For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
आठ अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (8) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6). For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4). For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती।
For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) and (5) may remain, but (3) must not. चरण 1: \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं।
For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
Step 3
Exam Tip
The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel. चरण 1: \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए।
The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (273). The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से (3), (7) और (13) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 13=273\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1539). The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(3^4\) और (19) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(81\cdot 19=1539\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (621). The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(3^3\) और (23) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(27\cdot 23=621\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
To form \(10^k=2^k5^k\), both powers must reach at least the larger exponent. Therefore the minimum (k=\max(r,s)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (\max(r,s)). To form \(10^k=2^k5^k\), both powers must reach at least the larger exponent. Therefore the minimum (k=\max(r,s)).
Step 3
Exam Tip
\(10^k=2^k5^k\) बनाने के लिए दोनों घातें कम से कम बड़ी घात तक पहुँचनी चाहिए। इसलिए न्यूनतम (k=\max(r,s)) है।
The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (153). The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(3^2\) और (17) हटने चाहिए, इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3^2\cdot 17=153\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
Step 3
Exam Tip
Only (2) and (5) may remain in the denominator. चरण 1: हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। चरण 2: सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। चरण 3: केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
Step 3
Exam Tip
(2) and (5) may remain, but other prime factors must not. चरण 1: \(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं।
Since \(10^k=2^k\cdot 5^k\), the powers must become equal. The larger power is (3), so (k=3).
Step 3
Exam Tip
To form \(10^k\), make the powers of (2) and (5) equal. चरण 1: हर \(2^2\cdot 5^3\) है। चरण 2: \(10^k=2^k\cdot 5^k\) बनाने के लिए दोनों घात बराबर करनी होती हैं। बड़ी घात (3) है, इसलिए (k=3)। चरण 3: \(10^k\) बनाते समय दोनों अभाज्य घातों को समान करने का विचार रखें।
यदि \(\frac{n}{180}\) का दशमलव प्रसार सांत है और \(\frac{n}{180}\) सरलतम रूप में नहीं दिया गया है, तो (n) में कम से कम कौन-सा गुणनखंड अवश्य होना चाहिए?
For a terminating decimal, \(3^2\) must cancel completely from the denominator. So (n) must contain \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Focus on removing denominator primes other than (2) and (5). चरण 1: \(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर से \(3^2\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (n) में \(3^2\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: हर के (2) और (5) नहीं, बल्कि अन्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाना जरूरी होता है।
The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3773). The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर से \(7^3\) और (11) हटने चाहिए इसलिए \(n=7^3\cdot 11=3773\) होगा। न्यूनतम मान में (2) और (5) को काटना जरूरी नहीं है।
For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2601). For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(17^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=2601) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें।
For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (441). For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(7^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=441) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें।
For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1053). For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The factors \(3^3\) and (11) must be cancelled, so the least (n) is \(3^3\cdot 11=297\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest value, cancel only the unwanted prime factors. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) रहने चाहिए। चरण 2: हर में \(3^3\) और (11) हटाने होंगे, इसलिए \(n=3^3\cdot 11=297\) न्यूनतम है। चरण 3: सबसे छोटा मान पूछे तो केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटिए।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। चरण 2: हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए।
For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
Step 3
Exam Tip
Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel. चरण 1: हर में (2), (5), और (13) हैं। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(143\times23=3289\).
Step 3
Exam Tip
In least-value questions, taking the remainder as zero is the clearest method. चरण 1: संख्या \(143\times23+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(143\times23=3289\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेना सबसे साफ तरीका है।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(118\times19=2242\).
Step 3
Exam Tip
For least value questions, using remainder zero is the most direct method. चरण 1: संख्या \(118\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(118\times19=2242\) है। चरण 3: न्यूनतम मान के प्रश्न में शेषफल शून्य रखना सबसे सीधा तरीका है।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(91\times28=2548\).
Step 3
Exam Tip
In minimum value questions, taking remainder zero gives the answer quickly. चरण 1: संख्या \(91\times28+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(91\times28=2548\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेने से उत्तर तुरंत मिलता है।
For the least value, (r=0), so the number is \(57\times18=1026\).
Step 3
Exam Tip
For a minimum value, start with remainder zero. चरण 1: संख्या \(57\times18+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(57\times18=1026\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल हमेशा शून्य मानकर शुरू करें।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(46\times19=874\).
Step 3
Exam Tip
For minimum value questions, taking remainder zero is the safest method. चरण 1: संख्या \(46\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(46\times19=874\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल शून्य लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
For the least value, take (r=0), so the number is \(21\times31=651\).
Step 3
Exam Tip
For the least possible number, use remainder zero. चरण 1: संख्या \(=21\times31+r\), जहाँ \(0\le r<21\)। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(21\times31=651\) है। चरण 3: सबसे छोटा मान निकालते समय शेषफल शून्य लें।
