A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे/Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं/They gave universal language of rights but inequalities remained in societies
Step 1
Concept
The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं / They gave universal language of rights but inequalities remained in societies. The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
Step 3
Exam Tip
ज्ञानोदय ने अधिकारों की भाषा दी जिसे अलग समूहों ने अपने संघर्षों में अपनाया। परीक्षा में सार्वभौमिक आदर्श और वास्तविक सीमा लिखें।
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method. चरण 1: विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। चरण 2: फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprimality and a common factor cannot occur together. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। चरण 3: सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते।
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The contradiction is the clash between coprimality and a common factor. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
After this, contradiction is written using common factor (5). चरण 1: प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 3: इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs. चरण 1: परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the clear and correct contradiction. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: यही साफ और सही विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव सिद्ध हो जाए, तो वह गलत है। चरण 3: अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This is impossible for a lowest-form fraction. चरण 1: परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं/(p) and (q) are not coprime
Step 1
Concept
(p=2r) and (q=2s) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
But they were assumed coprime at the start, which is the contradiction. चरण 1: (p=2r) और (q=2s) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। चरण 3: जबकि शुरुआत में उन्हें सहअभाज्य माना गया था, यही विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
So when rationality fails, irrationality is proved. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। चरण 2: यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
This is the final contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही अंतिम विरोधाभास है।
B. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (p) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (q) is also found divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Having common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे/Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
Hence this result gives a contradiction. चरण 1: (a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (a) and (b) are even.
Step 3
Exam Tip
Being coprime and both even is impossible. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप मानते हैं। चरण 2: प्रमाण में (a) और (b) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: सहअभाज्य होकर दोनों सम होना असंभव है।
A. जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं/We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In contradiction, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If it leads to an impossible result, the original statement is proved true.
Step 3
Exam Tip
This method is very useful in irrationality proofs. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि उससे असंभव बात मिलती है, तो मूल कथन सही सिद्ध होता है। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाणों में यह विधि बहुत उपयोगी है।
In contradiction, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
If the opposite becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
That is why breaking the rational assumption proves irrationality. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। चरण 2: यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। चरण 3: यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction. चरण 1: (p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) are taken as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (3), so they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, यानी साझा गुणनखंड (3) है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations. चरण 1: मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। चरण 2: तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें।
A. स्वतंत्रता और समानता के साथ राजनीतिक नियंत्रण और विस्तारवाद भी आया/Liberty and equality came with political control and expansionism
Step 1
Concept
The Revolution gave the message of liberty and equality.
Step 2
Why this answer is correct
Napoleon combined reforms with conquest taxes and control.
Step 3
Exam Tip
In exams, explain this contradiction in a balanced way. चरण 1: क्रांति ने स्वतंत्रता और समानता का संदेश दिया। चरण 2: नेपोलियन ने सुधारों के साथ विजय कर और नियंत्रण भी बढ़ाए। चरण 3: परीक्षा में इस विरोधाभास को संतुलित ढंग से लिखें।
A. क्योंकि उसने समान कानून फैलाए लेकिन फ्रांसीसी प्रभुत्व भी बढ़ाया/Because it spread uniform laws but also increased French domination
Step 1
Concept
The Code spread legal equality and administrative reforms.
Step 2
Why this answer is correct
But it came with French control in many regions.
Step 3
Exam Tip
A good answer should show both reform and domination. चरण 1: संहिता ने कानून की समानता और प्रशासनिक सुधारों को फैलाया। चरण 2: लेकिन यह कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी नियंत्रण के साथ आई। चरण 3: उत्तर में सुधार और प्रभुत्व दोनों पक्ष दिखाने चाहिए।
A. स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया/External control was sometimes imposed in the name of liberty
Step 1
Concept
French ideas spoke of liberty.
Step 2
Why this answer is correct
But in many territories French rule appeared as external control.
Step 3
Exam Tip
So it is important to understand the contradiction between liberation and domination. चरण 1: फ्रांसीसी विचार स्वतंत्रता की बात करते थे। चरण 2: पर कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी शासन बाहरी नियंत्रण जैसा लगा। चरण 3: इसलिए राष्ट्रवाद में मुक्ति और प्रभुत्व का विरोधाभास समझना जरूरी है।
A. स्वतंत्रता की बात करने वाली राजनीति भी महिलाओं को बराबर स्थान नहीं दे रही थी/Politics speaking of liberty still did not give women equal place
Step 1
Concept
The parliament symbolized liberal and national ideas.
Step 2
Why this answer is correct
Yet women were not given equal right to be representatives.
Step 3
Exam Tip
Remember it as a social limitation of liberal nationalism. चरण 1: संसद उदार और राष्ट्रीय विचारों का प्रतीक थी। चरण 2: फिर भी महिलाओं को प्रतिनिधि बनने का समान अधिकार नहीं दिया गया। चरण 3: इसे उदार राष्ट्रवाद की सामाजिक सीमा के रूप में याद रखें।
A. क्रांति हुई पर शासन फिर भी राजतंत्र के रूप में रहा/A revolution happened but rule still remained monarchical
Step 1
Concept
The July Revolution removed Charles X.
Step 2
Why this answer is correct
Yet rule continued as monarchy under Louis Philippe.
Step 3
Exam Tip
This shows that liberal change did not always create full democracy. चरण 1: जुलाई क्रांति ने चार्ल्स दसवें को हटाया। चरण 2: पर उसके बाद लुई फिलिप के अधीन राजतंत्र ही रहा। चरण 3: यह दिखाता है कि उदार बदलाव हमेशा पूर्ण लोकतंत्र नहीं लाते।
A. समानता की भाषा और सीमित राजनीतिक अधिकारों का विरोधाभास/The contradiction between language of equality and limited political rights
Step 1
Concept
Liberalism spoke of equal rights.
Step 2
Why this answer is correct
Property-based suffrage excluded the poor and women.
Step 3
Exam Tip
Thus there was a contradiction between idea and practice. चरण 1: उदारवाद समान अधिकारों की बात करता था। चरण 2: संपत्ति आधारित मताधिकार ने गरीबों और महिलाओं को बाहर रखा। चरण 3: इसलिए विचार और व्यवहार में विरोधाभास था।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity fact is very important in the proof. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) must be even. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस तरह (p) सम होना तय है।
The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (660). The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
Step 3
Exam Tip
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: (p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Do not stop the proof midway; write until the final conflict. चरण 1: \(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। चरण 2: पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें।
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So the lowest-form condition fails. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted. चरण 1: दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: (p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। चरण 3: यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) के सहअभाज्य होने से/The coprime nature of (p) and (q)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore it directly contradicts their being coprime. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: इसलिए यह सीधे सहअभाज्य होने से टकराता है।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है/The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है।
A. बसाहटी अल्पसंख्यक स्वतंत्रता दावा और अफ्रीकी बहुसंख्यक शासन की मांग का टकराव/Clash between settler minority independence claim and African majority rule demand
Step 1
Concept
In Rhodesia the question of independence was linked with majority rights. For exams remember Zimbabwe context.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बसाहटी अल्पसंख्यक स्वतंत्रता दावा और अफ्रीकी बहुसंख्यक शासन की मांग का टकराव / Clash between settler minority independence claim and African majority rule demand. In Rhodesia the question of independence was linked with majority rights. For exams remember Zimbabwe context.
Step 3
Exam Tip
रोडेशिया में स्वतंत्रता का प्रश्न बहुसंख्यक अधिकार से जुड़ा था। परीक्षा में जिम्बाब्वे संदर्भ याद रखें।
A. शासन के लिए बनाई शिक्षा ने शासन की आलोचना की भाषा भी दी/Education made for rule also gave the language to criticize rule
Step 1
Concept
Colonial education produced both administrative workers and critical leadership. For exams remember the educated middle class.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शासन के लिए बनाई शिक्षा ने शासन की आलोचना की भाषा भी दी / Education made for rule also gave the language to criticize rule. Colonial education produced both administrative workers and critical leadership. For exams remember the educated middle class.
Step 3
Exam Tip
औपनिवेशिक शिक्षा ने प्रशासनिक कर्मचारी और आलोचनात्मक नेतृत्व दोनों बनाए। परीक्षा में शिक्षित मध्यवर्ग याद रखें।
A. बुनियादी ढांचा अक्सर स्थानीय कल्याण से अधिक निर्यात और नियंत्रण के लिए बनाया गया/Infrastructure was often built more for export and control than local welfare
Step 1
Concept
Colonial development should be judged by its purpose and beneficiaries. For exams connect railways ports and mines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बुनियादी ढांचा अक्सर स्थानीय कल्याण से अधिक निर्यात और नियंत्रण के लिए बनाया गया / Infrastructure was often built more for export and control than local welfare. Colonial development should be judged by its purpose and beneficiaries. For exams connect railways ports and mines.
Step 3
Exam Tip
औपनिवेशिक विकास को उसके उद्देश्य और लाभार्थी से परखना चाहिए। परीक्षा में रेल बंदरगाह और खदानें जोड़ें।
A. कानून व्यवस्था घोषित होती थी पर अधिकार और दंड में नस्ली या प्रशासनिक भेद रह सकता था/Rule of law was declared but rights and punishments could remain racially or administratively unequal
Step 1
Concept
Colonial law was a tool of both control and legitimacy. For exams understand the difference between law and justice.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कानून व्यवस्था घोषित होती थी पर अधिकार और दंड में नस्ली या प्रशासनिक भेद रह सकता था / Rule of law was declared but rights and punishments could remain racially or administratively unequal. Colonial law was a tool of both control and legitimacy. For exams understand the difference between law and justice.
Step 3
Exam Tip
औपनिवेशिक कानून नियंत्रण और वैधता दोनों का साधन था। परीक्षा में कानून और न्याय का अंतर समझें।
A. सभ्यता और व्यापार की भाषा के पीछे अफ्रीकी क्षेत्रों पर यूरोपीय दावा बढ़ा/European claims over African territories increased behind language of civilization and trade
Step 1
Concept
The Berlin Conference showed power inequality and lack of representation. For exams add the legacy of African borders.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभ्यता और व्यापार की भाषा के पीछे अफ्रीकी क्षेत्रों पर यूरोपीय दावा बढ़ा / European claims over African territories increased behind language of civilization and trade. The Berlin Conference showed power inequality and lack of representation. For exams add the legacy of African borders.
Step 3
Exam Tip
बर्लिन सम्मेलन ने शक्ति असमानता और प्रतिनिधित्व की कमी दिखायी। परीक्षा में अफ्रीकी सीमाओं की विरासत जोड़ें।
A. अंतरराष्ट्रीय भाषा के बावजूद वास्तविक प्रशासन बाहरी शक्तियों के हाथ रहा/Despite international language actual administration remained with outside powers
Step 1
Concept
The mandate system continued old control in a new form. For exams remember post World War I order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अंतरराष्ट्रीय भाषा के बावजूद वास्तविक प्रशासन बाहरी शक्तियों के हाथ रहा / Despite international language actual administration remained with outside powers. The mandate system continued old control in a new form. For exams remember post World War I order.
Step 3
Exam Tip
मंडेट प्रणाली ने पुराने नियंत्रण को नए रूप में जारी रखा। परीक्षा में प्रथम विश्व युद्ध बाद की व्यवस्था याद रखें।
A. खनिज लाभ के साथ भूमि क्षति विस्थापन और श्रम शोषण जुड़ा था/Mineral profit was linked with land damage displacement and labour exploitation
Step 1
Concept
Mining is a major example of colonial resource extraction. For exams write both environment and society.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. खनिज लाभ के साथ भूमि क्षति विस्थापन और श्रम शोषण जुड़ा था / Mineral profit was linked with land damage displacement and labour exploitation. Mining is a major example of colonial resource extraction. For exams write both environment and society.
Step 3
Exam Tip
खनन औपनिवेशिक संसाधन दोहन का प्रमुख उदाहरण है। परीक्षा में पर्यावरण और समाज दोनों लिखें।
A. स्थानीय जन्मे यूरोपीय मूल के अभिजात वर्ग ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी/Locally born elites of European origin challenged Spanish authority
Step 1
Concept
Creole leadership showed power struggle within colonial society. For exams remember Bolivar and San Martin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थानीय जन्मे यूरोपीय मूल के अभिजात वर्ग ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी / Locally born elites of European origin challenged Spanish authority. Creole leadership showed power struggle within colonial society. For exams remember Bolivar and San Martin.
Step 3
Exam Tip
क्रिओल नेतृत्व ने औपनिवेशिक समाज के भीतर सत्ता संघर्ष दिखाया। परीक्षा में बोलिवार और सान मार्टिन याद रखें।
A. स्थानीय जन्मे यूरोपीय मूल के अभिजात वर्ग ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी/Locally born elites of European origin challenged Spanish authority
Step 1
Concept
Creole leadership showed tensions within colonial power. For exams remember Bolivar and San Martin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थानीय जन्मे यूरोपीय मूल के अभिजात वर्ग ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी / Locally born elites of European origin challenged Spanish authority. Creole leadership showed tensions within colonial power. For exams remember Bolivar and San Martin.
Step 3
Exam Tip
क्रिओल नेतृत्व ने औपनिवेशिक सत्ता के भीतर मौजूद तनाव दिखाया। परीक्षा में बोलिवार और सान मार्टिन याद रखें।
A. आत्मनिर्णय की भाषा थी पर प्रशासन बाहरी शक्तियों के पास रहा/The language of self determination existed but administration remained with outside powers
Step 1
Concept
The mandate system continued control in new international language. For exams remember League of Nations and post World War I.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आत्मनिर्णय की भाषा थी पर प्रशासन बाहरी शक्तियों के पास रहा / The language of self determination existed but administration remained with outside powers. The mandate system continued control in new international language. For exams remember League of Nations and post World War I.
Step 3
Exam Tip
मंडेट प्रणाली ने नियंत्रण को नए अंतरराष्ट्रीय शब्दों में जारी रखा। परीक्षा में राष्ट्र संघ और प्रथम विश्व युद्ध बाद याद रखें।
A. आत्मनिर्णय की बात हुई लेकिन बाहरी प्रशासन जारी रहा/Self determination was discussed but outside administration continued
Step 1
Concept
The mandate system continued imperial control under a new name. For exams remember League of Nations and post World War I.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आत्मनिर्णय की बात हुई लेकिन बाहरी प्रशासन जारी रहा / Self determination was discussed but outside administration continued. The mandate system continued imperial control under a new name. For exams remember League of Nations and post World War I.
Step 3
Exam Tip
मंडेट प्रणाली ने साम्राज्यवादी नियंत्रण को नए नाम से जारी रखा। परीक्षा में राष्ट्र संघ और प्रथम विश्व युद्ध बाद याद रखें।
C. आत्मनिर्णय की बात हुई पर उपनिवेशों में साम्राज्यवादी हित बने रहे/Self determination was discussed but imperial interests continued in colonies
Step 1
Concept
The Versailles order had a gap between ideals and power politics. For exams remember limits of Wilson's principles.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. आत्मनिर्णय की बात हुई पर उपनिवेशों में साम्राज्यवादी हित बने रहे / Self determination was discussed but imperial interests continued in colonies. The Versailles order had a gap between ideals and power politics. For exams remember limits of Wilson's principles.
Step 3
Exam Tip
वर्साय व्यवस्था में आदर्श और शक्ति राजनीति का अंतर था। परीक्षा में विल्सन के सिद्धांतों की सीमा याद रखें।
A. यूरोपीय स्वतंत्रता आदर्श उपनिवेशों में दासता के साथ मौजूद थे/European liberty ideals coexisted with slavery in colonies
Step 1
Concept
The Haitian Revolution linked slave revolt with independent state formation. For exams distinguish it among Atlantic revolutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यूरोपीय स्वतंत्रता आदर्श उपनिवेशों में दासता के साथ मौजूद थे / European liberty ideals coexisted with slavery in colonies. The Haitian Revolution linked slave revolt with independent state formation. For exams distinguish it among Atlantic revolutions.
Step 3
Exam Tip
हैती क्रांति ने दास विद्रोह को स्वतंत्र राज्य निर्माण से जोड़ा। परीक्षा में इसे अटलांटिक क्रांतियों में अलग पहचानें।
A. राज्य स्थिरता स्वीकार हुई पर नागरिक अधिकारों पर भी निगरानी बढ़ी/State stability was accepted but scrutiny of civil rights also increased
Step 1
Concept
Helsinki connected detente with human rights. For exams remember moral pressure on the Eastern bloc.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. राज्य स्थिरता स्वीकार हुई पर नागरिक अधिकारों पर भी निगरानी बढ़ी / State stability was accepted but scrutiny of civil rights also increased. Helsinki connected detente with human rights. For exams remember moral pressure on the Eastern bloc.
Step 3
Exam Tip
हेलसिंकी ने डिटांट और मानवाधिकार दोनों को जोड़ा। परीक्षा में पूर्वी ब्लॉक पर नैतिक दबाव याद रखें।
A. आर्थिक क्षेत्रीय एकीकरण के भीतर राष्ट्रीय नियंत्रण की मांग बनी रही/Demand for national control remained within economic regional integration
Step 1
Concept
Brexit intensified debate on national identity and regional integration. For exams connect it with modern Europe.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आर्थिक क्षेत्रीय एकीकरण के भीतर राष्ट्रीय नियंत्रण की मांग बनी रही / Demand for national control remained within economic regional integration. Brexit intensified debate on national identity and regional integration. For exams connect it with modern Europe.
Step 3
Exam Tip
ब्रेक्सिट ने राष्ट्रीय पहचान और क्षेत्रीय एकीकरण की बहस को तेज किया। परीक्षा में इसे आधुनिक यूरोप से जोड़ें।
A. सुधार की इच्छा थी पर मॉस्को नियंत्रण ने स्वतंत्र प्रयोग सीमित किया/There was desire for reform but Moscow control limited independent experiment
Step 1
Concept
Prague Spring exposed the limits of independent reform. For exams connect it with the Brezhnev Doctrine.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सुधार की इच्छा थी पर मॉस्को नियंत्रण ने स्वतंत्र प्रयोग सीमित किया / There was desire for reform but Moscow control limited independent experiment. Prague Spring exposed the limits of independent reform. For exams connect it with the Brezhnev Doctrine.
Step 3
Exam Tip
प्राग स्प्रिंग ने स्वतंत्र सुधार की सीमा उजागर की। परीक्षा में इसे ब्रेझनेव सिद्धांत से जोड़ें।
A. सामाजिक उपलब्धियों और राजनीतिक स्वतंत्रता की सीमाओं के साथ/With social achievements and limits on political freedom
Step 1
Concept
Castro's social policies were praised but political control was criticized. For exams make a balanced evaluation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सामाजिक उपलब्धियों और राजनीतिक स्वतंत्रता की सीमाओं के साथ / With social achievements and limits on political freedom. Castro's social policies were praised but political control was criticized. For exams make a balanced evaluation.
Step 3
Exam Tip
कास्त्रो शासन की सामाजिक नीतियों की प्रशंसा हुई पर राजनीतिक नियंत्रण की आलोचना भी हुई। परीक्षा में संतुलित मूल्यांकन करें।
A. उन्हें दंडित किया गया लेकिन बाद में राष्ट्रीय नायिका और संत के रूप में सम्मान मिला/She was punished but later honored as national heroine and saint
Step 1
Concept
Joan of Arc's life is linked with politics religion and national memory. Exam tip: connect her with the Hundred Years' War.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उन्हें दंडित किया गया लेकिन बाद में राष्ट्रीय नायिका और संत के रूप में सम्मान मिला / She was punished but later honored as national heroine and saint. Joan of Arc's life is linked with politics religion and national memory. Exam tip: connect her with the Hundred Years' War.
Step 3
Exam Tip
जोआन ऑफ आर्क का जीवन राजनीति धर्म और राष्ट्रीय स्मृति से जुड़ा है। परीक्षा में उन्हें सौ वर्षीय युद्ध से जोड़ें।
A. विचारों में सुधारवाद था पर सत्ता केंद्रीकृत रही/Ideas showed reformism but power remained centralized
Step 1
Concept
Catherine was influenced by Enlightenment but absolute rule continued. Exam tip: understand enlightened absolutism.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विचारों में सुधारवाद था पर सत्ता केंद्रीकृत रही / Ideas showed reformism but power remained centralized. Catherine was influenced by Enlightenment but absolute rule continued. Exam tip: understand enlightened absolutism.
Step 3
Exam Tip
कैथरीन महान प्रबोधन से प्रभावित थीं लेकिन निरंकुश शासन जारी रहा। परीक्षा में प्रबुद्ध निरंकुशता समझें।
A. महाद्वीपीय मुक्ति की भाषा के साथ घरेलू सत्ता केंद्रीकरण/Language of continental liberation with domestic centralization of power
Step 1
Concept
Nkrumah supported African unity but was criticized for domestic centralization. For exams see both ideals and style of rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. महाद्वीपीय मुक्ति की भाषा के साथ घरेलू सत्ता केंद्रीकरण / Language of continental liberation with domestic centralization of power. Nkrumah supported African unity but was criticized for domestic centralization. For exams see both ideals and style of rule.
Step 3
Exam Tip
नक्रूमा अफ्रीकी एकता के समर्थक थे पर घरेलू सत्ता केंद्रीकरण पर आलोचना हुई। परीक्षा में आदर्श और शासन शैली दोनों देखें।
A. वह सुधार की भाषा अपनाती थीं पर किसान दासता बनी रही/She used the language of reform but serfdom remained
Step 1
Concept
Catherine's rule shows the limits of enlightened absolutism. For exams write the gap between ideas and social reality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह सुधार की भाषा अपनाती थीं पर किसान दासता बनी रही / She used the language of reform but serfdom remained. Catherine's rule shows the limits of enlightened absolutism. For exams write the gap between ideas and social reality.
Step 3
Exam Tip
कैथरीन का शासन प्रबुद्ध निरंकुशता की सीमाएं दिखाता है। परीक्षा में विचार और सामाजिक वास्तविकता का अंतर लिखें।
A. घरेलू सामाजिक सुधार और महंगा विदेशी युद्ध साथ-साथ/Domestic social reform and costly foreign war together
Step 1
Concept
Johnson made social reforms but the Vietnam War made his rule controversial. For exams remember both domestic and foreign policy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. घरेलू सामाजिक सुधार और महंगा विदेशी युद्ध साथ-साथ / Domestic social reform and costly foreign war together. Johnson made social reforms but the Vietnam War made his rule controversial. For exams remember both domestic and foreign policy.
Step 3
Exam Tip
जॉनसन ने सामाजिक सुधार किए पर वियतनाम युद्ध ने उनके शासन को विवादित बनाया। परीक्षा में घरेलू और विदेशी नीति दोनों याद रखें।
A. महिला नेतृत्व का उदय और अस्थिर लोकतांत्रिक राजनीति साथ-साथ/Rise of women leadership and unstable democratic politics together
Step 1
Concept
Benazir Bhutto was linked with both women's leadership and complex politics of Pakistan. For exams remember a balanced context.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. महिला नेतृत्व का उदय और अस्थिर लोकतांत्रिक राजनीति साथ-साथ / Rise of women leadership and unstable democratic politics together. Benazir Bhutto was linked with both women's leadership and complex politics of Pakistan. For exams remember a balanced context.
Step 3
Exam Tip
बेनजीर भुट्टो महिला नेतृत्व और पाकिस्तान की जटिल राजनीति दोनों से जुड़ी थीं। परीक्षा में संतुलित संदर्भ याद रखें।
A. औद्योगिक प्रगति और सामाजिक असमानताओं का साथ-साथ बढ़ना/Industrial progress and social inequalities growing together
Step 1
Concept
The Victorian Age saw progress along with worker and social problems. For exams understand the age in a balanced way.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. औद्योगिक प्रगति और सामाजिक असमानताओं का साथ-साथ बढ़ना / Industrial progress and social inequalities growing together. The Victorian Age saw progress along with worker and social problems. For exams understand the age in a balanced way.
Step 3
Exam Tip
विक्टोरियन युग में प्रगति के साथ श्रमिक और सामाजिक समस्याएं भी बढ़ीं। परीक्षा में युग को संतुलित दृष्टि से समझें।
B. कानूनी समानता और वास्तविक शक्ति राजनीति का मिश्रण/A mixture of legal equality and real power politics
Step 1
Concept
The Charter accepts equality of states but also gives special power to permanent members. For exams write both idealism and power politics.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कानूनी समानता और वास्तविक शक्ति राजनीति का मिश्रण / A mixture of legal equality and real power politics. The Charter accepts equality of states but also gives special power to permanent members. For exams write both idealism and power politics.
Step 3
Exam Tip
चार्टर सभी राज्यों की समानता मानता है पर स्थायी सदस्यों को विशेष शक्ति भी देता है। परीक्षा में आदर्शवाद और शक्ति राजनीति दोनों लिखें।
A. फ्रांस ने अधिकारों की बात की पर उपनिवेशी दासता तुरंत समाप्त नहीं हुई/France spoke of rights but colonial slavery did not end immediately
Step 1
Concept
There was a contradiction between the language of rights and the reality of slavery. For exams treat Haiti as a test of French ideals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. फ्रांस ने अधिकारों की बात की पर उपनिवेशी दासता तुरंत समाप्त नहीं हुई / France spoke of rights but colonial slavery did not end immediately. There was a contradiction between the language of rights and the reality of slavery. For exams treat Haiti as a test of French ideals.
Step 3
Exam Tip
अधिकारों की भाषा और दासता की वास्तविकता में विरोध था। परीक्षा में हैती को फ्रांसीसी आदर्शों की परीक्षा मानें।
B. सभ्यता और संरक्षकता की भाषा के साथ बाहरी नियंत्रण जारी रहा/External control continued with the language of civilization and trusteeship
Step 1
Concept
The mandate system showed tension between self-determination and control. For exams read ideal language and real power separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सभ्यता और संरक्षकता की भाषा के साथ बाहरी नियंत्रण जारी रहा / External control continued with the language of civilization and trusteeship. The mandate system showed tension between self-determination and control. For exams read ideal language and real power separately.
Step 3
Exam Tip
मंडेट प्रणाली ने आत्मनिर्णय और नियंत्रण के बीच तनाव दिखाया। परीक्षा में आदर्श शब्दों और वास्तविक शक्ति को अलग पढ़ें।
A. उसने अमेरिका को कमजोर किया पर उसे पूर्ण युद्ध में भी ला दिया/It weakened the USA but also brought it into full war
Step 1
Concept
The attack caused immediate damage but brought America's huge power into war. For exams separate short-term and long-term results.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उसने अमेरिका को कमजोर किया पर उसे पूर्ण युद्ध में भी ला दिया / It weakened the USA but also brought it into full war. The attack caused immediate damage but brought America's huge power into war. For exams separate short-term and long-term results.
Step 3
Exam Tip
हमले ने तत्काल नुकसान किया लेकिन अमेरिका की विशाल शक्ति युद्ध में उतर आई। परीक्षा में अल्पकालीन और दीर्घकालीन परिणाम अलग करें।
A. तुष्टीकरण रियायत पर और सामूहिक सुरक्षा संयुक्त रोक पर आधारित थी/Appeasement relied on concessions while collective security relied on joint resistance
Step 1
Concept
Appeasement tried to pacify aggression while collective security tried to resist it. For exams identify the aim of each policy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुष्टीकरण रियायत पर और सामूहिक सुरक्षा संयुक्त रोक पर आधारित थी / Appeasement relied on concessions while collective security relied on joint resistance. Appeasement tried to pacify aggression while collective security tried to resist it. For exams identify the aim of each policy.
Step 3
Exam Tip
तुष्टीकरण ने आक्रामकता को शांत करने की कोशिश की जबकि सामूहिक सुरक्षा रोक लगाने की। परीक्षा में नीति का लक्ष्य पहचानें।
A. स्वतंत्रता की भाषा के साथ जापानी प्रभुत्व और संसाधन नियंत्रण जुड़ा था/Language of liberation was linked with Japanese domination and resource control
Step 1
Concept
Japan used the language of Asian liberation but in practice imperial control remained. For exams separate propaganda from actual policy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वतंत्रता की भाषा के साथ जापानी प्रभुत्व और संसाधन नियंत्रण जुड़ा था / Language of liberation was linked with Japanese domination and resource control. Japan used the language of Asian liberation but in practice imperial control remained. For exams separate propaganda from actual policy.
Step 3
Exam Tip
जापान ने एशियाई मुक्ति की भाषा प्रयोग की पर व्यवहार में साम्राज्यवादी नियंत्रण रहा। परीक्षा में प्रचार और वास्तविक नीति अलग करें।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे / Both (p) and (q) will be divisible by (5). From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Both (p) and (q) become divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3). From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें।
A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम/\(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है।
A. क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय पूर्णांक है/Because \(\sqrt{4}=2\) is a rational integer
Step 1
Concept
(4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), which is rational and an integer.
Step 3
Exam Tip
The irrationality contradiction proof is not applied to perfect squares. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय और पूर्णांक है। चरण 3: अपरिमेयता का विरोधाभास प्रमाण पूर्ण वर्गों पर नहीं लगाया जाता।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
So write the fraction in lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। चरण 2: सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें।
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
So it contradicts their being coprime. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है।
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें/When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
In such proofs, finding a common factor creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है।
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
A. स्त्री राष्ट्र की प्रतीक बनी पर वास्तविक महिलाओं के अधिकार सीमित रहे/Women became symbols of the nation but real women had limited rights
Step 1
Concept
Female figures were widely used in nationalist images.
Step 2
Why this answer is correct
At the same time women's political participation was limited in many societies.
Step 3
Exam Tip
This shows a gap between symbol and real life. चरण 1: राष्ट्रवादी चित्रों में नारी आकृति बहुत दिखाई गई। चरण 2: उसी समय अनेक समाजों में महिलाओं की राजनीतिक भागीदारी सीमित थी। चरण 3: यह प्रतीक और वास्तविक जीवन के बीच अंतर दिखाता है।
A. स्त्री आकृति राष्ट्र का प्रतीक बनी पर राजनीति में महिलाओं की भागीदारी सीमित रही/Women symbolised the nation but their political participation remained limited
Step 1
Concept
The nation was often shown in female form.
Step 2
Why this answer is correct
But real women had limited political rights at that time.
Step 3
Exam Tip
This shows a gap between symbol and social reality. चरण 1: राष्ट्र को अक्सर स्त्री रूप में दिखाया गया। चरण 2: पर उस समय वास्तविक महिलाओं के राजनीतिक अधिकार सीमित थे। चरण 3: यह प्रतीक और वास्तविक समाज के बीच अंतर दिखाता है।
A. मुक्ति के आदर्श और सैन्य नियंत्रण के बोझ के बीच अंतर/The gap between ideals of liberation and burdens of military control
Step 1
Concept
At first, people were influenced by ideas of freedom.
Step 2
Why this answer is correct
Later, taxes conscription and control created trouble.
Step 3
Exam Tip
This shows that revolutionary ideals and ruling reality can differ. चरण 1: शुरुआत में लोग स्वतंत्रता के विचार से प्रभावित थे। चरण 2: बाद में कर सैनिक भर्ती और नियंत्रण ने परेशानी बढ़ाई। चरण 3: यह दिखाता है कि क्रांतिकारी आदर्श और शासन की वास्तविकता अलग हो सकती है।
