A. क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Such a common factor cannot occur in a lowest-form fraction. चरण 1: परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों/When (p) and (q) in lowest form are both proved even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are proved even, both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is impossible, so the rational assumption is false. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: दोनों सम सिद्ध होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: यह असंभव है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. कि भारतीय संस्कृति कमजोर और असंगठित है/That Indian culture was weak and disorganized
Step 1
Concept
The colonial view could present Indian culture as inferior.
Step 2
Why this answer is correct
Collecting folk literature showed that Indian society had deep cultural traditions.
Step 3
Exam Tip
See folk literature as a response to colonial mentality. चरण 1: औपनिवेशिक दृष्टि भारतीय संस्कृति को कमतर दिखा सकती थी। चरण 2: लोक साहित्य के संग्रह ने दिखाया कि भारतीय समाज में गहरी सांस्कृतिक परंपराएँ हैं। चरण 3: लोक साहित्य को औपनिवेशिक मानसिकता के विरोध के रूप में देखें।
A. कि उपनिवेशवाद केवल यूरोपीय शक्तियों तक सीमित था/That colonialism was limited only to European powers
Step 1
Concept
The Philippines is an Asian example of independence from the United States. For exams remember 1946.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कि उपनिवेशवाद केवल यूरोपीय शक्तियों तक सीमित था / That colonialism was limited only to European powers. The Philippines is an Asian example of independence from the United States. For exams remember 1946.
Step 3
Exam Tip
फिलिपींस अमेरिका से स्वतंत्रता का एशियाई उदाहरण है। परीक्षा में उन्नीस सौ छियालिस याद रखें।
A. कि पीड़ितों ने कभी प्रतिरोध नहीं किया/That victims never resisted
Step 1
Concept
The Warsaw Ghetto Uprising showed resistance amid repression. For exams study the Holocaust through both suffering and resistance.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कि पीड़ितों ने कभी प्रतिरोध नहीं किया / That victims never resisted. The Warsaw Ghetto Uprising showed resistance amid repression. For exams study the Holocaust through both suffering and resistance.
Step 3
Exam Tip
वारसा गेटो विद्रोह ने दमन के बीच प्रतिरोध की क्षमता दिखाई। परीक्षा में होलोकॉस्ट को पीड़ा और प्रतिरोध दोनों से पढ़ें।
A. कि अफ्रीका में प्राचीन कला और तकनीक विकसित नहीं थी/That ancient art and technology did not develop in Africa
Step 1
Concept
Nok art shows ancient technological and artistic achievement of West Africa. Link it with the Nigeria region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कि अफ्रीका में प्राचीन कला और तकनीक विकसित नहीं थी / That ancient art and technology did not develop in Africa. Nok art shows ancient technological and artistic achievement of West Africa. Link it with the Nigeria region.
Step 3
Exam Tip
नोक कला पश्चिम अफ्रीका की प्राचीन तकनीकी और कलात्मक उपलब्धि दिखाती है। परीक्षा में इसे नाइजीरिया क्षेत्र से जोड़ें।
A. \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं/\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
The rational assumption is always taken as a ratio.
Step 2
Why this answer is correct
It is necessary to write (p,q) coprime and \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This standard form works in all three proofs. चरण 1: परिमेय मान्यता हमेशा अनुपात के रूप में ली जाती है। चरण 2: (p,q) को सहअभाज्य और \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: यही मानक रूप तीनों प्रमाणों में काम आता है।
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
Writing the method clearly at the start strengthens the answer. चरण 1: विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/(m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so the rational assumption is false. चरण 1: परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: (p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
After assuming rationality, (p) and (q) were taken coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Finding common factor (3) makes this assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
So the rational assumption is false and \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: साझा गुणनखंड (3) मिलना इस मान्यता को असंभव बनाता है। चरण 3: इसलिए मूल परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
So when rationality fails, irrationality is proved. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। चरण 2: यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
In exams, write the opposite assumption clearly. चरण 1: विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। चरण 2: यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। चरण 3: परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें।
In contradiction, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
If the opposite becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
That is why breaking the rational assumption proves irrationality. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। चरण 2: यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। चरण 3: यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं/\(\sqrt{2}\) is rational and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
In the contradiction method, we begin by assuming the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
So we assume \(\sqrt{2}\) is rational and write it as \(\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
In exams, write the starting assumption clearly. चरण 1: विरोधाभास विधि में हम कथन के उलटे को सही मानकर शुरू करते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखते हैं, जहां (p) और (q) सहअभाज्य हों। चरण 3: परीक्षा में शुरुआत साफ लिखना बहुत जरूरी है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial rational assumption is proved false. चरण 1: हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। चरण 2: उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। चरण 3: इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है।
A. सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (a) and (b) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This cannot happen in lowest form, so the assumption is false. चरण 1: परिमेय मानने पर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) सबसे सरल रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए मान्यता गलत है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\)/(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This condition is what creates the contradiction later. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। चरण 2: प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। चरण 3: यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है।
A. परिमेय मान्यता गलत है/The rational assumption is false
Step 1
Concept
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was assumed in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it can be reduced, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप माना गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखाता है कि यह घट सकती है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. परिमेय मान्यता असंभव है/The rational assumption is impossible
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should not have any common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
Finding both divisible by (3) breaks this condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर यह शर्त टूट जाती है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it is not in lowest form, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखा दे कि वह सरलतम रूप में नहीं है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं/\(\sqrt{5}\) is rational and \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
In the contradiction method, we assume the opposite.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to mention that (p) and (q) are coprime. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी बात मानते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 3: (p) और (q) को सहअभाज्य लिखना न भूलें।
