\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\) है। पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाएं और फिर पूरा सरल करें।
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (64). \(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\) है। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में देखें।
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37). \(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\) है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं फिर सरल करें।
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (110). \(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\) है इसलिए हर (1100) है। आवर्ती दशमलव में पहले बना हर हमेशा अंतिम हर नहीं होता।
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). \(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\) है इसलिए हर (3125) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर पूरा सरल करें।
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16). \(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\)। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में अवश्य देखें।
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1375). \(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\)। सही हर (275) है, इसलिए विकल्पों में केवल (275) को चुनना चाहिए।
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (22). \(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\)। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम उत्तर हमेशा सरल करें।
The powers of (2) and (5) are (2) and (1), so the larger exponent is (2). The decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is given, check its exponents directly. चरण 1: \(20=2^2\cdot 5\) है। चरण 2: (2) की घात (2) और (5) की घात (1) है, इसलिए बड़ी घात (2) होगी। दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: सरलतम हर दिया हो तो सीधे उसकी घातें देखें।
The greatest common factor of (48) and (10000) is (16), so \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). The denominator is (625).
Step 3
Exam Tip
Even for small decimals, reduce to lowest form. चरण 1: \(0.0048=\frac{48}{10000}\) है। चरण 2: (48) और (10000) का महत्तम सामान्य गुणनखंड (16) है, इसलिए \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\)। हर (625) है। चरण 3: छोटे दशमलव में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). So the correct denominator is (12500); check the common factor carefully in small decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1250). \(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). So the correct denominator is (12500); check the common factor carefully in small decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.00072=\frac{72}{100000}\) और (72) से सरल करने पर \(\frac{9}{12500}\) मिलता है। इसलिए सही हर (12500) है, छोटे दशमलवों में महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
\(10x=24.666\ldots\) and \(100x=246.666\ldots\), so (90x=222) and \(x=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}\).
Step 3
Exam Tip
Align the recurring parts before subtracting. चरण 1: मान लें \(x=2.4666\ldots\)। चरण 2: \(10x=24.666\ldots\) और \(100x=246.666\ldots\), इसलिए (90x=222) और \(x=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}\)। चरण 3: घटाने से पहले आवर्ती भाग को एक जैसी स्थिति में लाएँ।
Reducing by (25) gives \(\frac{3}{400}\). So the denominator is (400).
Step 3
Exam Tip
Even with many zeros in a decimal, find the greatest common factor carefully. चरण 1: \(0.0075=\frac{75}{10000}\) है। चरण 2: (75) से सरल करने पर \(\frac{3}{400}\) मिलता है। इसलिए हर (400) है। चरण 3: दशमलव में कई शून्य हों तो भी महत्तम सामान्य गुणनखंड खोजें।
\(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce. चरण 1: \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
Reducing by the greatest common factor (32) gives \(\frac{2}{3125}\). So the denominator is (3125).
Step 3
Exam Tip
Reduce carefully; repeated division by (2) is safe here. चरण 1: \(0.00064=\frac{64}{100000}\) है। चरण 2: \(100000=10^5=2^5\cdot 5^5\) और \(64=2^6\), इसलिए सरल करने पर \(\frac{2}{3125}\) नहीं बल्कि \(\frac{1}{1562.5}\) नहीं बन सकता। सही रूप \(\frac{64}{100000}=\frac{8}{12500}=\frac{4}{6250}=\frac{2}{3125}\) है। अतः हर (3125) है। चरण 3: बार-बार (2) से भाग देकर सुरक्षित सरलता करें।
Reducing gives \(\frac{5}{16}\). Hence the denominator is (16).
Step 3
Exam Tip
Do not decide the final denominator only from the number of decimal digits. चरण 1: \(0.3125=\frac{3125}{10000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{5}{16}\) मिलता है। इसलिए हर (16) है। चरण 3: दशमलव के अंकों की संख्या देखकर अंतिम हर तय न करें।
Dividing both by (125) gives \(\frac{1}{8000}\). So the denominator is (8000).
Step 3
Exam Tip
Even when a decimal has many zeros, reduce the fraction fully. चरण 1: \(0.000125=\frac{125}{1000000}\) है। चरण 2: दोनों को (125) से भाग देने पर \(\frac{1}{8000}\) मिलता है। इसलिए हर (8000) है। चरण 3: छोटे दशमलवों में शून्य अधिक हों तो भी भिन्न को सरल करना जरूरी है।
Dividing numerator and denominator by (125) gives \(\frac{3}{8}\). So the denominator is (8).
Step 3
Exam Tip
Always reduce after converting a decimal to a fraction. चरण 1: \(0.375=\frac{375}{1000}\) है। चरण 2: (375) और (1000) को (125) से भाग देने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। इसलिए हर (8) है। चरण 3: दशमलव को भिन्न में बदलने के बाद हमेशा सरल करें।
Write a terminating decimal over a power of (10), then reduce it. चरण 1: \(0.0625=\frac{625}{10000}\) है। चरण 2: इसे सरल करने पर \(\frac{1}{16}\) मिलता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को पहले (10) की घात वाले हर में लिखकर घटाइए।
कथन: \(\frac{p}{q}\) सरल रूप में हो और (q) में (7) का गुणनखंड हो, तो दशमलव समाप्त नहीं होगा। कारण: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। चरण 2: यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है।
Lowest form means the fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
So the numerator and denominator have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
This fact is important in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का अर्थ है कि भिन्न को और छोटा नहीं किया जा सकता। चरण 2: इसलिए अंश और हर का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाण में यही बात जरूरी होती है।
For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
For exact places, the larger exponent must match the required number. चरण 1: ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। चरण 3: ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए।
This equals \(\frac{1}{300}\). So the reduced denominator is (300).
Step 3
Exam Tip
Two zeros before the recurring digit introduce the effect of (100) in the denominator. चरण 1: \(0.00\overline{3}=0.003333\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{1}{300}\) के बराबर है। इसलिए सरलतम हर (300) है। चरण 3: आवर्ती अंक से पहले दो शून्य हों तो हर में (100) का प्रभाव आता है।
\(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
If a zero is part of the repeating block, count it as a digit. चरण 1: \(0.\overline{09}=\frac{09}{99}=\frac{9}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती भाग में शून्य हो तो भी उसे अंकों में गिनें।
\(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Break composite factors into primes first. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। चरण 2: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 3: संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें।
A. हर में केवल (2) का गुणनखंड होगा/The denominator will have only factor (2)
Step 1
Concept
\(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
To make \(10^5\), the denominator should be \(2^5\times5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
It already has \(2^3\times5^5\), so it lacks \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Making the denominator a power of (10) reveals the decimal places clearly. चरण 1: \(10^5\) बनाने के लिए हर में \(2^5\times5^5\) चाहिए। चरण 2: पहले से \(2^3\times5^5\) है, इसलिए \(2^2\) की कमी है। चरण 3: हर को (10) की घात बनाने से दशमलव स्थान स्पष्ट हो जाते हैं।
A. हर में केवल (2) के गुणनखंड होंगे/The denominator will have only factors of (2)
Step 1
Concept
\(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
Hence the decimal terminates within (4) places. चरण 1: \(2500=2^2\times5^4\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है। चरण 3: इसलिए दशमलव अधिकतम (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
Check the denominator of the fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(14=2\times7\), and factor (7) prevents termination.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If (2) is joined by another prime like (7), the decimal will recur. चरण 1: सरल भिन्न में हर को जाँचते हैं। चरण 2: \(14=2\times7\), और (7) के कारण दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (2) के साथ कोई दूसरा अभाज्य जैसे (7) हो तो उत्तर आवर्ती होगा।
The larger exponent is (3), so the decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Thinking of converting (250) to (1000) gives the same answer. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: हर (250) को (1000) बनाने की सोच से भी यही उत्तर मिलता है।
For a terminating decimal, the denominator must have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(100=2^2\times5^2\), so it is suitable.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Denominators like (10), (100), and (1000) give terminating decimals. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: \(100=2^2\times5^2\), इसलिए यह हर उपयुक्त है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (10), (100), (1000) जैसे हर समाप्त दशमलव देते हैं।
कथन: सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) का भाजक \(2^a5^b\) हो तो दशमलव विस्तार समाप्त होता है। कारण: ऐसी स्थिति में भाजक को \(10^k\) के रूप में बदला जा सकता है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
A denominator made of powers of (2) and (5) can be converted into a power of (10).
Step 2
Why this answer is correct
When the denominator becomes like \(10^k\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason also explains the assertion. चरण 1: (2) और (5) की घातों से बना भाजक (10) की घात में बदला जा सकता है। चरण 2: जब भाजक \(10^k\) जैसा हो जाता है, तो दशमलव समाप्त होता है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में देखें कि कारण सच होने के साथ कथन को समझा भी रहा है या नहीं।
For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
The remaining factors in lowest form decide the result. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within three places.
Step 3
Exam Tip
Comparing exponents saves time in exams. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम तीन स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: घातों की तुलना करने की आदत परीक्षा में समय बचाती है।
The factor (7) prevents termination, and because the number is rational, the decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
Even one extra prime factor stops termination. चरण 1: \(14=2\times7\) है। चरण 2: भाजक में (7) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: केवल एक अतिरिक्त गुणनखंड भी समाप्ति रोक देता है।
For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
The exponent of (2) is (3) and the exponent of (5) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within three places.
Step 3
Exam Tip
Choose the larger exponent, not the smaller one. चरण 1: भाजक में (2) की घात (3) और (5) की घात (2) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम तीन स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी स्थितियों में छोटी नहीं, बड़ी घात चुनें।
\(0.124545\ldots=\frac{1245-12}{9900}=\frac{1233}{9900}=\frac{137}{1100}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1100). \(0.124545\ldots=\frac{1245-12}{9900}=\frac{1233}{9900}=\frac{137}{1100}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.124545\ldots=\frac{1245-12}{9900}=\frac{1233}{9900}=\frac{137}{1100}\) है। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम भिन्न को अवश्य सरल करें।
One non-repeating zero and three repeating digits give \(\frac{125}{9990}\), which reduces to \(\frac{25}{1998}\). In mixed recurring decimals, do not treat the first denominator as the final one.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1998). One non-repeating zero and three repeating digits give \(\frac{125}{9990}\), which reduces to \(\frac{25}{1998}\). In mixed recurring decimals, do not treat the first denominator as the final one.
Step 3
Exam Tip
एक अनावर्ती शून्य और तीन आवर्ती अंकों से \(\frac{125}{9990}\) बनता है, जो \(\frac{25}{1998}\) तक सरल होता है। मिश्रित आवर्ती दशमलव में पहले बना हर अंतिम हर नहीं मानें।
B. असांत आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
Since \(\frac{p}{q}\) is already in lowest form, check (q) directly.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\cdot 3^2\), which contains (3). So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
If lowest form is stated, do not overthink the numerator. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, इसलिए (q) का गुणनखंड सीधे जाँचा जाएगा। चरण 2: \(72=2^3\cdot 3^2\), जिसमें (3) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: सरलतम रूप दिया हो तो अंश को लेकर अलग भ्रम न रखें।
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first. चरण 1: \(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। चरण 3: दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें।
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\), so the denominator is (111). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\), so the denominator is (111). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\) है इसलिए हर (111) है। आवर्ती भाग में आरंभिक शून्य को भी अंक माना जाता है।
A. सांत और (5) दशमलव स्थान/Terminating with (5) decimal places
Step 1
Concept
\(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by a zero exponent. चरण 1: \(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। चरण 2: हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। चरण 3: शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों।
A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। चरण 2: यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें।
The denominator has only (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Since the exponent of (5) is (5), it terminates after (5) places. चरण 1: \(3125=5^5\) है। चरण 2: हर में केवल (5) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: (5) की घात (5) होने से दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा।
The number of places in a terminating decimal is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the larger exponent is (7).
Step 3
Exam Tip
Therefore the decimal terminates after (7) places. चरण 1: समाप्त दशमलव के स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां बड़ी घात (7) है। चरण 3: इसलिए दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (6), so it terminates within (6) places. चरण 1: \(320=2^6\times5\) है। चरण 2: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: बड़ी घात (6) होने से दशमलव अधिकतम (6) स्थानों पर समाप्त होगा।
For a terminating decimal, the number of places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the exponent of (2) is (4), and the exponent of (5) is (6).
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places. चरण 1: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां (2) की घात (4) और (5) की घात (6) है। चरण 3: बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा।
The number of decimal places is decided by the larger exponent of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent must be (4), so (n=4).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the larger exponent directly. चरण 1: दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात से तय होती है। चरण 2: यहां बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (n=4) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बड़ी घात को सीधे पहचानें।
A. हर में केवल (2) आता है/Only (2) occurs in the denominator
Step 1
Concept
\(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), the denominator has only (2).
Step 3
Exam Tip
Convert a terminating decimal to a fraction and check the denominator factors. चरण 1: \(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\) है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए हर में केवल (2) है। चरण 3: समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलकर हर के गुणनखंड जांचें।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within (3) places.
Step 3
Exam Tip
For the number of decimal places, use the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: \(200=2^3\times5^2\) है। चरण 2: घातों में सबसे बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: स्थानों की संख्या के लिए (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (5) and (3), and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, decimal places come from the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (5) और (3) हैं, इनमें बड़ी घात (5) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है।
The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (6) and (2), and the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: The maximum number of decimal places is decided by the larger exponent. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (6) और (2) हैं, इनमें बड़ी घात (6) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव के अधिकतम स्थान बड़ी घात से तय होते हैं।
The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (3) and (5), and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, the number of places comes from the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (3) और (5) हैं, इनमें बड़ी घात (5) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है।
The denominator has only (2) and (5) as prime factors, so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (2) and (4), and the larger exponent is (4).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, use the larger exponent of (2) and (5) to count decimal places. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (2) और (4) हैं, इनमें बड़ी घात (4) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या के लिए (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
To make (125) into (1000), multiply by (8), so there are (3) decimal places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: A \(5^n\) denominator usually gives (n) decimal places. चरण 1: \(5^3=125\) है। चरण 2: (125) को (1000) बनाने के लिए (8) से गुणा करते हैं, इसलिए (3) दशमलव स्थान होंगे। चरण 3: परीक्षा सुझाव: \(5^n\) वाले हर में प्रायः (n) स्थान मिलते हैं।
The denominator has only (2), with exponent (4), so the decimal ends after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Think of converting a \(2^n\) denominator into \(10^n\). चरण 1: \(2^4=16\) है। चरण 2: हर में केवल (2) है और घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों तक समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: \(2^n\) वाले हर को \(10^n\) तक पहुंचाने की सोच रखें।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (3) and (2), and the larger one is (3).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Maximum decimal places equal the larger exponent. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (3) और (2) हैं, बड़ी घात (3) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: अधिकतम दशमलव स्थान बड़ी घात के बराबर होते हैं।
The denominator has exponent (2) on (2) and exponent (4) on (5).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (4), so the decimal terminates within four places.
Step 3
Exam Tip
In such questions, the larger exponent gives the answer. चरण 1: भाजक में (2) की घात (2) और (5) की घात (4) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव अधिकतम चार स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी स्थितियों में बड़ी घात ही उत्तर देती है।
The denominator \(2^4\cdot 5^6\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete the deficiency of the prime with the smaller exponent. चरण 1: \(10^6=2^6\cdot 5^6\) होता है। चरण 2: हर \(2^4\cdot 5^6\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करेंगे। चरण 3: जिसकी घात कम हो, उसी की कमी पूरी करें।
\(0.00015625=\frac{15625}{100000000}\), and reducing by (15625) gives \(\frac{1}{6400}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{6400}\). \(0.00015625=\frac{15625}{100000000}\), and reducing by (15625) gives \(\frac{1}{6400}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 3
Exam Tip
\(0.00015625=\frac{15625}{100000000}\) है और (15625) से सरल करने पर \(\frac{1}{6400}\) मिलता है। बड़े हर में समान गुणनखंड काटना न भूलें।
\(0.046875=\frac{46875}{1000000}\), and reducing gives \(\frac{3}{64}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{64}\). \(0.046875=\frac{46875}{1000000}\), and reducing gives \(\frac{3}{64}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.046875=\frac{46875}{1000000}\) है और सरल करने पर \(\frac{3}{64}\) मिलता है। दशमलव से भिन्न बनाकर अंतिम रूप तक सरल करें।
\(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{7}{111}\). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{111}\). \(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{7}{111}\). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\) और (9) से सरल करने पर \(\frac{7}{111}\) मिलता है। आवर्ती भाग में आरंभिक शून्य को भी अंक माना जाता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{550}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{54}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{3}{550}\) मिलता है।
\(0.00084=\frac{84}{100000}\), and reducing by (4) gives \(\frac{21}{25000}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{21}{25000}\). \(0.00084=\frac{84}{100000}\), and reducing by (4) gives \(\frac{21}{25000}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00084=\frac{84}{100000}\) है और (4) से सरल करने पर \(\frac{21}{25000}\) मिलता है। छोटे दशमलव में भी महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
\(0.4272727\ldots=\frac{423}{990}=\frac{47}{110}\), so the denominator is (110). In mixed recurring decimals, the final fraction must be reduced.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (110). \(0.4272727\ldots=\frac{423}{990}=\frac{47}{110}\), so the denominator is (110). In mixed recurring decimals, the final fraction must be reduced.
Step 3
Exam Tip
\(0.4272727\ldots=\frac{423}{990}=\frac{47}{110}\) है इसलिए हर (110) है। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम भिन्न को सरल करना जरूरी है।
\(0.0003125=\frac{3125}{10000000}\), and reducing by (3125) gives \(\frac{1}{3200}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{3200}\). \(0.0003125=\frac{3125}{10000000}\), and reducing by (3125) gives \(\frac{1}{3200}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 3
Exam Tip
\(0.0003125=\frac{3125}{10000000}\) है और (3125) से सरल करने पर \(\frac{1}{3200}\) मिलता है। बड़े हर में समान गुणनखंड काटना न भूलें।
\(0.01875=\frac{1875}{100000}\), and dividing by (625) gives \(\frac{3}{160}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{160}\). \(0.01875=\frac{1875}{100000}\), and dividing by (625) gives \(\frac{3}{160}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.01875=\frac{1875}{100000}\) है और (625) से भाग देने पर \(\frac{3}{160}\) मिलता है। दशमलव से भिन्न बनाकर अंतिम रूप तक सरल करें।
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{5}{111}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5}{111}\). \(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{5}{111}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\) और (9) से सरल करने पर \(\frac{5}{111}\) मिलता है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{63}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{7}{1100}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{1100}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{63}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{7}{1100}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{63}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{7}{1100}\) मिलता है।
\(0.00096=\frac{96}{100000}\), and reducing by (32) gives \(\frac{3}{3125}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{3125}\). \(0.00096=\frac{96}{100000}\), and reducing by (32) gives \(\frac{3}{3125}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00096=\frac{96}{100000}\) है और (32) से सरल करने पर \(\frac{3}{3125}\) मिलता है। छोटे दशमलव में भी महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
The non-repeating part (2) and repeating part (54) give \(\frac{252}{990}\), which reduces to \(\frac{14}{55}\). In exams, identify repeating and non-repeating digits separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{14}{55}\). The non-repeating part (2) and repeating part (54) give \(\frac{252}{990}\), which reduces to \(\frac{14}{55}\). In exams, identify repeating and non-repeating digits separately.
Step 3
Exam Tip
सांत भाग (2) और आवर्ती भाग (54) से भिन्न \(\frac{252}{990}\) बनती है जो \(\frac{14}{55}\) तक सरल होती है। परीक्षा में आवर्ती और अनावर्ती अंकों को अलग पहचानें।
\(0.254545\ldots=\frac{252}{990}=\frac{14}{55}\), so the denominator is (55). In such questions, reduce the final fraction fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (110). \(0.254545\ldots=\frac{252}{990}=\frac{14}{55}\), so the denominator is (55). In such questions, reduce the final fraction fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.254545\ldots=\frac{252}{990}=\frac{14}{55}\) है इसलिए हर (55) है। ऐसे प्रश्न में अंतिम भिन्न को सरल करना जरूरी है।
\(0.000625=\frac{625}{1000000}\), and reducing by (625) gives \(\frac{1}{1600}\). Do not fear large denominators; cancel common factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{1600}\). \(0.000625=\frac{625}{1000000}\), and reducing by (625) gives \(\frac{1}{1600}\). Do not fear large denominators; cancel common factors.
Step 3
Exam Tip
\(0.000625=\frac{625}{1000000}\), जिसे (625) से सरल करने पर \(\frac{1}{1600}\) मिलता है। बड़े हर से डरें नहीं, समान गुणनखंड काटें।
\(0.0375=\frac{375}{10000}\), and dividing by (125) gives \(\frac{3}{80}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{80}\). \(0.0375=\frac{375}{10000}\), and dividing by (125) gives \(\frac{3}{80}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.0375=\frac{375}{10000}\) और (125) से भाग देने पर \(\frac{3}{80}\) मिलता है। दशमलव से भिन्न बनाकर अंतिम रूप तक सरल करें।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{72}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{2}{275}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2}{275}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{72}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{2}{275}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{72}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{2}{275}\) मिलता है।
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). First write the denominator as a power of (10), then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{9}{12500}\). \(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). First write the denominator as a power of (10), then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), जिसे (8) से सरल करने पर \(\frac{9}{12500}\) मिलता है। पहले (10) की घात वाला हर बनाकर फिर भिन्न को सरल करें।
It equals \(\frac{45}{9900}=\frac{1}{220}\). So the denominator is (220).
Step 3
Exam Tip
Choose the denominator only after reducing. चरण 1: \(0.00\overline{45}=0.00454545\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{45}{9900}=\frac{1}{220}\) होता है। इसलिए हर (220) है। चरण 3: सरल करने के बाद ही हर चुनें।
First form the denominator as a power of (10), then reduce. चरण 1: \(0.0008=\frac{8}{10000}\) है। चरण 2: (8) से भाग देने पर \(\frac{1}{1250}\) मिलता है। चरण 3: दशमलव के स्थानों के अनुसार पहले (10) की घात वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
\(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), so the decimal is (0.4).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Writing the lowest form often earns the main mark. चरण 1: (14) और (35) का सामान्य गुणनखंड (7) है। चरण 2: \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), इसलिए दशमलव (0.4) होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सरल रूप लिखना कई प्रश्नों में पूरा अंक दिलाता है।
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है/The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false. चरण 1: (p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So the lowest-form condition fails. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो/When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
This idea becomes the contradiction in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। चरण 2: यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। चरण 3: यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है।
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने/So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
Always mention coprime at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। चरण 3: शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है/This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है।
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Both being even breaks the lowest-form condition. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
Later finding (5) in both contradicts this. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। चरण 2: इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है/The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है।
A. जब (a) और (b) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा हो/When (a) and (b) have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Lowest form means numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If there is a common factor other than (1), the fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This becomes the contradiction in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का अर्थ है कि अंश और हर सहअभाज्य हों। चरण 2: यदि (1) के अलावा साझा गुणनखंड हो, तो भिन्न और सरल हो सकती है। चरण 3: यही बात अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनती है।
A. (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (a) and (b) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, the numerator and denominator of a fraction are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
This means their greatest common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
This condition breaks when a common factor is found. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: यही शर्त साझा गुणनखंड मिलने पर टूटती है।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं / Only (2) and (5) can occur. For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^4\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा।
A positive power of (13) remains in the reduced denominator. Therefore the rational number has a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. A positive power of (13) remains in the reduced denominator. Therefore the rational number has a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर में (13) की धनात्मक घात बची है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं / Only (2) and (5) can occur. For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^3\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा।
