Since \(4^2<24<5^2\), \(\sqrt{24}\) is between (4) and (5) and is not equal to (24). Do not treat a square root as the original number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{24}=24\). Since \(4^2<24<5^2\), \(\sqrt{24}\) is between (4) and (5) and is not equal to (24). Do not treat a square root as the original number.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(4^2<24<5^2\), इसलिए \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है और (24) के बराबर नहीं है। वर्गमूल को मूल संख्या न मानें।
D. इसमें हमेशा \(c\neq0\) होना चाहिए/It must always have \(c\neq0\)
Step 1
Concept
In a quadratic equation, (c) can also be (0). The necessary condition is only \(a\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. इसमें हमेशा \(c\neq0\) होना चाहिए / It must always have \(c\neq0\). In a quadratic equation, (c) can also be (0). The necessary condition is only \(a\neq0\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात समीकरण में (c) (0) भी हो सकता है। जरूरी शर्त केवल \(a\neq0\) है।
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं/(x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime is proved false. चरण 1: दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. जब सरलतम रूप के (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हों/When (p) and (q) in lowest form are both proved even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are proved even, both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is impossible, so the rational assumption is false. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: दोनों सम सिद्ध होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: यह असंभव है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
C. हर असांत दशमलव अपरिमेय होता है/Every non-terminating decimal is irrational
Step 1
Concept
A non-terminating decimal can also be recurring.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(0.\overline{6}\) is non-terminating but rational.
Step 3
Exam Tip
For irrational decimals, non-repetition is also necessary. चरण 1: असांत दशमलव आवर्ती भी हो सकता है। चरण 2: जैसे \(0.\overline{6}\) असांत है, फिर भी परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय के लिए असांत के साथ अनावर्ती होना जरूरी है।
C. हर असांत दशमलव अपरिमेय होता है/Every non-terminating decimal is irrational
Step 1
Concept
Non-terminating decimals can be recurring or non-recurring.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating recurring decimal like \(0.\overline{3}\) is rational.
Step 3
Exam Tip
For an irrational decimal, it must be both non-terminating and non-recurring. चरण 1: असांत दशमलव दो प्रकार के हो सकते हैं, आवर्ती और अनावर्ती। चरण 2: असांत आवर्ती दशमलव जैसे \(0.\overline{3}\) परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय के लिए असांत के साथ अनावर्ती होना भी जरूरी है।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है/The product of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (3), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements with a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका गुणनफल (3) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा वाले कथन को प्रतिउदाहरण से जांचें।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है/The product of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (2), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements with a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका गुणनफल (2) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा वाले कथन को प्रतिउदाहरण से जांचें।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है/The sum of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements using a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा शब्द वाले कथन को एक प्रतिउदाहरण से जांचें।
C. \(\sqrt{169}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{169}\) is irrational
Step 1
Concept
(169) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{169}=13\), which is rational, so calling it irrational is false.
Step 3
Exam Tip
While choosing a false statement, identify perfect squares carefully. चरण 1: (169) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{169}=13\), जो परिमेय है, इसलिए इसे अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: गलत कथन चुनते समय पूर्ण वर्गों को जरूर पहचानें।
C. \(\sqrt{49}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{49}\) is irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{49}=7\).
Step 2
Why this answer is correct
(7) is rational, so saying \(\sqrt{49}\) is irrational is false.
Step 3
Exam Tip
While choosing a false statement, check perfect squares carefully. चरण 1: \(\sqrt{49}=7\) होता है। चरण 2: (7) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{49}\) को अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: गलत कथन चुनते समय पूर्ण वर्गों को जरूर जांचें।
C. हर अपरिमेय संख्या पूर्णांक होती है/Every irrational number is an integer
Step 1
Concept
Irrational numbers are not integers because integers can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
So saying every irrational number is an integer is false.
Step 3
Exam Tip
In false-statement questions, check every option separately. चरण 1: अपरिमेय संख्या पूर्णांक नहीं होती, क्योंकि पूर्णांक \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखे जा सकते हैं। चरण 2: इसलिए हर अपरिमेय संख्या को पूर्णांक कहना गलत है। चरण 3: गलत कथन वाले प्रश्न में हर विकल्प को अलग-अलग जांचें।
\(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a=9) और (b=16) / (a=9) and (b=16). \(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{9+16}=5\) है जबकि \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\) है। परीक्षा में मूल के अंदर के योग को अलग-अलग न तोड़ें।
B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: \(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial rational assumption is proved false. चरण 1: हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। चरण 2: उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। चरण 3: इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
C. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
Thus the assumption of being coprime breaks. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य होने पर साझा गुणनखंड (3) मिलता है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने की मान्यता टूटती है।
In contradiction, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
If the opposite becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
That is why breaking the rational assumption proves irrationality. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। चरण 2: यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। चरण 3: यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
B. \(\sqrt{6}\) परिमेय है/\(\sqrt{6}\) is rational
Step 1
Concept
Suppose \(5-\sqrt{6}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then \(\sqrt{6}=5-\) that rational number so \(\sqrt{6}\) would be rational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs identify the result that clashes with a known fact. चरण 1: मान लें \(5-\sqrt{6}\) परिमेय है। चरण 2: तब \(\sqrt{6}=5-\) वह परिमेय संख्या होगा इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिल जाएगा। चरण 3: विरोधाभास विधि में उस निष्कर्ष को पकड़ें जो ज्ञात तथ्य से टकराता है।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
When blood sugar becomes normal the need for extra insulin decreases.
Step 3
Exam Tip
Therefore insulin secretion should decrease. चरण 1: नकारात्मक पुनर्भरण शरीर में संतुलन बनाए रखता है। चरण 2: जब रक्त शर्करा सामान्य हो जाती है तो अधिक इंसुलिन की जरूरत घट जाती है। चरण 3: इसलिए इंसुलिन स्राव कम होना चाहिए।
A. रक्त शर्करा बढ़ने पर इंसुलिन बढ़ना और शर्करा सामान्य होने पर इंसुलिन घटना/Insulin rises when blood sugar increases and falls when sugar becomes normal
Step 1
Concept
In negative feedback the body reverses a change to maintain balance.
Step 2
Why this answer is correct
When blood sugar rises insulin helps reduce it.
Step 3
Exam Tip
When the level becomes normal insulin secretion decreases to maintain balance. चरण 1: नकारात्मक पुनर्भरण में शरीर बदलाव को उलटकर संतुलन लाता है। चरण 2: रक्त शर्करा बढ़ने पर इंसुलिन उसे कम करने में मदद करता है। चरण 3: सामान्य स्तर आने पर इंसुलिन स्राव घटता है जिससे संतुलन बना रहता है।
C. हर असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय होता है/Every non-terminating non-recurring decimal is rational
Step 1
Concept
Terminating and non-terminating recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating non-recurring decimal is not rational; it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Read the words recurring and non-recurring carefully in statement questions. चरण 1: समाप्त और असमाप्त आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय होता है। चरण 3: कथनों में आवर्ती और अनावर्ती शब्दों को ध्यान से पढ़ें।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so the rational assumption is false. चरण 1: परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: (p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है/\(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial lowest-form statement becomes false. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
After assuming rationality, (p) and (q) were taken coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Finding common factor (3) makes this assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
So the rational assumption is false and \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: साझा गुणनखंड (3) मिलना इस मान्यता को असंभव बनाता है। चरण 3: इसलिए मूल परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. कथन गलत है क्योंकि वे राजनीतिक राष्ट्रवाद से भी गहराई से जुड़ी थीं/The statement is wrong because they were deeply linked with political nationalism
Step 1
Concept
Marianne and Germania were not religious goddesses but national symbols.
Step 2
Why this answer is correct
They were linked with republic unity and liberty.
Step 3
Exam Tip
So understanding them only in a religious sense is wrong. चरण 1: मैरिएन और जर्मेनिया धार्मिक देवी नहीं बल्कि राष्ट्रीय प्रतीक थीं। चरण 2: उनका संबंध गणराज्य एकता और स्वतंत्रता से था। चरण 3: इसलिए उन्हें केवल धार्मिक अर्थ में समझना गलत है।
A. कथन गलत है क्योंकि मैरिएन गणराज्य की प्रतीक थी/The statement is incorrect because Marianne symbolised the Republic
Step 1
Concept
Marianne was linked with the French Republic.
Step 2
Why this answer is correct
Monarchy is linked with hereditary rule.
Step 3
Exam Tip
So calling her a symbol of monarchy is incorrect. चरण 1: मैरिएन फ्रांसीसी गणराज्य से जुड़ी थी। चरण 2: राजशाही वंशानुगत शासन से जुड़ी होती है। चरण 3: इसलिए उसे राजशाही का प्रतीक कहना गलत है।
When the level is high the gland may get a signal to reduce secretion.
Step 3
Exam Tip
This is an example of feedback control. चरण 1: शरीर हार्मोन की मात्रा संतुलित रखता है। चरण 2: अधिक मात्रा होने पर ग्रंथि को स्राव घटाने का संकेत मिल सकता है। चरण 3: यह प्रतिक्रिया नियंत्रण का उदाहरण है।
A. प्रतिक्रिया नियंत्रण द्वारा स्राव घटाकर/By reducing secretion through feedback control
Step 1
Concept
The body tries to keep hormone levels balanced.
Step 2
Why this answer is correct
When the level is high a gland may receive a signal to reduce secretion.
Step 3
Exam Tip
This is understood as feedback control. चरण 1: शरीर हार्मोन की मात्रा को संतुलित रखने की कोशिश करता है। चरण 2: अधिक मात्रा होने पर ग्रंथि को कम स्राव का संकेत मिल सकता है। चरण 3: इसे प्रतिक्रिया नियंत्रण के रूप में समझा जाता है।
