिर \(1000x=218.1818\ldots\) से वही आवर्ती भाग मिलाया जाता है। चरण 3: सांत भाग के अंकों और आवर्ती भाग के अंकों के अनुसार (10) की घात चुनें।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
(5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Non-perfect squares between two square numbers give such pairs. चरण 1: \(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। चरण 2: (5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। चरण 3: बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं।
Their sum is (3+4=7), so this pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
To get an integer sum, first check the perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{9}=3\) और \(\sqrt{16}=4\) हैं। चरण 2: इनका योग (3+4=7) है, इसलिए यह युग्म शर्त पूरी करता है। चरण 3: पूर्णांक योग पाने के लिए पहले पूर्ण वर्ग वाले विकल्प जाँचें।
To get a rational integer sum, check perfect squares first. चरण 1: \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: इनका योग (2+3=5) है। चरण 3: परिमेय पूर्णांक योग पाने के लिए पूर्ण वर्गों को पहले जाँचें।
B. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients, check whether the value inside the root becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में मूल के अंदर का भाग पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं, यह देखें।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Before applying a general rule for two irrationals, test possible counterexamples. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग पर सामान्य नियम लगाने से पहले उदाहरण जाँचें।
Since (3) and (11) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times3\times11=858\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(78=26\times3\) और \(286=26\times11\) हैं। चरण 2: (3) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times3\times11=858\) है। चरण 3: विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
Do not count reversed order as a new pair. चरण 1: संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें।
Since (11) and (10) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times11\times10=2860\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check if the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(286=26\times11\) और \(260=26\times10\) हैं। चरण 2: (11) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times11\times10=2860\) है। चरण 3: विकल्प में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता जाँचें।
Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
Do not split the same prime factor into both parts. चरण 1: संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें।
Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime. चरण 1: संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें।
Since (7) and (12) are coprime, HCF is (22) and LCM is \(22\times7\times12=1848\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(154=22\times7\) और \(264=22\times12\) हैं। चरण 2: (7) और (12) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) और लघुत्तम समापवर्त्य \(22\times7\times12=1848\) है। चरण 3: विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) and (n) must not share a prime factor. चरण 1: संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: (m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। चरण 3: वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें।
Since (5) and (13) are coprime, HCF is (14) and LCM is \(14\times5\times13=910\).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF while checking options. चरण 1: \(70=14\times5\) और \(182=14\times13\) हैं। चरण 2: (5) और (13) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (14) और लघुत्तम समापवर्त्य \(14\times5\times13=910\) है। चरण 3: विकल्प जाँचते समय महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालें।
Since (2) and (11) are coprime, HCF is (21) and LCM is \(21\times2\times11=462\).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(42=21\times2\) और \(231=21\times11\) हैं। चरण 2: (2) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (21) और लघुत्तम समापवर्त्य \(21\times2\times11=462\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
\(54=18\times3\) and \(180=18\times10\), where (3) and (10) are coprime, so HCF is (18) and LCM is \(18\times3\times10=540\).
Step 3
Exam Tip
In options, check HCF first. चरण 1: सही जोड़े के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य दोनों जाँचने होंगे। चरण 2: \(54=18\times3\) और \(180=18\times10\), जहाँ (3) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (18) और लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times3\times10=540\) है। चरण 3: विकल्पों में पहले महत्तम समापवर्तक जाँचें।
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before trying pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check the nature of both numbers separately. चरण 1: (8) परिमेय संख्या है। चरण 2: \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है क्योंकि (15) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की प्रकृति अलग-अलग जांचें।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In a pair, identify each number separately. चरण 1: (3) परिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म में दोनों संख्याओं को अलग-अलग पहचानें।
In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check both numbers, not just one. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है।
A correct pair must give both HCF (24) and LCM (720).
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\) and \(240=2^4\times 3\times 5\). Their HCF is \(2^3\times 3=24\) and LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\).
Step 3
Exam Tip
For option checking, prime factorise first. चरण 1: किसी सही जोड़ी में महत्तम समापवर्तक (24) और लघुत्तम समापवर्त्य (720) दोनों मिलने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3\times 3^2\) और \(240=2^4\times 3\times 5\)। इनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3=24\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। चरण 3: विकल्प जाँच में पहले अभाज्य गुणनखंडन करें।
For (a=2,\ b=5), we get ((3)(6)=18). The other options do not give (18).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, substitute values into the rule quickly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होंगे। चरण 2: (a=2,\ b=5) रखने पर ((3)(6)=18) मिलता है। बाकी विकल्प (18) नहीं देते। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को नियम में रखकर जल्दी जांचें।
They have no common prime factor, so they are co-prime.
Step 3
Exam Tip
If a common prime factor appears, the pair is not co-prime. चरण 1: \(25=5^2\) और \(36=2^2\times3^2\) हैं। चरण 2: इनमें कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड मिलते ही युग्म सह-अभाज्य नहीं रहेगा।
They have no common prime factor, so they are co-prime.
Step 3
Exam Tip
If a common prime factor is found, the pair is not co-prime. चरण 1: \(9=3^2\) और \(16=2^4\) हैं। चरण 2: इनमें कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड मिलने पर युग्म सह-अभाज्य नहीं रहता।
\(8=2^3\) and \(15=3\times5\), so they have no common prime factor.
Step 3
Exam Tip
If a common factor appears, the pair is not co-prime. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(8=2^3\) और \(15=3\times5\), इनमें कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है। चरण 3: समान गुणनखंड मिलते ही युग्म सह-अभाज्य नहीं रहेगा।
B. भारत माता और मातृभूमि के प्रति श्रद्धा/Bharat Mata and reverence for the motherland
Step 1
Concept
A symbol is understood through its social message.
Step 2
Why this answer is correct
Bharat Mata presented the country as a revered motherland.
Step 3
Exam Tip
In pair-based questions, match the symbol with its message carefully. चरण 1: प्रतीक का अर्थ उसके सामाजिक संदेश से समझा जाता है। चरण 2: भारत माता ने देश को पूज्य मातृभूमि के रूप में दिखाया। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में प्रतीक और उसके संदेश को साथ मिलाकर पहचानें।
B. वंदे मातरम् और लोककथाएं/Vande Mataram and folk tales
Step 1
Concept
Vande Mataram spread feeling through song.
Step 2
Why this answer is correct
Folk tales connected people with cultural heritage.
Step 3
Exam Tip
Cultural tools create both identity and emotion. चरण 1: वंदे मातरम् गीत के माध्यम से भावना फैलाता था। चरण 2: लोककथाएं सांस्कृतिक विरासत से जोड़ती थीं। चरण 3: सांस्कृतिक साधन पहचान और भावना दोनों बनाते हैं।
A. भारत माता और राष्ट्रीय ध्वज/Bharat Mata and national flag
Step 1
Concept
Bharat Mata shows emotional belonging toward the country.
Step 2
Why this answer is correct
The national flag is a visual symbol of shared identity.
Step 3
Exam Tip
In exams treat both as simple examples. चरण 1: भारत माता देश के प्रति भावनात्मक अपनापन दिखाती है। चरण 2: राष्ट्रीय ध्वज साझा पहचान का दृश्य प्रतीक है। चरण 3: परीक्षा में दोनों को सरल उदाहरण मानें।
A. भारत माता और राष्ट्रीय ध्वज/Bharat Mata and national flag
Step 1
Concept
Bharat Mata gave the country an emotional form.
Step 2
Why this answer is correct
The national flag gave a visual symbol of shared identity.
Step 3
Exam Tip
In exams use both as simple examples of collective belonging. चरण 1: भारत माता ने देश को भावनात्मक रूप दिया। चरण 2: राष्ट्रीय ध्वज ने साझा पहचान का दृश्य प्रतीक दिया। चरण 3: परीक्षा में इन दोनों को सामूहिक अपनापन समझाने के सरल उदाहरण मानें।
C. बागान छोड़ने की स्वतंत्रता और घर वापसी/Freedom to leave plantations and return home
Step 1
Concept
Plantation workers lived under strict control.
Step 2
Why this answer is correct
They linked swaraj with the freedom to leave plantations and return home.
Step 3
Exam Tip
Remember plantation workers through freedom of movement. चरण 1: बागान मजदूर कठोर नियंत्रण में रहते थे। चरण 2: वे स्वराज को बागान छोड़कर घर लौटने की स्वतंत्रता से जोड़ते थे। चरण 3: बागान मजदूरों को आवाजाही की स्वतंत्रता से याद रखें।
A. वन अधिकार और औपनिवेशिक नियंत्रण से मुक्ति/Forest rights and freedom from colonial control
Step 1
Concept
Gudem tribals were connected with forests and forest rights.
Step 2
Why this answer is correct
For them swaraj meant relief from government control and return of traditional rights.
Step 3
Exam Tip
Remember tribal swaraj through forests. चरण 1: गुडेम आदिवासी जंगलों और वन अधिकारों से जुड़े थे। चरण 2: स्वराज उनके लिए सरकारी नियंत्रण से राहत और परंपरागत अधिकारों की वापसी था। चरण 3: आदिवासी स्वराज को जंगलों से जोड़कर याद करें।
A. लगान में राहत और बेगार का अंत/Relief in rent and end of forced labour
Step 1
Concept
The Awadh peasant movement centred on rent forced labour and eviction.
Step 2
Why this answer is correct
So their idea of swaraj was linked with relief from these injustices.
Step 3
Exam Tip
Remember each group with its specific demand. चरण 1: अवध किसान आंदोलन का केंद्र लगान बेगार और बेदखली थे। चरण 2: इसलिए स्वराज की उनकी कल्पना इन्हीं अन्यायों से राहत से जुड़ी थी। चरण 3: समूह और उसकी खास मांग को सही जोड़ी में याद रखें।
A. क्योंकि कुछ जीवों में भाग से पूरा नया जीव बन सकता है/Because in some organisms a part can form a whole new organism
Step 1
Concept
Repair only heals a damaged part.
Step 2
Why this answer is correct
In regeneration a small part of some organisms can form a whole body.
Step 3
Exam Tip
So it is not only wound healing. चरण 1: मरम्मत में केवल क्षतिग्रस्त भाग ठीक होता है। चरण 2: पुनर्जनन में कुछ जीवों के छोटे भाग से पूरा शरीर बन सकता है। चरण 3: इसलिए यह केवल घाव भरना नहीं है।
A. थायरॉइड ग्रंथि और आयोडीन/Thyroid gland and iodine
Step 1
Concept
Thyroxine is made by the thyroid gland.
Step 2
Why this answer is correct
Iodine is needed for its formation.
Step 3
Exam Tip
Iodine deficiency may cause low thyroxine and a condition like goitre. चरण 1: थायरॉक्सिन थायरॉइड ग्रंथि से बनता है। चरण 2: इसके निर्माण के लिए आयोडीन जरूरी है। चरण 3: आयोडीन की कमी से थायरॉक्सिन की कमी और गंडमाला जैसी स्थिति हो सकती है।
A. खोपड़ी और रीढ़ की हड्डी/Skull and vertebral column
Step 1
Concept
The skull protects the brain.
Step 2
Why this answer is correct
The spinal cord is protected inside the vertebral column.
Step 3
Exam Tip
Both structures protect the main parts of the nervous system. चरण 1: मस्तिष्क को कठोर खोपड़ी सुरक्षा देती है। चरण 2: मेरुरज्जु रीढ़ की हड्डी के भीतर सुरक्षित रहती है। चरण 3: दोनों संरचनाएं तंत्रिका तंत्र के मुख्य भागों की रक्षा करती हैं।
A. चलना और गरम वस्तु से हाथ हटाना/Walking and withdrawing hand from hot object
Step 1
Concept
Walking is linked with will and brain control.
Step 2
Why this answer is correct
Withdrawing hand from a hot object is a quick reflex action.
Step 3
Exam Tip
This pair clearly shows the difference. चरण 1: चलना हमारी इच्छा और मस्तिष्क नियंत्रण से जुड़ा है। चरण 2: गरम वस्तु से हाथ हटाना तेज प्रतिवर्ती क्रिया है। चरण 3: यह जोड़ा स्वैच्छिक और प्रतिवर्ती क्रिया का स्पष्ट अंतर दिखाता है।
A. तने का प्रकाश की ओर मुड़ना और मिमोसा पत्ती का मुड़ना/Stem bending towards light and folding of Mimosa leaf
Step 1
Concept
Bending of stem towards light happens due to growth.
Step 2
Why this answer is correct
Folding of Mimosa leaf is quick and not growth based.
Step 3
Exam Tip
So this pair shows the correct difference. चरण 1: तने का प्रकाश की ओर मुड़ना वृद्धि के कारण होता है। चरण 2: मिमोसा पत्ती का मुड़ना तुरंत होता है और वृद्धि आधारित नहीं है। चरण 3: इसलिए यह जोड़ा सही भेद दिखाता है।
Heartbeat continues automatically so it is involuntary. चरण 1: स्वैच्छिक क्रिया इच्छा से होती है। चरण 2: लिखना इच्छा से किया जाता है। चरण 3: हृदय धड़कना अपने आप चलता है इसलिए यह अनैच्छिक है।
C. थायरॉइड ग्रंथि और थाइरॉक्सिन/Thyroid gland and thyroxine
Step 1
Concept
Thyroxine is secreted by the thyroid gland.
Step 2
Why this answer is correct
Insulin is made by the pancreas and adrenaline by the adrenal gland.
Step 3
Exam Tip
Therefore thyroid gland and thyroxine is the correct pair. चरण 1: थाइरॉक्सिन थायरॉइड ग्रंथि से स्रावित होता है। चरण 2: इंसुलिन अग्न्याशय से और एड्रेनालिन अधिवृक्क ग्रंथि से बनता है। चरण 3: इसलिए थायरॉइड ग्रंथि और थाइरॉक्सिन सही जोड़ा है।
D. प्रमस्तिष्क और बुद्धि संबंधी कार्य/Cerebrum and intellectual functions
Step 1
Concept
The cerebrum is linked with thinking understanding and learning.
Step 2
Why this answer is correct
The cerebellum is linked with balance and the medulla with involuntary actions.
Step 3
Exam Tip
So cerebrum and intellectual functions is the correct pair. चरण 1: प्रमस्तिष्क सोचने समझने और सीखने से जुड़ा है। चरण 2: अनुमस्तिष्क संतुलन से और मेडुला अनैच्छिक क्रियाओं से जुड़ा है। चरण 3: इसलिए प्रमस्तिष्क और बुद्धि संबंधी कार्य का जोड़ा सही है।
A. अली बंधु खिलाफत आंदोलन/Ali brothers Khilafat Movement
Step 1
Concept
Mohammad Ali and Shaukat Ali were linked with the Khilafat Movement.
Step 2
Why this answer is correct
General Dyer was linked with Jallianwala Bagh.
Step 3
Exam Tip
Therefore the first pair is correct. चरण 1: मोहम्मद अली और शौकत अली खिलाफत आंदोलन से जुड़े थे। चरण 2: जनरल डायर जलियाँवाला बाग से जुड़ा था। चरण 3: इसलिए पहला युग्म सही है।
A. रौलेट अधिनियम बिना मुकदमे कैद/Rowlatt Act detention without trial
Step 1
Concept
The Rowlatt Act gave the government power to detain without trial.
Step 2
Why this answer is correct
This was its repressive feature.
Step 3
Exam Tip
The other pairs do not match their correct contexts. चरण 1: रौलेट अधिनियम सरकार को बिना मुकदमे कैद की शक्ति देता था। चरण 2: यही इसकी दमनकारी विशेषता थी। चरण 3: बाकी युग्म अपने सही संदर्भ से मेल नहीं खाते।
A. खिलाफत आंदोलन अली बंधु/Khilafat Movement Ali brothers
Step 1
Concept
The Ali brothers were linked with the Khilafat Movement.
Step 2
Why this answer is correct
The Rowlatt Act was linked with detention without trial.
Step 3
Exam Tip
Therefore the first pair is correct. चरण 1: अली बंधु खिलाफत आंदोलन से जुड़े थे। चरण 2: रौलेट अधिनियम बिना मुकदमे कैद से जुड़ा था। चरण 3: इसलिए पहला युग्म सही है।
A. रौलेट अधिनियम बिना मुकदमे कैद/Rowlatt Act detention without trial
Step 1
Concept
The Rowlatt Act attacked civil liberties.
Step 2
Why this answer is correct
It allowed detention without trial.
Step 3
Exam Tip
The other pairs do not match their correct contexts. चरण 1: रौलेट अधिनियम नागरिक स्वतंत्रता पर हमला था। चरण 2: इसमें बिना मुकदमे कैद की शक्ति थी। चरण 3: बाकी युग्म अपने सही संदर्भ से मेल नहीं खाते।
Memorise the correct figure-country pairing. चरण 1: मैरीआन फ्रांस की गणतांत्रिक प्रतीक थी। चरण 2: जर्मानिया जर्मनी की राष्ट्रीय प्रतीक थी। चरण 3: नाम और देश की सही जोड़ी याद रखना जरूरी है।
This pair explains both strength and freedom of the German nation. चरण 1: तलवार शक्ति और रक्षा का प्रतीक है। चरण 2: टूटी बेड़ियां बंधन से मुक्ति दिखाती हैं। चरण 3: यह जोड़ी जर्मन राष्ट्र की शक्ति और स्वतंत्रता दोनों समझाती है।
This pair explains both strength and freedom of the German nation. चरण 1: तलवार शक्ति और रक्षा का प्रतीक है। चरण 2: टूटी बेड़ियां बंधन से मुक्ति दिखाती हैं। चरण 3: यह जोड़ी जर्मन राष्ट्र की शक्ति और स्वतंत्रता दोनों समझाती है।
This pair explains both strength and freedom of the German nation. चरण 1: तलवार शक्ति और रक्षा का प्रतीक है। चरण 2: टूटी बेड़ियां बंधन से मुक्ति दिखाती हैं। चरण 3: इस जोड़ी से जर्मन राष्ट्र की शक्ति और स्वतंत्रता दोनों समझ आती हैं।
