A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity fact is very important in the proof. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है।
A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Hence (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना निश्चित है।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) must be even. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस तरह (p) सम होना तय है।
A. दृश्य ध्यान पृष्ठभूमि में भटक सकता है/Visual attention may wander to the background
Step 1
Concept
Controlling background lines protects the main subject. Exam tip: remember visual hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दृश्य ध्यान पृष्ठभूमि में भटक सकता है / Visual attention may wander to the background. Controlling background lines protects the main subject. Exam tip: remember visual hierarchy.
Step 3
Exam Tip
पृष्ठभूमि रेखाओं का नियंत्रण मुख्य विषय को बचाता है। परीक्षा में दृश्य पदानुक्रम याद रखें।
A. वे मुख्य विषय से कम ध्यान खींचती हैं/They attract less attention than main subject
Step 1
Concept
Light background lines remain supportive. Exam tip: give less emphasis to background lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे मुख्य विषय से कम ध्यान खींचती हैं / They attract less attention than main subject. Light background lines remain supportive. Exam tip: give less emphasis to background lines.
Step 3
Exam Tip
हल्की पृष्ठभूमि रेखाएं सहायक रहती हैं। परीक्षा में background lines को कम जोर दें।
A. मुख्य विषय फिर भी कमजोर दिख सकता है/Main subject may still look weak
Step 1
Concept
Focus also needs contrast within the subject. Exam tip: check focal contrast.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मुख्य विषय फिर भी कमजोर दिख सकता है / Main subject may still look weak. Focus also needs contrast within the subject. Exam tip: check focal contrast.
Step 3
Exam Tip
केंद्र के लिए स्वयं विषय में भी विरोध चाहिए। परीक्षा में focal contrast जांचें।
The correct answer is A. स्थानिक स्तरों में मान रंग या विवरण का भाव अंतर जोड़ना / Add mood difference through value colour or detail in spatial layers. Mood difference in layers clarifies visual story. Exam tip: observe foreground-background treatment.
Step 3
Exam Tip
स्तरों का भाव अंतर दृश्य कथा को स्पष्ट करता है। परीक्षा में foreground background treatment देखें।
C. पृष्ठभूमि केंद्र से प्रतिस्पर्धा करेगी/Background will compete with focus
Step 1
Concept
Rough active background attracts attention. Exam tip: observe texture hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पृष्ठभूमि केंद्र से प्रतिस्पर्धा करेगी / Background will compete with focus. Rough active background attracts attention. Exam tip: observe texture hierarchy.
Step 3
Exam Tip
खुरदरी सक्रिय पृष्ठभूमि ध्यान खींचती है। परीक्षा में texture hierarchy देखें।
B. दूरी संकेत उलझ सकता है/Distance cue may become confusing
Step 1
Concept
Generally near objects are clearer. Exam tip: observe foreground background clarity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दूरी संकेत उलझ सकता है / Distance cue may become confusing. Generally near objects are clearer. Exam tip: observe foreground background clarity.
Step 3
Exam Tip
सामान्यतः पास वस्तु अधिक स्पष्ट होती है। परीक्षा में foreground background clarity देखें।
C. मुख्य विषय दब सकता है/Main subject may be suppressed
Step 1
Concept
Overactive background distracts from focus. Exam tip: keep background hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. मुख्य विषय दब सकता है / Main subject may be suppressed. Overactive background distracts from focus. Exam tip: keep background hierarchy.
Step 3
Exam Tip
अत्यधिक सक्रिय पृष्ठभूमि केंद्र से ध्यान हटाती है। परीक्षा में background hierarchy रखें।
B. पृष्ठभूमि बनावट को शांत करके विषय का विरोध बढ़ाना/Calm background texture and increase subject contrast
Step 1
Concept
Supportive background highlights the focus. Exam tip: keep texture hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पृष्ठभूमि बनावट को शांत करके विषय का विरोध बढ़ाना / Calm background texture and increase subject contrast. Supportive background highlights the focus. Exam tip: keep texture hierarchy.
Step 3
Exam Tip
सहायक पृष्ठभूमि केंद्र को उभारती है। परीक्षा में texture hierarchy रखें।
A. दृश्य संघर्ष और मानसिक तनाव/Visual conflict and mental tension
Step 1
Concept
Opposing directions can create tension. Exam tip: connect direction contrast with meaning.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दृश्य संघर्ष और मानसिक तनाव / Visual conflict and mental tension. Opposing directions can create tension. Exam tip: connect direction contrast with meaning.
Step 3
Exam Tip
विरोधी दिशाएं तनाव का भाव बना सकती हैं। परीक्षा में direction contrast को अर्थ से जोड़ें।
A. पृष्ठभूमि केंद्र से प्रतिस्पर्धा करेगी/Background will compete with focus
Step 1
Concept
Rough active background can attract attention. Exam tip: observe texture hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पृष्ठभूमि केंद्र से प्रतिस्पर्धा करेगी / Background will compete with focus. Rough active background can attract attention. Exam tip: observe texture hierarchy.
Step 3
Exam Tip
खुरदरी सक्रिय पृष्ठभूमि ध्यान खींच सकती है। परीक्षा में texture hierarchy देखें।
A. जब चमकीले मुख्य विषय को बिना शोर उभारना हो/When a bright main subject must stand out without noise
Step 1
Concept
Neutral background highlights main colour and gives visual rest. Exam tip: understand support role of colour.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब चमकीले मुख्य विषय को बिना शोर उभारना हो / When a bright main subject must stand out without noise. Neutral background highlights main colour and gives visual rest. Exam tip: understand support role of colour.
Step 3
Exam Tip
तटस्थ पृष्ठभूमि मुख्य रंग को उभारकर दृश्य आराम देती है। परीक्षा में सहायक रंग की भूमिका समझें।
B. पृष्ठभूमि का दृश्य भार मुख्य विषय से अधिक है/Background has more visual weight than the main subject
Step 1
Concept
A very active background takes attention away from focal point. Exam tip: keep background supportive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पृष्ठभूमि का दृश्य भार मुख्य विषय से अधिक है / Background has more visual weight than the main subject. A very active background takes attention away from focal point. Exam tip: keep background supportive.
Step 3
Exam Tip
अधिक सक्रिय पृष्ठभूमि केंद्र बिंदु से ध्यान हटाती है। परीक्षा में पृष्ठभूमि को सहायक रखना याद रखें।
A. दूरी संकेत उलझ सकता है/Distance cue may become confusing
Step 1
Concept
Usually near object is clearer. Exam tip: observe foreground background clarity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूरी संकेत उलझ सकता है / Distance cue may become confusing. Usually near object is clearer. Exam tip: observe foreground background clarity.
Step 3
Exam Tip
सामान्यतः पास वस्तु अधिक स्पष्ट होती है। परीक्षा में foreground background clarity देखें।
A. मुख्य विषय दब जाएगा/Main subject will be suppressed
Step 1
Concept
Control of background intensity is necessary. Exam tip: keep background hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मुख्य विषय दब जाएगा / Main subject will be suppressed. Control of background intensity is necessary. Exam tip: keep background hierarchy.
Step 3
Exam Tip
पृष्ठभूमि का तीव्रता नियंत्रण जरूरी है। परीक्षा में background hierarchy रखें।
A. पृष्ठभूमि पैटर्न की तीव्रता घटाना/Reduce intensity of background pattern
Step 1
Concept
A supporting background highlights focus. Exam tip: identify background competition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पृष्ठभूमि पैटर्न की तीव्रता घटाना / Reduce intensity of background pattern. A supporting background highlights focus. Exam tip: identify background competition.
Step 3
Exam Tip
सहायक पृष्ठभूमि केंद्र को उभारती है। परीक्षा में background competition पहचानें।
A. मुख्य विषय पृष्ठभूमि में दब सकता है/Main subject may be suppressed by background
Step 1
Concept
If background is more active the focus weakens. Exam tip: observe texture hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मुख्य विषय पृष्ठभूमि में दब सकता है / Main subject may be suppressed by background. If background is more active the focus weakens. Exam tip: observe texture hierarchy.
Step 3
Exam Tip
पृष्ठभूमि अधिक सक्रिय हो तो केंद्र कमजोर होता है। परीक्षा में texture hierarchy देखें।
The correct answer is A. मुख्य विषय को समर्थन देना और उससे प्रतिस्पर्धा न करना / Support main subject and not compete with it. Supportive background clarifies focal point. Exam tip: write background hierarchy.
Step 3
Exam Tip
सहायक पृष्ठभूमि केंद्र बिंदु को स्पष्ट करती है। परीक्षा में background hierarchy लिखें।
The correct answer is A. पृष्ठभूमि बनावट कम करके विषय का विरोध बढ़ाना / Reduce background texture and increase subject contrast. Keeping background supportive clarifies focal point. Exam tip: remember texture hierarchy.
Step 3
Exam Tip
पृष्ठभूमि को सहायक रखना केंद्र बिंदु स्पष्ट करता है। परीक्षा में texture hierarchy याद रखें।
A. वह चमकीले विषय को दृश्य आराम के साथ उभार सकती है/It can highlight bright subject with visual rest
Step 1
Concept
Neutral background highlights the main colour. Exam tip: remember neutral support role.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह चमकीले विषय को दृश्य आराम के साथ उभार सकती है / It can highlight bright subject with visual rest. Neutral background highlights the main colour. Exam tip: remember neutral support role.
Step 3
Exam Tip
तटस्थ पृष्ठभूमि मुख्य रंग को उभारती है। परीक्षा में neutral support role याद रखें।
A. मुख्य विषय में स्पष्ट रेखा और पृष्ठभूमि में हल्की सहायक रेखा/Clear line in main subject and light supporting line in background
Step 1
Concept
Difference in line weight creates visual order. Exam tip: connect line hierarchy with emphasis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मुख्य विषय में स्पष्ट रेखा और पृष्ठभूमि में हल्की सहायक रेखा / Clear line in main subject and light supporting line in background. Difference in line weight creates visual order. Exam tip: connect line hierarchy with emphasis.
Step 3
Exam Tip
रेखा भार का अंतर दृश्य क्रम बनाता है। परीक्षा में line hierarchy को emphasis से जोड़ें।
A. गहराई कम विश्वसनीय लगेगी/Depth will look less believable
Step 1
Concept
Less clarity in far object helps create depth. Exam tip: write clarity difference as depth cue.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गहराई कम विश्वसनीय लगेगी / Depth will look less believable. Less clarity in far object helps create depth. Exam tip: write clarity difference as depth cue.
Step 3
Exam Tip
दूर वस्तु में कम स्पष्टता गहराई बनाने में मदद करती है। परीक्षा में clarity difference को depth cue लिखें।
A. गहराई की व्यवस्था कमजोर होगी/Depth organization will be weak
Step 1
Concept
Three levels clarify space and distance. Exam tip: identify all three in landscape analysis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गहराई की व्यवस्था कमजोर होगी / Depth organization will be weak. Three levels clarify space and distance. Exam tip: identify all three in landscape analysis.
Step 3
Exam Tip
तीन स्तरों से स्थान और दूरी स्पष्ट होते हैं। परीक्षा में landscape analysis में इन तीनों को पहचानें।
A. चमकीले मुख्य विषय को उभारना हो/When a bright main subject needs emphasis
Step 1
Concept
Neutral background highlights a bright subject. Exam tip: connect neutral background with emphasis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. चमकीले मुख्य विषय को उभारना हो / When a bright main subject needs emphasis. Neutral background highlights a bright subject. Exam tip: connect neutral background with emphasis.
Step 3
Exam Tip
तटस्थ पृष्ठभूमि चमकीले विषय को उभारती है। परीक्षा में neutral background को emphasis से जोड़ें।
A. मुख्य विषय अधिक छिप सकता है/Main subject may become hidden
Step 1
Concept
Too much texture divides attention and can suppress subject. Exam tip: connect background texture with focal clarity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मुख्य विषय अधिक छिप सकता है / Main subject may become hidden. Too much texture divides attention and can suppress subject. Exam tip: connect background texture with focal clarity.
Step 3
Exam Tip
अधिक बनावट ध्यान बांटती है और विषय को दबा सकती है। परीक्षा में background texture को focal clarity से जोड़ें।
These three levels organize distance and depth in a picture. Exam tip: remember levels of landscape depth.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थानिक गहराई / Spatial depth. These three levels organize distance and depth in a picture. Exam tip: remember levels of landscape depth.
Step 3
Exam Tip
ये तीन स्तर चित्र में दूरी और गहराई व्यवस्थित करते हैं। परीक्षा में landscape depth के levels याद रखें।
C. विरोधी मान या रंग देना/Giving contrasting value or colour
Step 1
Concept
Contrast separates main figure from background. Exam tip: use contrast for emphasis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. विरोधी मान या रंग देना / Giving contrasting value or colour. Contrast separates main figure from background. Exam tip: use contrast for emphasis.
Step 3
Exam Tip
विरोध मुख्य आकृति को पृष्ठभूमि से अलग करता है। परीक्षा में emphasis के लिए contrast उपयोग करें।
D. मुख्य विषय अलग पहचानना कठिन होगा/Main subject will be hard to distinguish
Step 1
Concept
Texture difference separates subject from background. Exam tip: connect texture contrast with clarity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. मुख्य विषय अलग पहचानना कठिन होगा / Main subject will be hard to distinguish. Texture difference separates subject from background. Exam tip: connect texture contrast with clarity.
Step 3
Exam Tip
बनावट का अंतर विषय को पृष्ठभूमि से अलग करता है। परीक्षा में texture contrast को clarity से जोड़ें।
A. चित्र में गहराई व्यवस्थित करने के लिए/To organize depth in a picture
Step 1
Concept
These three parts organize space and distance. Exam tip: remember three levels of landscape depth.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. चित्र में गहराई व्यवस्थित करने के लिए / To organize depth in a picture. These three parts organize space and distance. Exam tip: remember three levels of landscape depth.
Step 3
Exam Tip
ये तीन भाग स्थान और दूरी को व्यवस्थित करते हैं। परीक्षा में landscape depth के तीन स्तर याद रखें।
A. मुख्य आकृति कम स्पष्ट हो सकती है/Main figure may become less clear
Step 1
Concept
Over-detailed background can divide attention. Exam tip: connect background detail with focal point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मुख्य आकृति कम स्पष्ट हो सकती है / Main figure may become less clear. Over-detailed background can divide attention. Exam tip: connect background detail with focal point.
Step 3
Exam Tip
बहुत विस्तृत पृष्ठभूमि ध्यान बांट सकती है। परीक्षा में background detail को focal point से जोड़ें।
Difference in clarity gives a sense of distance. Exam tip: understand clarity change as a depth cue.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. स्थानिक गहराई / Spatial depth. Difference in clarity gives a sense of distance. Exam tip: understand clarity change as a depth cue.
Step 3
Exam Tip
स्पष्टता का अंतर दूरी का आभास देता है। परीक्षा में clarity change को depth cue समझें।
D. मुख्य विषय खो सकता है/Main subject may get lost
Step 1
Concept
Low contrast can make the main subject merge with background. Exam tip: understand contrast as important for focal point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. मुख्य विषय खो सकता है / Main subject may get lost. Low contrast can make the main subject merge with background. Exam tip: understand contrast as important for focal point.
Step 3
Exam Tip
कम विरोध से मुख्य विषय पृष्ठभूमि में मिल सकता है। परीक्षा में focal point के लिए contrast जरूरी समझें।
Near objects are clearer and far objects less detailed. Exam tip: connect detail level with distance.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. गहराई का आभास / Sense of depth. Near objects are clearer and far objects less detailed. Exam tip: connect detail level with distance.
Step 3
Exam Tip
पास वस्तु अधिक स्पष्ट और दूर वस्तु कम स्पष्ट होती है। परीक्षा में detail level को distance से जोड़ें।
Cool colours can often feel distant and calm. Exam tip: connect cool colours with receding effect.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दूरी और शांति / Distance and calmness. Cool colours can often feel distant and calm. Exam tip: connect cool colours with receding effect.
Step 3
Exam Tip
ठंडे रंग कई बार दूर और शांत महसूस होते हैं। परीक्षा में ठंडे रंगों को पीछे हटने के प्रभाव से जोड़ें।
D. मुख्य वस्तु स्पष्ट दिखती है/Main object appears clear
Step 1
Concept
A simple background keeps attention on the main object. Exam tip: connect clear background with emphasis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. मुख्य वस्तु स्पष्ट दिखती है / Main object appears clear. A simple background keeps attention on the main object. Exam tip: connect clear background with emphasis.
Step 3
Exam Tip
सरल पृष्ठभूमि ध्यान को मुख्य वस्तु पर रखती है। परीक्षा में स्पष्ट पृष्ठभूमि को मुख्य जोर से जोड़ें।
Near parts are larger and clearer while far parts may be lighter. Exam tip: connect foreground background with depth.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. आकार स्पष्टता और स्थान / Size clarity and space. Near parts are larger and clearer while far parts may be lighter. Exam tip: connect foreground background with depth.
Step 3
Exam Tip
पास भाग बड़ा और स्पष्ट होता है जबकि दूर भाग हल्का हो सकता है। परीक्षा में अग्रभूमि पृष्ठभूमि को गहराई से जोड़ें।
Good contrast separates figure and background. Exam tip: remember contrast in figure-ground relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. जब अच्छा विरोध हो / When there is good contrast. Good contrast separates figure and background. Exam tip: remember contrast in figure-ground relation.
Step 3
Exam Tip
अच्छा विरोध आकृति और पृष्ठभूमि को अलग करता है। परीक्षा में figure ground relation में contrast याद रखें।
A. क्योंकि एशिया में युद्ध और विस्तारवाद यूरोपीय संकट के समानांतर चल रहा था/Because war and expansionism in Asia ran parallel to the European crisis
Step 1
Concept
The background of the Second World War was not only in Europe. For exams include the China-Japan conflict too.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि एशिया में युद्ध और विस्तारवाद यूरोपीय संकट के समानांतर चल रहा था / Because war and expansionism in Asia ran parallel to the European crisis. The background of the Second World War was not only in Europe. For exams include the China-Japan conflict too.
Step 3
Exam Tip
द्वितीय विश्व युद्ध की पृष्ठभूमि केवल यूरोप में नहीं थी। परीक्षा में चीन जापान संघर्ष को भी शामिल करें।
C. उन्होंने राजनीतिक चर्चा और मांगों की परंपरा विकसित की/They developed a tradition of political discussion and demands
Step 1
Concept
Indian Association and Poona Sarvajanik Sabha increased political awareness. Exam tip: remember associations before Congress.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. उन्होंने राजनीतिक चर्चा और मांगों की परंपरा विकसित की / They developed a tradition of political discussion and demands. Indian Association and Poona Sarvajanik Sabha increased political awareness. Exam tip: remember associations before Congress.
Step 3
Exam Tip
इंडियन एसोसिएशन और पूना सार्वजनिक सभा ने राजनीतिक चेतना बढ़ाई। परीक्षा में कांग्रेस से पहले की संस्थाएं याद रखें।
A. इसने भारतीय प्रतिनिधित्व की अनदेखी के खिलाफ असंतोष बढ़ाया/It increased anger against the denial of Indian representation
Step 1
Concept
The Simon Commission had no Indian member.
Step 2
Why this answer is correct
This deepened the feeling that Indians were being ignored in decisions about India.
Step 3
Exam Tip
In background questions mention causes of growing discontent. चरण 1: साइमन आयोग में भारतीय सदस्य नहीं थे। चरण 2: इससे लोगों को लगा कि भारत के भविष्य पर भारत के बिना निर्णय हो रहे हैं। चरण 3: पृष्ठभूमि वाले प्रश्नों में असंतोष के कारण लिखें।
A. इसने भारतीय प्रतिनिधित्व की कमी को उजागर किया/It exposed the lack of Indian representation
Step 1
Concept
The Simon Commission had no Indian member.
Step 2
Why this answer is correct
This strengthened the feeling that India’s future was being decided without Indian voices.
Step 3
Exam Tip
In exams link it with rising national dissatisfaction before Civil Disobedience. चरण 1: साइमन आयोग में कोई भारतीय सदस्य नहीं था। चरण 2: इससे भारतीयों में यह भावना मजबूत हुई कि उनका भविष्य बिना उनकी आवाज के तय किया जा रहा है। चरण 3: परीक्षा में इसे सविनय अवज्ञा से पहले बढ़ते राष्ट्रीय असंतोष से जोड़ें।
A. इससे ब्रिटिश शासन के प्रति असंतोष बढ़ा/It increased dissatisfaction against British rule
Step 1
Concept
There was no Indian representation in the commission.
Step 2
Why this answer is correct
Its protest made national dissatisfaction sharper.
Step 3
Exam Tip
Treat it as an important event before Civil Disobedience. चरण 1: आयोग में भारतीय प्रतिनिधित्व नहीं था। चरण 2: उसके विरोध से राष्ट्रीय असंतोष और तीखा हुआ। चरण 3: इसे सविनय अवज्ञा से पहले की महत्वपूर्ण घटना मानें।
A. नागरिक अवज्ञा आंदोलन/Civil Disobedience Movement
Step 1
Concept
The goal of complete independence became clear in 1929.
Step 2
Why this answer is correct
After this, the path for the Civil Disobedience Movement was prepared.
Step 3
Exam Tip
In exams, treat complete independence as the background of Civil Disobedience. चरण 1: पूर्ण स्वराज का लक्ष्य उन्नीस सौ उनतीस में स्पष्ट हुआ। चरण 2: इसके बाद नागरिक अवज्ञा आंदोलन की राह बनी। चरण 3: परीक्षा में पूर्ण स्वराज को नागरिक अवज्ञा आंदोलन की पृष्ठभूमि मानें।
A. उन्होंने औपनिवेशिक दमन के प्रति जनता का गुस्सा बढ़ाया/They increased public anger against colonial repression
Step 1
Concept
The Rowlatt Act attacked civil rights.
Step 2
Why this answer is correct
Jallianwala Bagh showed the brutality of the rule.
Step 3
Exam Tip
Both events prepared people for non-cooperation. चरण 1: रॉलेट अधिनियम ने नागरिक अधिकारों पर चोट की। चरण 2: जलियांवाला बाग ने शासन की क्रूरता दिखाई। चरण 3: दोनों घटनाओं ने असहयोग के लिए जनता को तैयार किया।
A. उन्होंने औपनिवेशिक दमन के प्रति व्यापक आक्रोश पैदा किया/They created widespread anger against colonial repression
Step 1
Concept
The Rowlatt Act attacked civil rights.
Step 2
Why this answer is correct
Jallianwala Bagh showed the brutality of repression.
Step 3
Exam Tip
Both prepared people for non-cooperation. चरण 1: रॉलेट अधिनियम ने नागरिक अधिकारों पर चोट की। चरण 2: जलियांवाला बाग ने दमन की क्रूरता दिखा दी। चरण 3: दोनों ने असहयोग के लिए जनता को तैयार किया।
B. इसने मजदूरों की आर्थिक पीड़ा और शोषण को उजागर किया/It exposed workers' economic suffering and exploitation
Step 1
Concept
The weavers suffered from low wages and difficult life.
Step 2
Why this answer is correct
Their revolt was a sign of economic discontent.
Step 3
Exam Tip
Such events help explain the revolutionary background of 1848. चरण 1: बुनकर कम मजदूरी और कठिन जीवन से परेशान थे। चरण 2: उनका विद्रोह आर्थिक असंतोष का संकेत था। चरण 3: ऐसी घटनाएँ अठारह सौ अड़तालीस की क्रांतिकारी पृष्ठभूमि समझने में मदद करती हैं।
A. स्थानीय विवादों का बड़ी शक्तियों के तनाव से जुड़ जाना/Local disputes becoming connected with tensions among great powers
Step 1
Concept
The Balkans had local ethnic and territorial disputes.
Step 2
Why this answer is correct
Interests of great powers became linked with them.
Step 3
Exam Tip
This connection strengthened the background of a major European war. चरण 1: बाल्कन में स्थानीय जातीय और क्षेत्रीय विवाद थे। चरण 2: बड़ी शक्तियों के हित उनसे जुड़ गए। चरण 3: इसी जुड़ाव ने यूरोप में बड़े युद्ध की पृष्ठभूमि को मजबूत किया।
A. इसने यूरोपीय शक्तियों के बीच तनाव को और तीखा किया/It sharpened tension among European powers
Step 1
Concept
The Balkan conflict involved the interests of many powers.
Step 2
Why this answer is correct
Its disputes increased European mistrust.
Step 3
Exam Tip
Therefore, it became an important part of the background of the First World War. चरण 1: बाल्कन संघर्ष में कई शक्तियों के हित जुड़े थे। चरण 2: वहां के विवादों ने यूरोपीय अविश्वास को बढ़ाया। चरण 3: इसलिए यह प्रथम विश्व युद्ध की पृष्ठभूमि का महत्वपूर्ण हिस्सा बना।
The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (660). The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
Step 3
Exam Tip
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation
Step 1
Concept
(a) being even does not automatically make (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (a=2k), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Only then can (b) be proved even. चरण 1: (a) सम होने से (b) अपने आप सम नहीं होता। चरण 2: (a=2k) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: तभी (b) सम सिद्ध किया जा सकता है।
The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (25). The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
Step 3
Exam Tip
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है इसलिए (n=25)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(2,4,6,\ldots\) भी मान सकते हैं।
A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है/Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
First (p) is proved even, so (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(q^2\) is even and hence (q) is even. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है, इसलिए (p=2k)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और इसलिए (q) सम होता है।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Thus both (p) and (q) are found even. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इस तरह (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं।
This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। चरण 2: दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है।
A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है/After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained
Step 1
Concept
First (p) is proved even from \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: पहले \(p^2=2q^2\) से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे/Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
First (p) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
If (q) is also proved even, both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
Common factor (2) breaks the coprime condition. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: यदि (q) भी सम सिद्ध हो जाए, तो दोनों (2) से विभाज्य होंगे। चरण 3: साझा गुणनखंड (2) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Mentioning the type of (k) makes the proof clear. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। चरण 3: (k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers have no common factor except (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता।
Finding a common factor contradicts the lowest-form condition. चरण 1: सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
So in (a=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
It is good to mention the type of (k) in such forms. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (a=2k) में (k) पूर्णांक होता है। चरण 3: ऐसे रूपों में (k) का प्रकार साफ लिखना अच्छा होता है।
A. \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समीकरण \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because both will have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers do not have a common factor other than (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता।
A. (p=2k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=2k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
An even number is completely divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore if (p) is even, we can write (p=2k).
Step 3
Exam Tip
Writing an even number as (2k) makes the proof easier. चरण 1: सम संख्या (2) से पूरी तरह विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए (p) सम होने पर (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: प्रमाण में सम संख्या को (2k) लिखना आसान रास्ता देता है।
If the square of an integer is even, then the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
This small fact is very important in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। चरण 3: यह छोटी बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बहुत महत्वपूर्ण है।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
Multiplying by just one (2) gives the smallest even multiple.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें।
To make the smallest even multiple, multiplying by one (2) is enough.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
The given number is odd because it has no factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
To make the smallest even multiple, multiply by only one (2).
Step 3
Exam Tip
Do not increase exponents unnecessarily when the smallest value is asked. चरण 1: दी गई संख्या विषम है क्योंकि इसमें (2) नहीं है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटी शर्त पूरी करने के लिए अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
