(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है/The product of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (3), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements with a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका गुणनफल (3) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा वाले कथन को प्रतिउदाहरण से जांचें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है/The product of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (2), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements with a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका गुणनफल (2) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा वाले कथन को प्रतिउदाहरण से जांचें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(2x=2\sqrt{6}\), and (2) is a non-zero rational number.
Step 3
Exam Tip
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational. चरण 1: \(x=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(2x=2\sqrt{6}\), और (2) अशून्य परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को अशून्य परिमेय से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(5x=5\sqrt{5}\), and (5) is a non-zero rational number.
Step 3
Exam Tip
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational. चरण 1: \(x=\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(5x=5\sqrt{5}\), और (5) अशून्य परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को अशून्य परिमेय से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, check the number inside the new root. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन के बाद बने वर्गमूल की अंदर की संख्या जांचें।
Sometimes the product of two irrational numbers can be rational. चरण 1: \(\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}\)। चरण 2: \(\sqrt{36}=6\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: कभी-कभी दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है।
Multiplying a square root by itself gives the number inside the root.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), and (5) is rational.
Step 3
Exam Tip
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल को उसी से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), और (5) परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
