(2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
First identify perfect and non-perfect squares. चरण 1: (4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें।
A. आंदोलन को नैतिक और अनुशासित बनाए रखना/To keep the movement moral and disciplined
Step 1
Concept
Gandhi’s struggle was based on truth and non-violence.
Step 2
Why this answer is correct
Discipline was necessary to involve large numbers of people.
Step 3
Exam Tip
Therefore non-violence became the main basis of the movement. चरण 1: गांधीजी का संघर्ष सत्य और अहिंसा पर आधारित था। चरण 2: बड़ी जनता को जोड़ने के लिए अनुशासन जरूरी था। चरण 3: इसलिए अहिंसा आंदोलन का मुख्य आधार बनी।
A. यह आंदोलन का मुख्य आधार थी/It was the main basis of the movement
Step 1
Concept
Gandhi believed in non-violent struggle.
Step 2
Why this answer is correct
The Non-Cooperation Movement was based on non-violence.
Step 3
Exam Tip
Violence could disturb the direction of the movement. चरण 1: गांधीजी अहिंसक संघर्ष में विश्वास करते थे। चरण 2: असहयोग आंदोलन अहिंसा पर आधारित था। चरण 3: हिंसा से आंदोलन की दिशा बिगड़ सकती थी।
(4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, identify perfect squares first. चरण 1: (4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें।
A. विस्तृत जन भागीदारी में स्थानीय रोष और अलग अपेक्षाएं शामिल थीं/Wide mass participation included local anger and different expectations
Step 1
Concept
The movement spread on a very large scale.
Step 2
Why this answer is correct
Different regions had their own problems and anger.
Step 3
Exam Tip
So keeping everyone under non-violent discipline became difficult. चरण 1: आंदोलन बहुत बड़े स्तर पर फैला। चरण 2: अलग क्षेत्रों की अपनी समस्याएं और गुस्सा था। चरण 3: इसलिए सभी को अहिंसक अनुशासन में रखना कठिन हुआ।
A. क्योंकि इसमें अन्यायपूर्ण शासन से सहयोग वापस लेना था हिंसा करना नहीं/Because it meant withdrawing cooperation from unjust rule not using violence
Step 1
Concept
Non-cooperation meant creating distance from unjust rule.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi emphasised moral protest instead of violence.
Step 3
Exam Tip
Therefore non-violence remained its main identity. चरण 1: असहयोग का अर्थ अन्यायपूर्ण शासन से दूरी बनाना था। चरण 2: गांधीजी ने इसमें हिंसा के स्थान पर नैतिक विरोध पर जोर दिया। चरण 3: इसलिए अहिंसा इसकी मुख्य पहचान रही।
A. क्योंकि विशाल जन भागीदारी में स्थानीय रोष और अलग मांगें शामिल थीं/Because massive participation included local anger and different demands
Step 1
Concept
Very large numbers joined the movement.
Step 2
Why this answer is correct
In many places there was strong anger against local exploitation.
Step 3
Exam Tip
Because of this diversity maintaining non-violent discipline became difficult. चरण 1: आंदोलन में बहुत बड़ी संख्या में लोग जुड़े। चरण 2: कई जगह स्थानीय शोषण के खिलाफ तीव्र रोष था। चरण 3: इतनी विविधता के कारण अहिंसक अनुशासन बनाए रखना कठिन हुआ।
A. क्योंकि गांधीजी नैतिक शक्ति और जनअनुशासन से शासन को चुनौती देना चाहते थे/Because Gandhi wanted to challenge rule through moral force and mass discipline
Step 1
Concept
Gandhi’s satyagraha was based on non-violence.
Step 2
Why this answer is correct
Non-violence gave the movement moral strength.
Step 3
Exam Tip
If discipline broke the movement could lose direction. चरण 1: गांधीजी का सत्याग्रह अहिंसा पर आधारित था। चरण 2: अहिंसा से आंदोलन को नैतिक बल मिलता था। चरण 3: जनअनुशासन टूटने पर आंदोलन की दिशा बदल सकती थी।
A. आंदोलन को नैतिक शक्ति और जन अनुशासन देना/To give moral strength and mass discipline to the movement
Step 1
Concept
Gandhi's politics was based on non-violence.
Step 2
Why this answer is correct
Non-violence gave moral strength to the movement.
Step 3
Exam Tip
It also helped keep a large mass movement disciplined. चरण 1: गांधीजी की राजनीति अहिंसा पर आधारित थी। चरण 2: अहिंसा से आंदोलन को नैतिक ऊंचाई मिलती थी। चरण 3: इससे बड़े जन आंदोलन को अनुशासित रखना संभव था।
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Step 1
Concept
A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न / Real, rational and distinct. A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल मिलते हैं। (D) का चिन्ह और पूर्ण वर्ग दोनों देखें।
A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी/\(\sqrt{n}\) will be irrational
Step 1
Concept
If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होगी / \(\sqrt{n}\) will be irrational. If positive integer (n) is not a perfect square then \(\sqrt{n}\) is irrational. This is an easy exam rule.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांक (n) पूर्ण वर्ग न हो तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होती है। यह आसान परीक्षा नियम है।
A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction
Step 1
Concept
Since (2) is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is not an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But irrationality needs proving it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore write the contradiction proof using a coprime fraction. चरण 1: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 2: पर अपरिमेयता के लिए यह भी सिद्ध करना होता है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य भिन्न वाला विरोधाभास प्रमाण लिखें।
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
That is why the contradiction proof is written. चरण 1: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। चरण 2: पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है।
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
Identifying perfect squares is the first task in such questions. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है।
Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root. चरण 1: (m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। चरण 2: (4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by primes with odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें।
In a perfect square, all prime exponents must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) is already even, and \(3^3\) needs one more (3) to become \(3^4\).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by the prime that has an odd exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) पहले से सम है और \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घात वाले अभाज्य को एक बार और गुणा करें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a square, increase odd exponents by one to make them even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) has an odd exponent, so multiplying by (2) makes it \(2^6\); \(7^2\) is already even.
Step 3
Exam Tip
For squares, fix only the odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: \(2^5\) में घात विषम है, इसलिए एक (2) और गुणा करने पर \(2^6\) हो जाएगा; \(7^2\) पहले से ठीक है। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए केवल विषम घातों को ठीक करें।
D. कोई भी मान संभव नहीं है/None of the values is possible
Step 1
Concept
A perfect square requires all prime exponents to be even.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is already (3), which is odd, so changing only (x) cannot make the number a perfect square.
Step 3
Exam Tip
Check the whole prime factorisation, not only the unknown exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: यहां \(2^3\) की घात पहले से विषम है, इसलिए केवल (x) बदलने से संख्या पूर्ण वर्ग नहीं बन सकती। चरण 3: पूरी अभाज्य रचना देखें, केवल अज्ञात घात पर ध्यान न दें।
\(2^3\) and \(5^1\) have odd powers, so multiply by \(2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not multiply the prime whose exponent is already even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर घात सम चाहिए। चरण 2: \(2^3\) और \(5^1\) की घात विषम है, इसलिए (2) और (5) से गुणा करने पर \(2^4\times3^2\times5^2\) बनेगा। चरण 3: सम घात वाली अभाज्य संख्या को फिर से गुणा न करें।
\(2^2\) is already fine, \(3^3\) needs one (3), and \(5^1\) needs one (5).
Step 3
Exam Tip
Make only the odd exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) और \(5^1\) को \(5^2\) बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम बनाएं।
All powers are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
For a perfect square, odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^4\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(105840=2^4\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) बचेगा।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=64\times3969=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
For a perfect square, odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
The smallest divisor should be 1, but 1 is not listed; therefore no given option is correct. चरण 1: \(63504=2^4\times3^4\times7^2\) नहीं, बल्कि \(63504=16\times3969=2^4\times3^4\times7^2\) है। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: सबसे छोटा भाजक 1 होना चाहिए, पर विकल्पों में 1 नहीं है; इसलिए कोई दिया विकल्प सही नहीं है।
For a perfect square, the odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 15. चरण 1: \(26460=2^2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 15 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 3 gives \(2^4\times3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(21168=2^4\times3^3\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 की घात 3 है। चरण 3: 3 से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) मिलेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 3 and 5 are odd.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(6615=3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 और 5 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), so the smallest number is 30. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें हटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से नहीं, बल्कि \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) मिलेगा; इसलिए सही सबसे छोटी संख्या 30 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 2 gives \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 है। चरण 3: 2 से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) मिलेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 5 is 1.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 5 makes all remaining exponents even, so the smallest number is 5. चरण 1: \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\) होता है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, लेकिन 5 की घात 1 है। चरण 3: 5 से भाग देने पर शेष घातें सम रहेंगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 5 है।
A. जनआंदोलन को अहिंसक और अनुशासित बनाए रखने की चिंता/Concern to keep a mass movement non-violent and disciplined
Step 1
Concept
Gandhi wanted to involve large numbers of people.
Step 2
Why this answer is correct
He also wanted to avoid violence and disorder.
Step 3
Exam Tip
Therefore the movement was planned in a gradual and controlled way. चरण 1: गांधीजी बड़ी जनता को आंदोलन में जोड़ना चाहते थे। चरण 2: साथ ही वे हिंसा और अव्यवस्था से बचना चाहते थे। चरण 3: इसलिए आंदोलन को क्रमिक और नियंत्रित रूप में रखा गया।
A. इसने अन्यायपूर्ण शासन से अहिंसक ढंग से सहयोग वापस लेने की बात की/It called for withdrawing cooperation from unjust rule non-violently
Step 1
Concept
Gandhi considered cooperation with injustice wrong.
Step 2
Why this answer is correct
Non-cooperation meant withdrawing cooperation without violence.
Step 3
Exam Tip
Therefore its basis was moral protest and non-violence. चरण 1: गांधीजी अन्याय के साथ सहयोग को गलत मानते थे। चरण 2: असहयोग में बिना हिंसा के सहयोग वापस लेना था। चरण 3: इसलिए इसका आधार नैतिक विरोध और अहिंसा था।
Non-violence was the main identity of Gandhian movements. चरण 1: गांधीजी की राजनीति अहिंसा पर आधारित थी। चरण 2: असहयोग में विरोध करना था पर हिंसा नहीं करनी थी। चरण 3: अहिंसा गांधीवादी आंदोलन की मुख्य पहचान थी।
Non-Cooperation meant withdrawing cooperation without violence.
Step 3
Exam Tip
Treat non-violence as a main feature of Gandhian movement. चरण 1: गांधीजी की राजनीति अहिंसा पर आधारित थी। चरण 2: असहयोग में सहयोग वापस लेना था लेकिन हिंसा नहीं करनी थी। चरण 3: अहिंसा को गांधीवादी आंदोलन की मुख्य पहचान मानें।
A. क्योंकि आंदोलन की शक्ति अहिंसक और संगठित सहयोग वापसी पर निर्भर थी/Because the movement depended on non-violent and organised withdrawal of cooperation
Step 1
Concept
Non-cooperation depended on public participation.
Step 2
Why this answer is correct
If discipline broke non-violence would weaken.
Step 3
Exam Tip
Organised and peaceful participation was therefore necessary. चरण 1: असहयोग जनता की भागीदारी पर आधारित था। चरण 2: यदि अनुशासन टूटता तो अहिंसा कमजोर पड़ती। चरण 3: इसलिए संगठित और शांतिपूर्ण भागीदारी आवश्यक थी।
A. जनता को अहिंसक अनुशासन के साथ धीरे-धीरे व्यापक संघर्ष में लाने के लिए/To bring people gradually into a wider struggle with non-violent discipline
Step 1
Concept
Gandhi wanted to keep the mass movement disciplined and non-violent.
Step 2
Why this answer is correct
Steps moved from surrendering titles to boycotting institutions.
Step 3
Exam Tip
Stages helped maintain control and discipline. चरण 1: गांधीजी जन आंदोलन को नियंत्रित और अहिंसक रखना चाहते थे। चरण 2: इसलिए पहले उपाधि बहिष्कार और फिर संस्थागत बहिष्कार जैसे कदम रखे गए। चरण 3: चरणबद्धता अनुशासन बनाए रखने में सहायक थी।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(86400=2^7\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(21600=216\times100=2^5\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes it 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(43200=432\times100=2^6\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes the exponent 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(10800=108\times100=2^4\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes the exponent 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes it 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(1800=18\times100=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in Class 10 irrational number questions. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 3: यह नियम कक्षा दस के अपरिमेय संख्या प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
Make \(2^3\) into \(2^4\) and (5) into \(5^2\); \(3^2\) is already fine.
Step 3
Exam Tip
For the smallest square multiple, increase only the necessary exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (5) को \(5^2\) बनाना होगा; \(3^2\) पहले से सही है। चरण 3: सबसे छोटे पूर्ण वर्ग गुणज में केवल जरूरी घातें ही बढ़ाएं।
\(\sqrt{11}\) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. Rational numbers are either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{11}\). \(\sqrt{11}\) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. Rational numbers are either terminating or non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{11}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। परिमेय संख्याएँ सांत या असांत आवर्ती होती हैं।
Rational numbers have either terminating or non-terminating recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring.
Step 3
Exam Tip
To identify non-terminating non-recurring decimals, look for irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव सांत या असांत आवर्ती होता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होता है। चरण 3: असांत अनावर्ती पहचानने के लिए अपरिमेय संख्याओं को अलग करें।
A non-terminating non-recurring decimal neither ends nor has a fixed repeating pattern.
Step 2
Why this answer is correct
Such a number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
In exams, carefully distinguish recurring from non-recurring decimals. चरण 1: असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंत नहीं होता और निश्चित दोहराव भी नहीं होता। चरण 2: ऐसी संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: आवर्ती और अनावर्ती में अंतर परीक्षा में ध्यान से पहचानें।
B. \(0.314159265\ldots\) बिना निश्चित आवृत्ति/\(0.314159265\ldots\) without a fixed repeat
Step 1
Concept
In a non-terminating non-recurring decimal, digits continue without a fixed repeating block.
Step 2
Why this answer is correct
The second option states that there is no fixed repeat, so it is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
To separate recurring and non-recurring decimals, check the repetition pattern. चरण 1: असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंक चलते रहते हैं लेकिन कोई निश्चित समूह नहीं दोहरता। चरण 2: दूसरे विकल्प में निश्चित आवृत्ति नहीं दी गई है, इसलिए वह अनावर्ती है। चरण 3: आवर्ती और अनावर्ती में दोहराव की जांच सबसे जरूरी है।
C. \(\sqrt{2}\) का दशमलव विस्तार/Decimal expansion of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
The decimal expansion of an irrational number is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers do not behave this way; they terminate or repeat. चरण 1: \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। चरण 2: अपरिमेय संख्या का दशमलव असमाप्त और अनावर्ती होता है। चरण 3: परिमेय संख्याओं में ऐसा नहीं होता, वे समाप्त या आवर्ती होती हैं।
C. अंकों की लंबाई को बदलते हुए कोई स्थिर आवर्तन न रखना/Changing the length of digit groups without a fixed repetition
Step 1
Concept
An irrational decimal neither terminates nor has a fixed repeating block.
Step 2
Why this answer is correct
Digit groups with changing lengths do not form a fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
Once a fixed repetition appears, the decimal becomes rational. चरण 1: अपरिमेय दशमलव में न तो समाप्ति होती है और न निश्चित आवर्तन। चरण 2: बदलती हुई लंबाई वाले अंकों से स्थिर आवर्तन नहीं बनता। चरण 3: आवर्तन दिखते ही दशमलव परिमेय की ओर जाता है।
A. इसने अलग वर्गों को औपनिवेशिक विरोध के साझा मंच पर लाया/It brought different classes onto a common platform of anti-colonial protest
Step 1
Concept
Towns villages peasants workers students and merchants joined non-cooperation.
Step 2
Why this answer is correct
Opposition to colonial rule gave them a common platform.
Step 3
Exam Tip
This expanded mass nationalism. चरण 1: असहयोग में शहर गांव किसान मजदूर विद्यार्थी और व्यापारी जुड़े। चरण 2: औपनिवेशिक शासन के विरोध ने उन्हें एक मंच दिया। चरण 3: इसी से राष्ट्रवाद का जन विस्तार हुआ।
A. दमन और हिंसा ने औपनिवेशिक शासन से असहयोग की भावना को मजबूत किया/Repression and violence strengthened the feeling of non-cooperation with colonial rule
Step 1
Concept
The Rowlatt Act attacked civil liberty.
Step 2
Why this answer is correct
Jallianwala Bagh showed the cruelty of the government.
Step 3
Exam Tip
These made the demand for non-cooperation stronger. चरण 1: रॉलेट अधिनियम ने नागरिक स्वतंत्रता पर चोट की। चरण 2: जलियांवाला बाग ने शासन की क्रूरता दिखाई। चरण 3: इनसे असहयोग की मांग और मजबूत हुई।
A. विभिन्न समुदायों को साझा औपनिवेशिक विरोध में जोड़ना/Bringing different communities into a shared anti-colonial protest
Step 1
Concept
Khilafat was linked with Muslim public sentiment.
Step 2
Why this answer is correct
Non-cooperation gave a method to oppose colonial rule.
Step 3
Exam Tip
Their combination created the possibility of wider unity. चरण 1: खिलाफत से मुस्लिम जनता की भावनाएं जुड़ी थीं। चरण 2: असहयोग ने औपनिवेशिक शासन के विरोध का तरीका दिया। चरण 3: दोनों के जुड़ने से व्यापक एकता की संभावना बनी।
A. युद्ध ने असंतोष बढ़ाया रॉलेट और जलियांवाला ने रोष गहराया फिर असहयोग उभरा/The war increased discontent Rowlatt and Jallianwala deepened anger and then non-cooperation emerged
Step 1
Concept
The war created economic and social tension.
Step 2
Why this answer is correct
The Rowlatt Act and Jallianwala Bagh increased political anger.
Step 3
Exam Tip
These conditions prepared the ground for the Non-Cooperation Movement. चरण 1: युद्ध ने आर्थिक और सामाजिक तनाव पैदा किया। चरण 2: रॉलेट कानून और जलियांवाला बाग ने राजनीतिक क्रोध बढ़ाया। चरण 3: इन परिस्थितियों ने असहयोग आंदोलन की जमीन तैयार की।
A. इसने भारतीय राष्ट्रीय आंदोलन को व्यापक जन आंदोलन बनाया/It turned the Indian national movement into a broad mass movement
Step 1
Concept
Students lawyers peasants workers and merchants joined the movement.
Step 2
Why this answer is correct
Politics reached villages and towns.
Step 3
Exam Tip
Therefore the mass base of the national movement greatly expanded. चरण 1: आंदोलन में छात्र वकील किसान मजदूर और व्यापारी जुड़े। चरण 2: राजनीति गांवों और कस्बों तक पहुंची। चरण 3: इसलिए राष्ट्रीय आंदोलन का जन आधार बहुत बढ़ा।
A. क्योंकि अलग समूहों ने इसे अपनी अलग समस्याओं के समाधान से जोड़ा/Because different groups linked it with solutions to their different problems
Step 1
Concept
Peasants wanted relief from revenue and begar.
Step 2
Why this answer is correct
Plantation workers wanted freedom of movement.
Step 3
Exam Tip
Therefore the meaning of swaraj changed according to different experiences. चरण 1: किसान लगान और बेगार से राहत चाहते थे। चरण 2: बागान मजदूर आवाजाही की आजादी चाहते थे। चरण 3: इसलिए स्वराज का अर्थ अलग अनुभवों के अनुसार बदलता था।
A. यह जनता के सहयोग और संस्थाओं पर निर्भर था/It depended on people's cooperation and institutions
Step 1
Concept
Gandhi believed that rule worked through people's cooperation.
Step 2
Why this answer is correct
Withdrawing cooperation could weaken the colonial system.
Step 3
Exam Tip
So boycott and non-cooperation became key weapons. चरण 1: गांधीजी मानते थे कि शासन जनता के सहयोग से चलता है। चरण 2: सहयोग वापस लेने से औपनिवेशिक व्यवस्था कमजोर हो सकती थी। चरण 3: इसलिए बहिष्कार और असहयोग मुख्य हथियार बने।
A. इसने धार्मिक भावनाओं और औपनिवेशिक विरोध को साझा मंच दिया/It gave a common platform to religious sentiment and anti-colonial protest
Step 1
Concept
The Ali brothers were linked with Khilafat leadership.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi made non-cooperation a wider anti-colonial protest.
Step 3
Exam Tip
Their cooperation widened the social base of the movement. चरण 1: अली बंधु खिलाफत नेतृत्व से जुड़े थे। चरण 2: गांधीजी ने असहयोग को व्यापक औपनिवेशिक विरोध बनाया। चरण 3: दोनों के मेल से आंदोलन का सामाजिक आधार बढ़ा।
A. दमन के अनुभव से संगठित सहयोग वापसी की ओर बढ़ना/Moving from the experience of repression to organised withdrawal of cooperation
Step 1
Concept
The Rowlatt Act and repression increased public anger.
Step 2
Why this answer is correct
Non-Cooperation gave that anger an organised direction.
Step 3
Exam Tip
Thus we see a shift from experience to movement. चरण 1: रौलेट अधिनियम और दमन से जनता में नाराजगी बढ़ी। चरण 2: असहयोग ने उस नाराजगी को संगठित दिशा दी। चरण 3: इसलिए अनुभव से आंदोलन की ओर बदलाव दिखता है।
A. विभिन्न मुद्दों को साझा औपनिवेशिक विरोध में जोड़ने की क्षमता/The ability to link different issues into a common anti-colonial protest
Step 1
Concept
Khilafat was linked with a specific religious concern.
Step 2
Why this answer is correct
Non-Cooperation was linked with swaraj and anti-colonial protest.
Step 3
Exam Tip
Their alliance showed the movement’s ability to connect issues. चरण 1: खिलाफत मुद्दा अलग धार्मिक चिंता से जुड़ा था। चरण 2: असहयोग स्वराज और औपनिवेशिक विरोध से जुड़ा था। चरण 3: दोनों के गठजोड़ ने आंदोलन की जोड़ने वाली क्षमता दिखाई।
A. अन्यायपूर्ण औपनिवेशिक संस्था से शांतिपूर्ण दूरी बनाना/Peacefully withdrawing from an unjust colonial institution
Step 1
Concept
Non-cooperation means withdrawing cooperation from an unjust system.
Step 2
Why this answer is correct
Its method was non-violent and organised.
Step 3
Exam Tip
Therefore peaceful withdrawal is closest to its spirit. चरण 1: असहयोग का अर्थ है अन्यायपूर्ण व्यवस्था से सहयोग वापस लेना। चरण 2: इसका तरीका अहिंसक और संगठित था। चरण 3: इसलिए शांतिपूर्ण दूरी इसका सही रूप है।
A. क्योंकि अन्यायपूर्ण शासन से सहयोग न करना कर्तव्य माना गया/Because not cooperating with unjust rule was seen as a duty
Step 1
Concept
Gandhi considered colonial rule unjust.
Step 2
Why this answer is correct
Withdrawing cooperation from such rule was presented as a moral duty.
Step 3
Exam Tip
Therefore the demand for swaraj was linked with moral struggle. चरण 1: गांधीजी ने औपनिवेशिक शासन को अन्यायपूर्ण माना। चरण 2: ऐसे शासन से सहयोग वापस लेना नैतिक कर्तव्य बताया गया। चरण 3: इसलिए स्वराज की मांग नैतिक संघर्ष से भी जुड़ी थी।
A. राष्ट्रीय विद्यालयों और खादी जैसे विकल्पों को बढ़ावा दिया गया/Alternatives such as national schools and khadi were promoted
Step 1
Concept
Non-Cooperation certainly involved boycott.
Step 2
Why this answer is correct
But it also created alternatives like national schools and khadi.
Step 3
Exam Tip
So the movement had both protest and constructive direction. चरण 1: असहयोग में बहिष्कार जरूर था। चरण 2: पर राष्ट्रीय विद्यालय और खादी जैसे विकल्प भी बनाए गए। चरण 3: इसलिए आंदोलन में विरोध के साथ रचनात्मक दिशा भी थी।
A. राष्ट्रीय राजनीति का सीमित अभिजात दायरे से जनक्षेत्र में विस्तार/Expansion of national politics from a limited elite circle to the public sphere
Step 1
Concept
Students lawyers traders and ordinary people joined in different ways.
Step 2
Why this answer is correct
Politics no longer remained limited to top leaders.
Step 3
Exam Tip
Thus Non-Cooperation strengthened mass politics. चरण 1: विद्यार्थी वकील व्यापारी और आम लोग अलग-अलग रूप में जुड़े। चरण 2: इससे राजनीति केवल बड़े नेताओं तक सीमित नहीं रही। चरण 3: इसलिए असहयोग ने जनराजनीति को मजबूत किया।
A. अहिंसक नैतिक बल कमजोर पड़ता/The non-violent moral force would weaken
Step 1
Concept
Gandhi’s struggle was based on non-violence and discipline.
Step 2
Why this answer is correct
Violence would reduce the moral force of the movement.
Step 3
Exam Tip
That is why Gandhi considered mass discipline essential. चरण 1: गांधीजी का संघर्ष अहिंसा और अनुशासन पर आधारित था। चरण 2: हिंसा से आंदोलन की नैतिक शक्ति घटती। चरण 3: इसलिए गांधीजी जनअनुशासन को बहुत आवश्यक मानते थे।
A. राजनीतिक संघर्ष के साथ सामाजिक सुधार की सोच/The idea of social reform along with political struggle
Step 1
Concept
The movement was not limited to opposition to rule.
Step 2
Why this answer is correct
Picketing liquor shops was also linked with social reform.
Step 3
Exam Tip
This strengthened the moral side of the movement. चरण 1: आंदोलन केवल शासन विरोध तक सीमित नहीं रहा। चरण 2: शराब की दुकानों पर धरना सामाजिक सुधार से भी जुड़ा था। चरण 3: इससे आंदोलन का नैतिक पक्ष मजबूत हुआ।
A. यह ब्रिटिश शासन की वैधता बढ़ाने के लिए चलाया गया था/It was launched to increase the legitimacy of British rule
Step 1
Concept
The Non-Cooperation Movement opposed colonial rule.
Step 2
Why this answer is correct
Its aim was not to legitimise British rule but to challenge it.
Step 3
Exam Tip
Therefore the first statement is incorrect. चरण 1: असहयोग आंदोलन औपनिवेशिक शासन के विरोध में था। चरण 2: इसका उद्देश्य ब्रिटिश शासन को वैध बनाना नहीं बल्कि चुनौती देना था। चरण 3: इसलिए पहला कथन गलत व्याख्या है।
कथन और कारण पढ़िए। कथन: खिलाफत आंदोलन को असहयोग से जोड़ना गांधीजी की रणनीति का भाग था। कारण: इससे हिंदू मुस्लिम एकता के साथ व्यापक जनाधार बन सकता था। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true and the reason correctly explains the assertion
Step 1
Concept
The Khilafat issue could mobilise Muslim masses.
Step 2
Why this answer is correct
Non-Cooperation was linked with the wider demand for swaraj.
Step 3
Exam Tip
Connecting both was a strategy for wider unity. चरण 1: खिलाफत मुद्दे से मुसलमान जनता जुड़ सकती थी। चरण 2: असहयोग स्वराज की व्यापक मांग से जुड़ा था। चरण 3: दोनों को जोड़ना व्यापक एकता की रणनीति थी।
A. युद्ध ने संकट बढ़ाया रौलेट ने दमन दिखाया और असहयोग राजनीतिक उत्तर बना/The war increased crisis Rowlatt showed repression and Non-Cooperation became the political response
Step 1
Concept
The war increased economic and social pressure.
Step 2
Why this answer is correct
The Rowlatt Act showed repressive colonial rule.
Step 3
Exam Tip
Non-Cooperation became a broad political response to these conditions. चरण 1: युद्ध ने आर्थिक और सामाजिक दबाव बढ़ाया। चरण 2: रौलेट अधिनियम ने दमनकारी औपनिवेशिक शासन को दिखाया। चरण 3: असहयोग आंदोलन इन स्थितियों का व्यापक राजनीतिक उत्तर बना।
A. कांग्रेस ने आंदोलन को संगठित और अखिल भारतीय आधार दिया/Congress gave the movement an organised and all-India base
Step 1
Concept
At Nagpur Congress accepted Non-Cooperation.
Step 2
Why this answer is correct
This gave the movement organisation and direction.
Step 3
Exam Tip
It was a decisive moment for national expansion. चरण 1: नागपुर अधिवेशन में असहयोग को कांग्रेस की स्वीकृति मिली। चरण 2: इससे आंदोलन को संगठन और दिशा मिली। चरण 3: इसलिए यह राष्ट्रीय विस्तार का निर्णायक क्षण था।
A. खिलाफत और स्वराज को जोड़कर आंदोलन शुरू करने की कोशिश/An attempt to start a movement by linking Khilafat and swaraj
Step 1
Concept
The Khilafat issue and the demand for swaraj were both important then.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi proposed linking them through Non-Cooperation.
Step 3
Exam Tip
This was an attempt to give the movement a national direction. चरण 1: उस समय खिलाफत मुद्दा और स्वराज की मांग दोनों प्रमुख थे। चरण 2: गांधीजी ने इन्हें असहयोग के माध्यम से जोड़ने का प्रस्ताव रखा। चरण 3: यह आंदोलन को राष्ट्रीय दिशा देने का प्रयास था।
A. अन्यायपूर्ण शासन के विरुद्ध अहिंसक जनसंगठन/Non-violent mass mobilisation against unjust rule
Step 1
Concept
Rowlatt Satyagraha opposed an unjust law non-violently.
Step 2
Why this answer is correct
Non-Cooperation extended this method against wider colonial rule.
Step 3
Exam Tip
Thus both show continuity of non-violent mass mobilisation. चरण 1: रौलेट सत्याग्रह में अन्यायपूर्ण कानून का अहिंसक विरोध हुआ। चरण 2: असहयोग में यही तरीका व्यापक औपनिवेशिक शासन के विरुद्ध बढ़ा। चरण 3: इसलिए दोनों में अहिंसक जनसंगठन की निरंतरता है।
A. क्योंकि औपनिवेशिक शासन भारतीय सहयोग पर निर्भर था/Because colonial rule depended on Indian cooperation
Step 1
Concept
Indians cooperated in administration education courts and markets.
Step 2
Why this answer is correct
Gandhi argued that withdrawal of cooperation would weaken the rule.
Step 3
Exam Tip
Thus non-cooperation became a non-violent but effective method. चरण 1: प्रशासन शिक्षा अदालत और बाजार में भारतीयों का सहयोग था। चरण 2: गांधीजी ने कहा कि सहयोग हटेगा तो शासन कमजोर होगा। चरण 3: इसलिए असहयोग अहिंसक पर प्रभावी साधन बना।
