A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है/The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false. चरण 1: (p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है।
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So the lowest-form condition fails. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है/This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption. चरण 1: (p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है/The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है।
A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम/\(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{550}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{54}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{3}{550}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{54}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{3}{550}\) मिलता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{63}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{7}{1100}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{1100}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{63}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{7}{1100}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{63}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{7}{1100}\) मिलता है।
Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{72}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{2}{275}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2}{275}\). Two non-repeating zeros and two repeating digits give \(\frac{72}{9900}\). Reducing it gives \(\frac{2}{275}\).
Step 3
Exam Tip
दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंकों से \(\frac{72}{9900}\) बनता है। इसे सरल करने पर \(\frac{2}{275}\) मिलता है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\) है। पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाएं और फिर पूरा सरल करें।
\(0.00015625=\frac{15625}{100000000}\), and reducing by (15625) gives \(\frac{1}{6400}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{6400}\). \(0.00015625=\frac{15625}{100000000}\), and reducing by (15625) gives \(\frac{1}{6400}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 3
Exam Tip
\(0.00015625=\frac{15625}{100000000}\) है और (15625) से सरल करने पर \(\frac{1}{6400}\) मिलता है। बड़े हर में समान गुणनखंड काटना न भूलें।
\(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{7}{111}\). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{111}\). \(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{7}{111}\). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{063}=\frac{63}{999}\) और (9) से सरल करने पर \(\frac{7}{111}\) मिलता है। आवर्ती भाग में आरंभिक शून्य को भी अंक माना जाता है।
\(0.00084=\frac{84}{100000}\), and reducing by (4) gives \(\frac{21}{25000}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{21}{25000}\). \(0.00084=\frac{84}{100000}\), and reducing by (4) gives \(\frac{21}{25000}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00084=\frac{84}{100000}\) है और (4) से सरल करने पर \(\frac{21}{25000}\) मिलता है। छोटे दशमलव में भी महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37). \(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\) है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं फिर सरल करें।
\(0.4272727\ldots=\frac{423}{990}=\frac{47}{110}\), so the denominator is (110). In mixed recurring decimals, the final fraction must be reduced.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (110). \(0.4272727\ldots=\frac{423}{990}=\frac{47}{110}\), so the denominator is (110). In mixed recurring decimals, the final fraction must be reduced.
Step 3
Exam Tip
\(0.4272727\ldots=\frac{423}{990}=\frac{47}{110}\) है इसलिए हर (110) है। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम भिन्न को सरल करना जरूरी है।
\(0.0003125=\frac{3125}{10000000}\), and reducing by (3125) gives \(\frac{1}{3200}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{3200}\). \(0.0003125=\frac{3125}{10000000}\), and reducing by (3125) gives \(\frac{1}{3200}\). Do not forget to cancel common factors in large denominators.
Step 3
Exam Tip
\(0.0003125=\frac{3125}{10000000}\) है और (3125) से सरल करने पर \(\frac{1}{3200}\) मिलता है। बड़े हर में समान गुणनखंड काटना न भूलें।
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{5}{111}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5}{111}\). \(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\), and reducing by (9) gives \(\frac{5}{111}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}\) और (9) से सरल करने पर \(\frac{5}{111}\) मिलता है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं।
\(0.00096=\frac{96}{100000}\), and reducing by (32) gives \(\frac{3}{3125}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{3125}\). \(0.00096=\frac{96}{100000}\), and reducing by (32) gives \(\frac{3}{3125}\). Even for small decimals, check the greatest common factor carefully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00096=\frac{96}{100000}\) है और (32) से सरल करने पर \(\frac{3}{3125}\) मिलता है। छोटे दशमलव में भी महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
\(0.254545\ldots=\frac{252}{990}=\frac{14}{55}\), so the denominator is (55). In such questions, reduce the final fraction fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (110). \(0.254545\ldots=\frac{252}{990}=\frac{14}{55}\), so the denominator is (55). In such questions, reduce the final fraction fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.254545\ldots=\frac{252}{990}=\frac{14}{55}\) है इसलिए हर (55) है। ऐसे प्रश्न में अंतिम भिन्न को सरल करना जरूरी है।
\(0.000625=\frac{625}{1000000}\), and reducing by (625) gives \(\frac{1}{1600}\). Do not fear large denominators; cancel common factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{1600}\). \(0.000625=\frac{625}{1000000}\), and reducing by (625) gives \(\frac{1}{1600}\). Do not fear large denominators; cancel common factors.
Step 3
Exam Tip
\(0.000625=\frac{625}{1000000}\), जिसे (625) से सरल करने पर \(\frac{1}{1600}\) मिलता है। बड़े हर से डरें नहीं, समान गुणनखंड काटें।
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). So the correct denominator is (12500); check the common factor carefully in small decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1250). \(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). So the correct denominator is (12500); check the common factor carefully in small decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.00072=\frac{72}{100000}\) और (72) से सरल करने पर \(\frac{9}{12500}\) मिलता है। इसलिए सही हर (12500) है, छोटे दशमलवों में महत्तम सामान्य गुणनखंड ध्यान से देखें।
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (22). \(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\)। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम उत्तर हमेशा सरल करें।
It equals \(\frac{45}{9900}=\frac{1}{220}\). So the denominator is (220).
Step 3
Exam Tip
Choose the denominator only after reducing. चरण 1: \(0.00\overline{45}=0.00454545\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{45}{9900}=\frac{1}{220}\) होता है। इसलिए हर (220) है। चरण 3: सरल करने के बाद ही हर चुनें।
First form the denominator as a power of (10), then reduce. चरण 1: \(0.0008=\frac{8}{10000}\) है। चरण 2: (8) से भाग देने पर \(\frac{1}{1250}\) मिलता है। चरण 3: दशमलव के स्थानों के अनुसार पहले (10) की घात वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
\(10x=24.666\ldots\) and \(100x=246.666\ldots\), so (90x=222) and \(x=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}\).
Step 3
Exam Tip
Align the recurring parts before subtracting. चरण 1: मान लें \(x=2.4666\ldots\)। चरण 2: \(10x=24.666\ldots\) और \(100x=246.666\ldots\), इसलिए (90x=222) और \(x=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}\)। चरण 3: घटाने से पहले आवर्ती भाग को एक जैसी स्थिति में लाएँ।
Reducing by (25) gives \(\frac{3}{400}\). So the denominator is (400).
Step 3
Exam Tip
Even with many zeros in a decimal, find the greatest common factor carefully. चरण 1: \(0.0075=\frac{75}{10000}\) है। चरण 2: (75) से सरल करने पर \(\frac{3}{400}\) मिलता है। इसलिए हर (400) है। चरण 3: दशमलव में कई शून्य हों तो भी महत्तम सामान्य गुणनखंड खोजें।
\(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce. चरण 1: \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
Reducing by the greatest common factor (32) gives \(\frac{2}{3125}\). So the denominator is (3125).
Step 3
Exam Tip
Reduce carefully; repeated division by (2) is safe here. चरण 1: \(0.00064=\frac{64}{100000}\) है। चरण 2: \(100000=10^5=2^5\cdot 5^5\) और \(64=2^6\), इसलिए सरल करने पर \(\frac{2}{3125}\) नहीं बल्कि \(\frac{1}{1562.5}\) नहीं बन सकता। सही रूप \(\frac{64}{100000}=\frac{8}{12500}=\frac{4}{6250}=\frac{2}{3125}\) है। अतः हर (3125) है। चरण 3: बार-बार (2) से भाग देकर सुरक्षित सरलता करें।
Reducing gives \(\frac{5}{16}\). Hence the denominator is (16).
Step 3
Exam Tip
Do not decide the final denominator only from the number of decimal digits. चरण 1: \(0.3125=\frac{3125}{10000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{5}{16}\) मिलता है। इसलिए हर (16) है। चरण 3: दशमलव के अंकों की संख्या देखकर अंतिम हर तय न करें।
Dividing both by (125) gives \(\frac{1}{8000}\). So the denominator is (8000).
Step 3
Exam Tip
Even when a decimal has many zeros, reduce the fraction fully. चरण 1: \(0.000125=\frac{125}{1000000}\) है। चरण 2: दोनों को (125) से भाग देने पर \(\frac{1}{8000}\) मिलता है। इसलिए हर (8000) है। चरण 3: छोटे दशमलवों में शून्य अधिक हों तो भी भिन्न को सरल करना जरूरी है।
Dividing numerator and denominator by (125) gives \(\frac{3}{8}\). So the denominator is (8).
Step 3
Exam Tip
Always reduce after converting a decimal to a fraction. चरण 1: \(0.375=\frac{375}{1000}\) है। चरण 2: (375) और (1000) को (125) से भाग देने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। इसलिए हर (8) है। चरण 3: दशमलव को भिन्न में बदलने के बाद हमेशा सरल करें।
B. असांत आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
Since \(\frac{p}{q}\) is already in lowest form, check (q) directly.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\cdot 3^2\), which contains (3). So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
If lowest form is stated, do not overthink the numerator. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, इसलिए (q) का गुणनखंड सीधे जाँचा जाएगा। चरण 2: \(72=2^3\cdot 3^2\), जिसमें (3) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: सरलतम रूप दिया हो तो अंश को लेकर अलग भ्रम न रखें।
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first. चरण 1: \(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। चरण 3: दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें।
Write a terminating decimal over a power of (10), then reduce it. चरण 1: \(0.0625=\frac{625}{10000}\) है। चरण 2: इसे सरल करने पर \(\frac{1}{16}\) मिलता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को पहले (10) की घात वाले हर में लिखकर घटाइए।
\(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), so the decimal is (0.4).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Writing the lowest form often earns the main mark. चरण 1: (14) और (35) का सामान्य गुणनखंड (7) है। चरण 2: \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\), इसलिए दशमलव (0.4) होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सरल रूप लिखना कई प्रश्नों में पूरा अंक दिलाता है।
कथन: \(\frac{p}{q}\) सरल रूप में हो और (q) में (7) का गुणनखंड हो, तो दशमलव समाप्त नहीं होगा। कारण: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। चरण 2: यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है।
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो/When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
This idea becomes the contradiction in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। चरण 2: यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। चरण 3: यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है।
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने/So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
Always mention coprime at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। चरण 3: शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है।
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Both being even breaks the lowest-form condition. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
Later finding (5) in both contradicts this. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। चरण 2: इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
Lowest form means the fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
So the numerator and denominator have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
This fact is important in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का अर्थ है कि भिन्न को और छोटा नहीं किया जा सकता। चरण 2: इसलिए अंश और हर का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाण में यही बात जरूरी होती है।
A. जब (a) और (b) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा हो/When (a) and (b) have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Lowest form means numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If there is a common factor other than (1), the fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This becomes the contradiction in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का अर्थ है कि अंश और हर सहअभाज्य हों। चरण 2: यदि (1) के अलावा साझा गुणनखंड हो, तो भिन्न और सरल हो सकती है। चरण 3: यही बात अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनती है।
A. (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (a) and (b) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, the numerator and denominator of a fraction are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
This means their greatest common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
This condition breaks when a common factor is found. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: यही शर्त साझा गुणनखंड मिलने पर टूटती है।
\(0.124545\ldots=\frac{1245-12}{9900}=\frac{1233}{9900}=\frac{137}{1100}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1100). \(0.124545\ldots=\frac{1245-12}{9900}=\frac{1233}{9900}=\frac{137}{1100}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.124545\ldots=\frac{1245-12}{9900}=\frac{1233}{9900}=\frac{137}{1100}\) है। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम भिन्न को अवश्य सरल करें।
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (64). \(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\) है। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में देखें।
\(0.046875=\frac{46875}{1000000}\), and reducing gives \(\frac{3}{64}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{64}\). \(0.046875=\frac{46875}{1000000}\), and reducing gives \(\frac{3}{64}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.046875=\frac{46875}{1000000}\) है और सरल करने पर \(\frac{3}{64}\) मिलता है। दशमलव से भिन्न बनाकर अंतिम रूप तक सरल करें।
One non-repeating zero and three repeating digits give \(\frac{125}{9990}\), which reduces to \(\frac{25}{1998}\). In mixed recurring decimals, do not treat the first denominator as the final one.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1998). One non-repeating zero and three repeating digits give \(\frac{125}{9990}\), which reduces to \(\frac{25}{1998}\). In mixed recurring decimals, do not treat the first denominator as the final one.
Step 3
Exam Tip
एक अनावर्ती शून्य और तीन आवर्ती अंकों से \(\frac{125}{9990}\) बनता है, जो \(\frac{25}{1998}\) तक सरल होता है। मिश्रित आवर्ती दशमलव में पहले बना हर अंतिम हर नहीं मानें।
\(0.01875=\frac{1875}{100000}\), and dividing by (625) gives \(\frac{3}{160}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{160}\). \(0.01875=\frac{1875}{100000}\), and dividing by (625) gives \(\frac{3}{160}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.01875=\frac{1875}{100000}\) है और (625) से भाग देने पर \(\frac{3}{160}\) मिलता है। दशमलव से भिन्न बनाकर अंतिम रूप तक सरल करें।
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (110). \(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\) है इसलिए हर (1100) है। आवर्ती दशमलव में पहले बना हर हमेशा अंतिम हर नहीं होता।
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). \(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\) है इसलिए हर (3125) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर पूरा सरल करें।
The non-repeating part (2) and repeating part (54) give \(\frac{252}{990}\), which reduces to \(\frac{14}{55}\). In exams, identify repeating and non-repeating digits separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{14}{55}\). The non-repeating part (2) and repeating part (54) give \(\frac{252}{990}\), which reduces to \(\frac{14}{55}\). In exams, identify repeating and non-repeating digits separately.
Step 3
Exam Tip
सांत भाग (2) और आवर्ती भाग (54) से भिन्न \(\frac{252}{990}\) बनती है जो \(\frac{14}{55}\) तक सरल होती है। परीक्षा में आवर्ती और अनावर्ती अंकों को अलग पहचानें।
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16). \(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\)। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में अवश्य देखें।
\(0.0375=\frac{375}{10000}\), and dividing by (125) gives \(\frac{3}{80}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3}{80}\). \(0.0375=\frac{375}{10000}\), and dividing by (125) gives \(\frac{3}{80}\). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.0375=\frac{375}{10000}\) और (125) से भाग देने पर \(\frac{3}{80}\) मिलता है। दशमलव से भिन्न बनाकर अंतिम रूप तक सरल करें।
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1375). \(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\)। सही हर (275) है, इसलिए विकल्पों में केवल (275) को चुनना चाहिए।
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). First write the denominator as a power of (10), then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{9}{12500}\). \(0.00072=\frac{72}{100000}\), and reducing by (8) gives \(\frac{9}{12500}\). First write the denominator as a power of (10), then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.00072=\frac{72}{100000}\), जिसे (8) से सरल करने पर \(\frac{9}{12500}\) मिलता है। पहले (10) की घात वाला हर बनाकर फिर भिन्न को सरल करें।
The powers of (2) and (5) are (2) and (1), so the larger exponent is (2). The decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is given, check its exponents directly. चरण 1: \(20=2^2\cdot 5\) है। चरण 2: (2) की घात (2) और (5) की घात (1) है, इसलिए बड़ी घात (2) होगी। दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: सरलतम हर दिया हो तो सीधे उसकी घातें देखें।
The greatest common factor of (48) and (10000) is (16), so \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). The denominator is (625).
Step 3
Exam Tip
Even for small decimals, reduce to lowest form. चरण 1: \(0.0048=\frac{48}{10000}\) है। चरण 2: (48) और (10000) का महत्तम सामान्य गुणनखंड (16) है, इसलिए \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\)। हर (625) है। चरण 3: छोटे दशमलव में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
A common factor (5) in both creates the contradiction. चरण 1: (p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। चरण 2: इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है।
For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं/They gave universal language of rights but inequalities remained in societies
Step 1
Concept
The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं / They gave universal language of rights but inequalities remained in societies. The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
Step 3
Exam Tip
ज्ञानोदय ने अधिकारों की भाषा दी जिसे अलग समूहों ने अपने संघर्षों में अपनाया। परीक्षा में सार्वभौमिक आदर्श और वास्तविक सीमा लिखें।
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method. चरण 1: विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। चरण 2: फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprimality and a common factor cannot occur together. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। चरण 3: सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते।
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The contradiction is the clash between coprimality and a common factor. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
After this, contradiction is written using common factor (5). चरण 1: प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 3: इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs. चरण 1: परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the clear and correct contradiction. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: यही साफ और सही विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव सिद्ध हो जाए, तो वह गलत है। चरण 3: अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This is impossible for a lowest-form fraction. चरण 1: परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे/Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं/(p) and (q) are not coprime
Step 1
Concept
(p=2r) and (q=2s) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
But they were assumed coprime at the start, which is the contradiction. चरण 1: (p=2r) और (q=2s) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। चरण 3: जबकि शुरुआत में उन्हें सहअभाज्य माना गया था, यही विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
So when rationality fails, irrationality is proved. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। चरण 2: यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
This is the final contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही अंतिम विरोधाभास है।
B. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (p) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (q) is also found divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Having common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे/Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
Hence this result gives a contradiction. चरण 1: (a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (a) and (b) are even.
Step 3
Exam Tip
Being coprime and both even is impossible. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप मानते हैं। चरण 2: प्रमाण में (a) और (b) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: सहअभाज्य होकर दोनों सम होना असंभव है।
A. जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं/We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In contradiction, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If it leads to an impossible result, the original statement is proved true.
Step 3
Exam Tip
This method is very useful in irrationality proofs. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि उससे असंभव बात मिलती है, तो मूल कथन सही सिद्ध होता है। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाणों में यह विधि बहुत उपयोगी है।
In contradiction, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
If the opposite becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
That is why breaking the rational assumption proves irrationality. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। चरण 2: यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। चरण 3: यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction. चरण 1: (p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) are taken as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (3), so they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, यानी साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations. चरण 1: मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। चरण 2: तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें।
A. स्वतंत्रता और समानता के साथ राजनीतिक नियंत्रण और विस्तारवाद भी आया/Liberty and equality came with political control and expansionism
Step 1
Concept
The Revolution gave the message of liberty and equality.
Step 2
Why this answer is correct
Napoleon combined reforms with conquest taxes and control.
Step 3
Exam Tip
In exams, explain this contradiction in a balanced way. चरण 1: क्रांति ने स्वतंत्रता और समानता का संदेश दिया। चरण 2: नेपोलियन ने सुधारों के साथ विजय कर और नियंत्रण भी बढ़ाए। चरण 3: परीक्षा में इस विरोधाभास को संतुलित ढंग से लिखें।
A. क्योंकि उसने समान कानून फैलाए लेकिन फ्रांसीसी प्रभुत्व भी बढ़ाया/Because it spread uniform laws but also increased French domination
Step 1
Concept
The Code spread legal equality and administrative reforms.
Step 2
Why this answer is correct
But it came with French control in many regions.
Step 3
Exam Tip
A good answer should show both reform and domination. चरण 1: संहिता ने कानून की समानता और प्रशासनिक सुधारों को फैलाया। चरण 2: लेकिन यह कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी नियंत्रण के साथ आई। चरण 3: उत्तर में सुधार और प्रभुत्व दोनों पक्ष दिखाने चाहिए।
A. स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया/External control was sometimes imposed in the name of liberty
Step 1
Concept
French ideas spoke of liberty.
Step 2
Why this answer is correct
But in many territories French rule appeared as external control.
Step 3
Exam Tip
So it is important to understand the contradiction between liberation and domination. चरण 1: फ्रांसीसी विचार स्वतंत्रता की बात करते थे। चरण 2: पर कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी शासन बाहरी नियंत्रण जैसा लगा। चरण 3: इसलिए राष्ट्रवाद में मुक्ति और प्रभुत्व का विरोधाभास समझना जरूरी है।
A. स्वतंत्रता की बात करने वाली राजनीति भी महिलाओं को बराबर स्थान नहीं दे रही थी/Politics speaking of liberty still did not give women equal place
Step 1
Concept
The parliament symbolized liberal and national ideas.
Step 2
Why this answer is correct
Yet women were not given equal right to be representatives.
Step 3
Exam Tip
Remember it as a social limitation of liberal nationalism. चरण 1: संसद उदार और राष्ट्रीय विचारों का प्रतीक थी। चरण 2: फिर भी महिलाओं को प्रतिनिधि बनने का समान अधिकार नहीं दिया गया। चरण 3: इसे उदार राष्ट्रवाद की सामाजिक सीमा के रूप में याद रखें।
A. क्रांति हुई पर शासन फिर भी राजतंत्र के रूप में रहा/A revolution happened but rule still remained monarchical
Step 1
Concept
The July Revolution removed Charles X.
Step 2
Why this answer is correct
Yet rule continued as monarchy under Louis Philippe.
Step 3
Exam Tip
This shows that liberal change did not always create full democracy. चरण 1: जुलाई क्रांति ने चार्ल्स दसवें को हटाया। चरण 2: पर उसके बाद लुई फिलिप के अधीन राजतंत्र ही रहा। चरण 3: यह दिखाता है कि उदार बदलाव हमेशा पूर्ण लोकतंत्र नहीं लाते।
