\(S_2=12\) and \(S_3=12\), while the sum decreases afterward, so the maximum is (12). Exam tip: check nearby integer values around the vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (12). \(S_2=12\) and \(S_3=12\), while the sum decreases afterward, so the maximum is (12). Exam tip: check nearby integer values around the vertex.
Step 3
Exam Tip
\(S_2=12\) और \(S_3=12\) है जबकि आगे योग घटता है इसलिए अधिकतम (12) है। परीक्षा में शीर्ष के पास छोटे पूर्णांक मान जांचें।
\(96=2^5\times3\) and \(160=2^5\times5\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal cutting or sharing, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(96=2^5\times3\) और \(160=2^5\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। चरण 3: काटने या बाँटने के अधिकतम समान प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक लें।
\(2^5\) can supply (2) five times, but \(3^3\) can supply \(3^2\) only once. So the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, the most limiting prime exponent decides the answer. चरण 1: \(18=2 \times 3^2\) है। चरण 2: \(2^5\) से (2) पांच बार मिल सकता है, पर \(3^3\) से \(3^2\) केवल एक बार पूरा मिलता है। इसलिए उत्तर (1) है। चरण 3: संयुक्त भाजक में सबसे सीमित अभाज्य घात उत्तर तय करती है।
From \(2^3\), \(2^2\) can be taken only (1) full time, while \(3^2\) can supply (3) twice. The limiting exponent is for (2), so the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, check each required prime separately. चरण 1: \(12=2^2 \times 3\) है। चरण 2: \(2^3\) से \(2^2\) केवल (1) बार पूरा मिलता है, जबकि \(3^2\) से (3) दो बार मिल सकता है। सीमा (2) की घात तय करती है, इसलिए उत्तर (1) है। चरण 3: संयुक्त भाजक में हर अभाज्य की जरूरत अलग-अलग जांचें।
Each division by (12) uses \(2^2\) and (3). From \(2^5\), this can happen (2) times, and from \(3^2\), also (2) times.
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, check the limiting prime exponent. चरण 1: \(12=2^2 \times 3\) है। चरण 2: हर बार (12) से भाग देने पर \(2^2\) और (3) घटेंगे; \(2^5\) से अधिकतम (2) बार और \(3^2\) से अधिकतम (2) बार मिलते हैं। इसलिए उत्तर (2) है। चरण 3: संयुक्त भाजक के लिए सभी अभाज्यों की सीमा देखें।
If breadth is (x), length is (100-2x) and area is (A=x(100-2x)). For maximum area, \(x=\frac{100}{4}=25\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. चौड़ाई (25) मीटर / Breadth (25) m. If breadth is (x), length is (100-2x) and area is (A=x(100-2x)). For maximum area, \(x=\frac{100}{4}=25\).
Step 3
Exam Tip
यदि चौड़ाई (x) है तो लंबाई (100-2x) और क्षेत्रफल (A=x(100-2x)) है। अधिकतम के लिए \(x=\frac{100}{4}=25\) है।
A. ऐसा कोई वास्तविक \(\theta\) नहीं/No such real \(\theta\)
Step 1
Concept
We would need \(\sin \theta+\cos \theta=4\), but its maximum is \(\sqrt{2}\). Therefore no real \(\theta\) is possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा कोई वास्तविक \(\theta\) नहीं / No such real \(\theta\). We would need \(\sin \theta+\cos \theta=4\), but its maximum is \(\sqrt{2}\). Therefore no real \(\theta\) is possible.
Step 3
Exam Tip
\(\sin \theta+\cos \theta=4\) होना पड़ेगा, पर इसका अधिकतम \(\sqrt{2}\) है। इसलिए ऐसा वास्तविक \(\theta\) संभव नहीं है।
The standard form may contain the \(x^2\) term, the (x) term, and the constant term. So the maximum number of terms is (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). The standard form may contain the \(x^2\) term, the (x) term, and the constant term. So the maximum number of terms is (3).
Step 3
Exam Tip
मानक रूप में \(x^2\) पद, (x) पद और स्थिर पद हो सकते हैं। इसलिए अधिकतम (3) पद होते हैं।
A quadratic equation has degree (2), so it can have at most (2) roots. Remember degree and maximum number of roots together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). A quadratic equation has degree (2), so it can have at most (2) roots. Remember degree and maximum number of roots together.
Step 3
Exam Tip
द्विघात समीकरण की घात (2) होती है इसलिए अधिकतम (2) मूल हो सकते हैं। घात और अधिकतम मूल की संख्या को जोड़कर याद रखें।
A quadratic equation can have at most (2) real solutions. In easy questions, degree indicates the maximum possible solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2). A quadratic equation can have at most (2) real solutions. In easy questions, degree indicates the maximum possible solutions.
Step 3
Exam Tip
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। आसान प्रश्न में घात से अधिकतम हल का संकेत मिलता है।
The reduced denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger exponent. Here the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
For terminating decimals, do not add the exponents. चरण 1: सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। यहाँ बड़ी घात (6) है। चरण 3: सांत दशमलव में घातों को जोड़ने की गलती न करें।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), and \(480=2^5\times3\times5\), so HCF \(=2^5\times3=96\).
Step 3
Exam Tip
In maximum equal division, take the smallest common powers. चरण 1: समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), \(480=2^5\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3=96\) है। चरण 3: समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें।
एक विद्यालय में (312) उत्तर पुस्तिकाएँ और (468) प्रश्न पत्र हैं। इन्हें अधिकतम समान पैकेटों में रखना है ताकि हर पैकेट में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(312=2^3\times3\times13\) and \(468=2^2\times3^2\times13\), so HCF \(=2^2\times3\times13=156\).
Step 3
Exam Tip
Use HCF for maximum equal distribution. चरण 1: अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(312=2^3\times3\times13\) और \(468=2^2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times13=156\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), and \(320=2^6\times5\), so HCF \(=2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, take the smallest common power. चरण 1: समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\), \(320=2^6\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^6=64\) है। चरण 3: समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें।
एक प्रशिक्षण शिविर में (276) विद्यार्थी और (414) अभ्यास पुस्तिकाएँ हैं। अधिकतम समान समूह बनाने हैं ताकि हर समूह में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(276=2^2\times3\times23\) and \(414=2\times3^2\times23\), so HCF \(=2\times3\times23=138\).
Step 3
Exam Tip
Use HCF for maximum equal distribution. चरण 1: अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(276=2^2\times3\times23\) और \(414=2\times3^2\times23\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times23=138\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(160=2^5\times5\), and \(224=2^5\times7\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
In maximum equal division questions, identify HCF. चरण 1: समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(160=2^5\times5\), \(224=2^5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। चरण 3: समान अधिकतम बाँटने के प्रश्न में महत्तम समापवर्तक पहचानें।
किसी सभा में (198) विद्यार्थी और (330) अतिथि हैं। अधिकतम समान समूह बनाने हैं ताकि हर समूह में विद्यार्थियों और अतिथियों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(198=2\times3^2\times11\) and \(330=2\times3\times5\times11\), so HCF \(=2\times3\times11=66\).
Step 3
Exam Tip
Use HCF for maximum equal distribution. चरण 1: अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(198=2\times3^2\times11\) और \(330=2\times3\times5\times11\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times11=66\) है। चरण 3: समान बाँटने के अधिकतम प्रश्न में महत्तम समापवर्तक लें।
The maximum number of equal parts is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(192=2^6\times3\), so HCF \(=2^4\times3=48\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(192=2^6\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3=48\) है। चरण 3: समान अधिकतम भागों में बाँटने के लिए महत्तम समापवर्तक लें।
The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(128=2^7\), and \(160=2^5\times5\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal division, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(96=2^5\times3\), \(128=2^7\), \(160=2^5\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। चरण 3: समान अधिकतम भागों में बाँटने पर महत्तम समापवर्तक निकालें।
\(72=2^3\times3^2\) and \(120=2^3\times3\times5\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal cutting, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(120=2^3\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। चरण 3: काटने के अधिकतम समान प्रश्न में महत्तम समापवर्तक निकालें।
एक मैदान में (132) पौधे और (198) झंडे समान पंक्तियों में लगाने हैं। प्रत्येक पंक्ति में दोनों वस्तुओं की संख्या अलग-अलग समान रहे और पंक्तियों की संख्या अधिकतम हो। अधिकतम पंक्तियाँ कितनी होंगी?
\(132=2^2\times3\times11\) and \(198=2\times3^2\times11\), so HCF \(=2\times3\times11=66\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal arrangement, identify HCF. चरण 1: अधिकतम पंक्तियों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलेगी। चरण 2: \(132=2^2\times3\times11\) और \(198=2\times3^2\times11\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times11=66\) है। चरण 3: अधिकतम समान व्यवस्था में महत्तम समापवर्तक पहचानें।
The maximum number of identical packets is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(84=2^2\times3\times7\) and \(126=2\times3^2\times7\), so HCF \(=2\times3\times7=42\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal distribution, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(84=2^2\times3\times7\) और \(126=2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times7=42\) है। चरण 3: समान बाँटने के अधिकतम प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
एक दुकानदार के पास (126) लाल पेन और (210) नीले पेन हैं। वह समान प्रकार के अधिकतम पैकेट बनाना चाहता है ताकि हर पैकेट में लाल पेन की संख्या समान और नीले पेन की संख्या समान हो। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(126=2\times3^2\times7\) and \(210=2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2\times3\times7=42\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal distribution, find the HCF. चरण 1: अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(126=2\times3^2\times7\) और \(210=2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times7=42\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने वाले प्रश्न में महत्तम समापवर्तक खोजें।
The exponent of (2) is (7), and the exponent of (5) is (3), so (3) complete pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) है। चरण 2: (2) की घात (7) और (5) की घात (3) है, इसलिए (10) के (3) पूरे जोड़े बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की संख्या छोटी घात से तय होती है।
The exponent of (2) is (5) and of (5) is (2), so only (2) complete pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) है। चरण 2: (2) की घात (5) और (5) की घात (2) है, इसलिए (10) के केवल (2) पूरे जोड़े बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की संख्या छोटी घात से तय होती है।
The exponent of (2) is (4) and of (5) is (1), so only (1) pair of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The maximum number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) होता है। चरण 2: (2) की घात (4) और (5) की घात (1) है, इसलिए (10) का केवल (1) जोड़ा बनेगा। चरण 3: (10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से तय होती है।
For maximum equal length, find the HCF of (66) and (110).
Step 2
Why this answer is correct
\(66=2\times3\times11\) and \(110=2\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
The common part is \(2\times11=22\), so each piece will be (22) m long. चरण 1: अधिकतम बराबर लंबाई के लिए (66) और (110) का महत्तम समापवर्तक निकालें। चरण 2: \(66=2\times3\times11\) और \(110=2\times5\times11\)। चरण 3: समान भाग \(2\times11=22\), इसलिए प्रत्येक टुकड़ा (22) मीटर का होगा।
\(72=2^3\times3^2\) and \(96=2^5\times3\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
In cutting questions, maximum equal length is found by HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(96=2^5\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\)। चरण 3: काटने के प्रश्नों में अधिकतम बराबर लंबाई महत्तम समापवर्तक से मिलती है।
For the maximum number of equal piles, find the HCF of (48) and (72).
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\) and \(72=2^3\times3^2\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
Maximum equal piles are found using HCF. चरण 1: समान ढेरों की अधिकतम संख्या के लिए (48) और (72) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(48=2^4\times3\) और \(72=2^3\times3^2\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\)। चरण 3: अधिकतम समान ढेर हमेशा महत्तम समापवर्तक से मिलते हैं।
\(36=2^2\times3^2\) and \(60=2^2\times3\times5\), so HCF \(=2^2\times3=12\).
Step 3
Exam Tip
When maximum equal distribution is asked, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान समूहों के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\) और \(60=2^2\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3=12\)। चरण 3: समान बांटने में अधिकतम पूछा जाए तो महत्तम समापवर्तक लगाएं।
For maximum equal length, find the HCF of (54) and (90).
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\) and \(90=2\times3^2\times5\), so HCF \(=2\times3^2=18\).
Step 3
Exam Tip
When lengths are cut equally, use HCF. चरण 1: अधिकतम बराबर लंबाई के लिए (54) और (90) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(54=2\times3^3\) और \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3^2=18\)। चरण 3: लंबाई को बराबर काटना हो तो महत्तम समापवर्तक से हल करें।
\(60=2^2\times3\times5\) and \(84=2^2\times3\times7\), so HCF \(=2^2\times3=12\).
Step 3
Exam Tip
In cutting questions, maximum equal length is found by HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(60=2^2\times3\times5\) और \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3=12\)। चरण 3: काटने के ऐसे प्रश्नों में अधिकतम बराबर लंबाई महत्तम समापवर्तक से मिलती है।
For the maximum number of equal bags, find the HCF of (42) and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(42=2\times3\times7\) and \(56=2^3\times7\), so HCF \(=2\times7=14\).
Step 3
Exam Tip
In packing questions with equal and maximum, use HCF. चरण 1: समान थैलियों की अधिकतम संख्या के लिए (42) और (56) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(42=2\times3\times7\) और \(56=2^3\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times7=14\)। चरण 3: पैकिंग में बराबर और अधिकतम पूछा जाए तो महत्तम समापवर्तक लें।
\(32=2^5\) and \(48=2^4\times3\), so HCF \(=2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
In equal distribution questions, the word maximum usually points to HCF. चरण 1: अधिकतम समान समूहों के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(32=2^5\) और \(48=2^4\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4=16\) है। चरण 3: समान बांटने के प्रश्न में अधिकतम शब्द दिखे तो महत्तम समापवर्तक लगाएं।
For maximum equal length, find the HCF of (20) and (28).
Step 2
Why this answer is correct
\(20=2^2\times5\) and \(28=2^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The common part is \(2^2=4\), so each piece will be (4) m long. चरण 1: अधिकतम बराबर लंबाई के लिए (20) और (28) का महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(20=2^2\times5\) और \(28=2^2\times7\)। चरण 3: समान भाग \(2^2=4\), इसलिए प्रत्येक टुकड़ा (4) मीटर का होगा।
\(48=2^4\times3\) and \(72=2^3\times3^2\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For cutting or dividing into maximum equal parts, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(48=2^4\times3\) और \(72=2^3\times3^2\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\)। चरण 3: काटने या बांटने में अधिकतम बराबर भाग पूछे जाएं तो महत्तम समापवर्तक लें।
The common part is \(3\times5=15\), so (15) boxes can be made. चरण 1: अधिकतम समान डिब्बों के लिए (30), (45) और (60) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(30=2\times3\times5\), \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\)। चरण 3: समान भाग \(3\times5=15\), इसलिए (15) डिब्बे बनेंगे।
A. डिग्री कम से कम (4) होगी/The degree is at least (4)
Step 1
Concept
Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. डिग्री कम से कम (4) होगी / The degree is at least (4). Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
Step 3
Exam Tip
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती।
\(80=2^4\times5\) and \(128=2^7\), so HCF \(=2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal cutting, use HCF. चरण 1: समान अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(80=2^4\times5\) और \(128=2^7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4=16\) है। चरण 3: काटने के अधिकतम समान प्रश्न में महत्तम समापवर्तक निकालें।
एक पुस्तकालय में (168) गणित की पुस्तकें और (252) विज्ञान की पुस्तकें हैं। इन्हें अधिकतम समान डिब्बों में रखना है ताकि हर डिब्बे में दोनों प्रकार की पुस्तकों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने डिब्बे बनेंगे?
The maximum number of identical boxes is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal distribution, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान डिब्बों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
किसी गोदाम में (156) चावल के थैले और (234) गेहूँ के थैले हैं। इन्हें अधिकतम समान समूहों में बाँटना है ताकि हर समूह में दोनों तरह के थैलों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(156=2^2\times3\times13\) and \(234=2\times3^2\times13\), so HCF \(=2\times3\times13=78\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal grouping, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(156=2^2\times3\times13\) और \(234=2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times13=78\) है। चरण 3: समान बाँटने के अधिकतम प्रश्न में महत्तम समापवर्तक लें।
किसी विद्यालय में (72) लड़के और (96) लड़कियाँ हैं। हर पंक्ति में लड़कों और लड़कियों की अलग-अलग समान संख्या रखनी है, और प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम होनी चाहिए। एक पंक्ति में कितने विद्यार्थी होंगे?
\(72=2^3\times3^2\) and \(96=2^5\times3\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal grouping, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान संख्या के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(96=2^5\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। चरण 3: पंक्ति या समूह की अधिकतम समान संख्या वाले प्रश्न में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
For the maximum number of equal packets, find the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\) and \(36=2^2\times3^2\), so HCF \(=2^2\times3=12\).
Step 3
Exam Tip
When maximum equal groups are asked, use HCF. चरण 1: समान पैकेटों की अधिकतम संख्या के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(24=2^3\times3\) और \(36=2^2\times3^2\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3=12\)। चरण 3: अधिकतम समान समूह पूछे जाएं तो महत्तम समापवर्तक लगाएं।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
The number is of the form \(87\times46+r\), where \(0\le r<87\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 86, so the number is (4002+86=4088).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, the remainder is always one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(87\times46+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<87\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 86 है, इसलिए संख्या (4002+86=4088) है। चरण 3: अधिकतम मान में शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लिया जाता है।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
The number has the form \(73\times41+r\), where \(0\le r<73\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 72, so the number is (2993+72=3065).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(73\times41+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<73\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 72 है, इसलिए संख्या (2993+72=3065) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल को भाजक से एक कम लें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
The number is of the form \(64\times37+r\), where \(0\le r<64\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 63, so the number is (2368+63=2431).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(64\times37+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<64\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 63 होगा, इसलिए संख्या (2368+63=2431) है। चरण 3: अधिकतम मान के लिए शेषफल को भाजक से एक कम लें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
The number has the form \(39\times22+r\), where \(0\le r<39\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 38, so the number is (858+38=896).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(39\times22+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<39\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 38 होगा, इसलिए संख्या (858+38=896) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल भाजक से एक कम लें।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
The number is of the form \(31\times27+r\), where \(0\le r<31\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 30, so the number is (837+30=867).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(31\times27+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<31\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 30 होगा, इसलिए संख्या (837+30=867) है। चरण 3: अधिकतम मान के लिए शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें।
The greatest value of (r) is 20, so the number is (651+20=671).
Step 3
Exam Tip
In such questions, take the maximum remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(21\times31+r\) होगी। चरण 2: (r) का सबसे बड़ा मान 20 है, इसलिए संख्या (651+20=671) होगी। चरण 3: ऐसे सवालों में अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें।
By the division lemma, number \(=37\times18+r\), where \(0\le r<37\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 36, so the number is (666+36=702).
Step 3
Exam Tip
The greatest remainder is always one less than the divisor. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय से संख्या \(=37\times18+r\), जहाँ \(0\le r<37\)। चरण 2: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल 36 होगा, इसलिए संख्या (666+36=702) नहीं, बल्कि \(37\times18=666\) और (666+36=702)। चरण 3: अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम होता है।
A. क्योंकि क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है/Because an alkali is a water-soluble base
Step 1
Concept
A substance forming salt and water with acid can be a base.
Step 2
Why this answer is correct
To be called an alkali it must dissolve in water.
Step 3
Exam Tip
If insoluble it is a base but not an alkali. चरण 1: अम्ल से लवण और जल बनाने वाला पदार्थ क्षार हो सकता है। चरण 2: क्षारीय विलयन कहलाने के लिए जल में घुलना जरूरी है। चरण 3: अघुलनशील होने पर वह क्षार है पर क्षारीय विलयन नहीं।
A. क्षार व्यापक वर्ग है जबकि जल में घुलनशील क्षार को अल्कली कहते हैं/Base is a broader class while water-soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
A base can neutralise an acid.
Step 2
Why this answer is correct
Bases that dissolve in water are called alkalis.
Step 3
Exam Tip
Therefore, every alkali is a base, but every base is not an alkali. चरण 1: क्षार वह पदार्थ है जो अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें अल्कली कहा जाता है। चरण 3: इसलिए हर अल्कली क्षार है पर हर क्षार अल्कली नहीं होता।
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बनाता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलने वाले क्षार को ही क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलते/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases are not called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जाता।
A base that dissolves in water has a special name.
Step 3
Exam Tip
Such a base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलता है उसे विशेष नाम दिया जाता है। चरण 3: ऐसा क्षार क्षारीय विलयन कहलाता है।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलते/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore every base is not called an alkali. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए हर क्षार को क्षारीय विलयन नहीं कहा जाता।
A base that dissolves in water has a separate name.
Step 3
Exam Tip
Such a base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलता है उसे अलग नाम दिया जाता है। चरण 3: ऐसे क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. क्योंकि घुलनशील क्षार ही अल्कली कहलाते हैं/Because only soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
Bases are a broad group.
Step 2
Why this answer is correct
Bases that dissolve in water are called alkalis.
Step 3
Exam Tip
Therefore all alkalis are bases, but all bases are not alkalis. चरण 1: क्षार एक व्यापक समूह है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें अल्कली कहा जाता है। चरण 3: इसलिए सभी अल्कली क्षार हैं पर सभी क्षार अल्कली नहीं हैं।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में नहीं घुलते/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore every base is not an alkali. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए हर क्षार क्षारीय विलयन नहीं होता।
A base that dissolves in water has a special name.
Step 3
Exam Tip
Such a base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकता है। चरण 2: जो क्षार जल में घुलता है उसे विशेष नाम दिया जाता है। चरण 3: ऐसे क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं।
B. क्योंकि सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते/Because all bases are not soluble in water
Step 1
Concept
An alkali is a water-soluble base.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases cannot be called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
A base soluble in water is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में नहीं घुलते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलता है उसे क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में घुलते नहीं हैं/Because all bases do not dissolve in water
Step 1
Concept
An alkali is a base that dissolves in water.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases cannot be called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन वह क्षार है जो जल में घुलता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
Therefore a water-soluble base is an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारीय विलयन कहते हैं। चरण 3: इसलिए जल में घुलनशील क्षार क्षारीय विलयन है।
A. क्योंकि सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते/Because all bases are not soluble in water
Step 1
Concept
An alkali is a base that dissolves in water.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases are insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore all bases cannot be called alkalis. चरण 1: क्षारीय विलयन वह क्षार है जो जल में घुलता है। चरण 2: कई क्षार जल में अघुलनशील होते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षारों को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
A base that dissolves in water is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलता है उसे क्षारीय विलयन कहते हैं।
A. कुछ क्षार जल में अघुलनशील होते हैं/Some bases are insoluble in water
Step 1
Concept
An alkali is a base soluble in water.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases do not dissolve in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore every base cannot be called an alkali. चरण 1: क्षारीय विलयन जल में घुलनशील क्षार होता है। चरण 2: कई क्षार जल में नहीं घुलते। चरण 3: इसलिए हर क्षार को क्षारीय विलयन नहीं कहा जा सकता।
A water-soluble base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्लों को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलने वाले क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं।
A base can react with acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहते हैं।
A base can react with acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहते हैं।
B. सभी क्षार पानी में नहीं घुलते और घुलनशील क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं/All bases do not dissolve in water and soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
Bases can neutralise acids.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलने वाले क्षार को क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A water-soluble base is called an alkali. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बनाता है। चरण 2: सभी क्षार पानी में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार पानी में घुलता है उसे क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A base can react with an acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A. सभी क्षार जल में नहीं घुलते और घुलनशील क्षार को क्षारीय विलयन कहते हैं/Not all bases dissolve in water and soluble bases are called alkalis
Step 1
Concept
Bases can neutralise acids.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A. क्षार लेकिन क्षारीय विलयन नहीं/Base but not an alkali
Step 1
Concept
A base can react with acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहा जाता है।
Bases that dissolve in water are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A base can react with an acid to form salt and water.
Step 2
Why this answer is correct
All bases are not soluble in water.
Step 3
Exam Tip
Only water-soluble bases are called alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल से क्रिया करके लवण और जल बना सकता है। चरण 2: सभी क्षार जल में घुलनशील नहीं होते। चरण 3: जल में घुलनशील क्षार को ही क्षारीय विलयन कहा जाता है।
A. जल में घुलनशील क्षार को क्षारीय विलयन कहा जाता है/A water-soluble base forms an alkali solution
Step 1
Concept
Bases can neutralise acids.
Step 2
Why this answer is correct
Some bases dissolve in water and form alkaline solutions.
Step 3
Exam Tip
Thus only water-soluble bases form alkalis. चरण 1: क्षार अम्ल को उदासीन कर सकते हैं। चरण 2: कुछ क्षार जल में घुलते हैं और क्षारीय विलयन बनाते हैं। चरण 3: इसलिए सभी क्षार क्षारीय विलयन नहीं बनाते पर घुलनशील क्षार ऐसा करते हैं।
