A negative remainder or a remainder greater than (20) is not correct. चरण 1: \(20 \times 6=120\) है। चरण 2: (123-120=3), इसलिए \(123=20 \times 6+3\) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या (20) से बड़ा शेषफल सही नहीं होता।
\(58\times12=696\), so (703=696+7), and 7 is valid.
Step 3
Exam Tip
Along with calculation, also check the range of the remainder. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 57 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(58\times12=696\), इसलिए (703=696+7) और 7 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी जांचनी चाहिए।
(41) is smaller than (60), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(41=60 \times 0+41\), and (41<60), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (41), (60) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(41=60 \times 0+41\) और (41<60), इसलिए रूप सही है। चरण 3: जब भाज्य छोटा हो, तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 390.
Step 2
Why this answer is correct
\(391\times15=5865\), so (6127=5865+262).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 391 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 390 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(391\times15=5865\), इसलिए (6127=5865+262) है। चरण 3: ऋणात्मक या 391 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 699.
Step 2
Why this answer is correct
\(700\times10=7000\), so (7001=7000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 700 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 699 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(700\times10=7000\), इसलिए (7001=7000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 700 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 288.
Step 2
Why this answer is correct
\(289\times15=4335\), so (4555=4335+220).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 289 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 288 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(289\times15=4335\), इसलिए (4555=4335+220) है। चरण 3: ऋणात्मक या 289 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 499.
Step 2
Why this answer is correct
\(500\times10=5000\), so (5001=5000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 500 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 499 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(500\times10=5000\), इसलिए (5001=5000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 500 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than 247.
Step 2
Why this answer is correct
\(247\times12=2964\), so (3199=2964+235).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder bigger than the divisor is not the standard form. चरण 1: यूक्लिडीय रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और 247 से छोटा होता है। चरण 2: \(247\times12=2964\), इसलिए (3199=2964+235) है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल दिखे तो वह मानक रूप नहीं है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 119.
Step 2
Why this answer is correct
\(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).
Step 3
Exam Tip
Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है।
\(73\times12=876\), so (947=876+71), and 71 is valid.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look close, but it is not Euclidean form. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 72 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(73\times12=876\), इसलिए (947=876+71) और 71 वैध शेषफल है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप सही गणना जैसा लग सकता है, पर वह यूक्लिडीय रूप नहीं है।
\(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। चरण 2: \(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
\(19\times22=418\), so (431=418+13) and (13<19).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: यूक्लिड रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: \(19\times22=418\), इसलिए (431=418+13) और (13<19)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिड रूप नहीं माना जाता।
In the correct form, the remainder must be smaller than (32) and not negative. चरण 1: \(32 \times 8=256\) है। चरण 2: (257-256=1), इसलिए \(257=32 \times 8+1\)। चरण 3: सही रूप में शेषफल (32) से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
(72) is the correct smaller multiple and (73-72=1).
Step 3
Exam Tip
Remainder (1) is less than (12), so the form is correct. चरण 1: \(12 \times 6=72\) और \(12 \times 7=84\) है। चरण 2: (72) सही छोटा गुणज है और (73-72=1)। चरण 3: शेषफल (1), (12) से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
(55) is greater than (54), so (44) is the correct multiple.
Step 3
Exam Tip
(54-44=10), so \(54=11 \times 4+10\) is correct. चरण 1: \(11 \times 4=44\) और \(11 \times 5=55\) है। चरण 2: (55), (54) से बड़ा है, इसलिए (44) सही गुणज है। चरण 3: (54-44=10), इसलिए रूप \(54=11 \times 4+10\) सही है।
(89-80=9), so the correct form is \(89=10 \times 8+9\). चरण 1: \(10 \times 8=80\) और \(10 \times 9=90\) है। चरण 2: (90), (89) से बड़ा है, इसलिए (80) लेना होगा। चरण 3: (89-80=9), इसलिए सही रूप \(89=10 \times 8+9\) है।
It is not enough for the sum to match; the remainder must be less than (5). चरण 1: \(5 \times 8=40\) है। चरण 2: (43-40=3), इसलिए \(43=5 \times 8+3\) सही है। चरण 3: केवल जोड़ सही होना काफी नहीं, शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए।
A correct Euclidean form always has the remainder in the valid range. चरण 1: \(11\times4=44\) है। चरण 2: (45-44=1), जो (11) से छोटा है। चरण 3: सही यूक्लिड रूप में शेषफल हमेशा मान्य सीमा में होगा।
The remainder (6) is less than (10), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
When dividing by (10), the last digit often helps find the remainder. चरण 1: \(10\times7=70\) और (76-70=6)। चरण 2: शेषफल (6), (10) से छोटा है, इसलिए रूप सही है। चरण 3: दस से भाग देने पर अंतिम अंक अक्सर शेषफल बताने में मदद करता है।
(35) is the correct smaller multiple, so (38-35=3) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Since (3<7), the form is valid. चरण 1: \(7 \times 5=35\) और \(7 \times 6=42\) है। चरण 2: (35) सही छोटा गुणज है, इसलिए (38-35=3) शेषफल है। चरण 3: (3<7), इसलिए रूप मान्य है।
(12) is the correct smaller multiple, so the remainder is (14-12=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder (2) is less than (3). चरण 1: \(3 \times 4=12\) और \(3 \times 5=15\) है। चरण 2: (12) सही छोटा गुणज है, इसलिए शेषफल (14-12=2) होगा। चरण 3: शेषफल (2), (3) से छोटा है।
Since (1<4), this is the correct Euclidean form. चरण 1: (17) को (4) से भाग देने पर भागफल (4) आता है। चरण 2: \(4 \times 4=16\) और शेषफल (1) है। चरण 3: (1<4), इसलिए यह सही यूक्लिड रूप है।
When the dividend is smaller than the divisor, the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(29=50 \times 0+29\), and (29<50), so it is correct.
Step 3
Exam Tip
When a smaller number is divided by a larger number, the remainder can be the smaller number itself. चरण 1: जब भाज्य भाजक से छोटा हो, तो भागफल (0) होता है। चरण 2: \(29=50 \times 0+29\) और (29<50), इसलिए यह सही है। चरण 3: छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर शेषफल वही छोटी संख्या हो सकता है।
(39) is smaller than (100), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(39=100 \times 0+39\), and (39<100), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
If the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (39), (100) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(39=100 \times 0+39\) और (39<100), इसलिए रूप सही है। चरण 3: भाज्य छोटा हो तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
Since (312) is greater, \(305=24 \times 12+17\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(24 \times 12=288\) और \(24 \times 13=312\) है। चरण 2: (312) बड़ा है, इसलिए \(305=24 \times 12+17\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं होता।
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(31 \times 12=372\) और \(31 \times 13=403\)। चरण 2: (403) बड़ा है, इसलिए \(400=31 \times 12+28\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं है।
The remainder (6) is less than (16), so the form is correct. चरण 1: \(16 \times 9=144\) है। चरण 2: (150-144=6), इसलिए \(150=16 \times 9+6\) है। चरण 3: शेषफल (6), (16) से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
Along with equality, the remainder must also be less than (10). चरण 1: \(10 \times 7=70\) है। चरण 2: (72-70=2), इसलिए \(72=10 \times 7+2\) सही है। चरण 3: बराबरी सही होने के साथ शेषफल (10) से छोटा भी होना चाहिए।
Note that remainder (5) is less than (9). चरण 1: भाज्य (5), भाजक (9) से छोटा है। चरण 2: इसलिए भागफल (0) और शेषफल (5) होगा। चरण 3: ध्यान रखें कि शेषफल (5), (9) से छोटा है।
\(4\times7=28\), the nearest smaller multiple of (4) to (29).
Step 2
Why this answer is correct
(29-28=1), so the correct form is \(29=4\times7+1\).
Step 3
Exam Tip
Do not allow the remainder to be negative or equal to (4). चरण 1: \(4\times7=28\), जो (29) से छोटा निकटतम गुणज है। चरण 2: (29-28=1), इसलिए सही रूप \(29=4\times7+1\) है। चरण 3: शेषफल को ऋणात्मक या (4) के बराबर न रहने दें।
The nearest multiple of (5) less than (29) is (25).
Step 2
Why this answer is correct
(29-25=4), so (q=5) and (r=4).
Step 3
Exam Tip
Since (4<5), the form is valid. चरण 1: (5) का (29) से छोटा निकटतम गुणज (25) है। चरण 2: (29-25=4), इसलिए (q=5) और (r=4) हैं। चरण 3: (4<5), इसलिए रूप सही है।
The greatest multiple not exceeding 314 is 297, so the remainder is 17.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(27\times11=297\) और \(27\times12=324\) है। चरण 2: 314 से कम सबसे बड़ा गुणज 297 है, इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या भाजक से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
If the leftover part is greater than the divisor, divide it again. चरण 1: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (12=9+3), इसलिए (9q+12=9(q+1)+3)। चरण 3: यदि बचा भाग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर से बाँटें।
The remainder should not be negative and must be less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
\(10 \times 8=80\) and the remainder is (9), so \(89=10 \times 8+9\).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: शेषफल को ऋणात्मक नहीं रखना है और (10) से छोटा रखना है। चरण 2: \(10 \times 8=80\) और शेषफल (9) है, इसलिए \(89=10 \times 8+9\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप यूक्लिड रूप नहीं माना जाएगा।
\(15 \times 6=90\) and (96-90=6), so the correct form is \(96=15 \times 6+6\).
Step 3
Exam Tip
Check not only equality but also the condition on the remainder. चरण 1: शेषफल (15) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(15 \times 6=90\) और (96-90=6), इसलिए सही रूप \(96=15 \times 6+6\) है। चरण 3: केवल बराबरी नहीं, शेषफल की शर्त भी जाँचें।
In a valid form, the remainder must be from 0 to 14.
Step 2
Why this answer is correct
\(15\times6=90\), so (98=90+8), and 8 is valid.
Step 3
Exam Tip
Check both the calculation and the remainder limit. चरण 1: वैध रूप में शेषफल 0 से 14 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(15\times6=90\), इसलिए (98=90+8) और 8 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें।
The remainder (4) is less than the divisor (6). चरण 1: \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (64-60=4), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही है। चरण 3: शेषफल (4) भाजक (6) से छोटा है।
(76-72=4), so the quotient is (8) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
In exams, finally check that the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(9 \times 8=72\) और \(9 \times 9=81\) है। चरण 2: (76-72=4), इसलिए भागफल (8) और शेषफल (4) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम जांच करें कि शेषफल भाजक से छोटा है।
Since (9) is less than (13), \(87=13 \times 6+9\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than the divisor does not give the correct Euclidean form. चरण 1: \(13 \times 6=78\) और (87-78=9)। चरण 2: (9), (13) से छोटा है, इसलिए \(87=13 \times 6+9\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं देता।
When the dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: समान संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल (1) होता है। चरण 2: कुछ भी शेष नहीं बचता, इसलिए \(35=35 \times 1+0\)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों तो शेषफल (0) होता है।
If the remainder is greater than the divisor, divide it again and rewrite the form. चरण 1: शेषफल (11) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (15=11+4), इसलिए (11q+15=11(q+1)+4)। चरण 3: यदि शेषफल भाजक से बड़ा हो, तो उसे फिर से बाँटकर सही रूप बनाएं।
In (7q+7), the extra (7) can be treated as \(7\times1\).
Step 2
Why this answer is correct
So (7q+7=7(q+1)+0), where the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, add (1) to the quotient. चरण 1: (7q+7) में (7) को \(7\times1\) माना जा सकता है। चरण 2: इसलिए (7q+7=7(q+1)+0), जहां शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल भाजक के बराबर हो तो भागफल में (1) जोड़ें।
An odd number has remainder (1), so its form is (2q+1).
Step 3
Exam Tip
The remainder helps identify the type of number. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) होता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है, इसलिए रूप (2q+1) है। चरण 3: शेषफल से संख्या का प्रकार पहचानना आसान होता है।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
(60) is the correct smaller multiple and (64-60=4).
Step 3
Exam Tip
Since (4<6), \(64=6 \times 10+4\) is the correct form. चरण 1: \(6 \times 10=60\) और \(6 \times 11=66\) है। चरण 2: (60) सही छोटा गुणज है और (64-60=4)। चरण 3: (4<6), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही रूप है।
In \(20=6 \times 2+8\), remainder (8) is greater than divisor (6).
Step 3
Exam Tip
It is not enough for the sum to be correct; the remainder range must also be correct. चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(20=6 \times 2+8\) में शेषफल (8), भाजक (6) से बड़ा है। चरण 3: केवल योग सही होना काफी नहीं, शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
The lemma connects dividend, divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is (a=bq+r), where the remainder is at least (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder in exams. चरण 1: प्रमेय में भाज्य को भाजक, भागफल और शेषफल से जोड़ा जाता है। चरण 2: सही रूप (a=bq+r) है और शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर तथा भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
Since (280) is greater than (275), the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient whose product does not exceed the dividend. चरण 1: \(28 \times 9=252\) और \(28 \times 10=280\) है। चरण 2: (280), (275) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) है। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
(63) is the correct nearest smaller multiple, so the remainder is (64-63=1).
Step 3
Exam Tip
The remainder must be less than (9). चरण 1: \(9 \times 7=63\) और \(9 \times 8=72\) है। चरण 2: (63) सही निकट छोटा गुणज है, इसलिए शेषफल (64-63=1) है। चरण 3: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए।
Since (324) is greater than (310), the quotient is (11).
Step 3
Exam Tip
Always check the next multiple when choosing the quotient. चरण 1: \(27 \times 11=297\) और \(27 \times 12=324\) है। चरण 2: (324), (310) से बड़ा है, इसलिए भागफल (11) होगा। चरण 3: भागफल चुनने में अगला गुणज जरूर जाँचें।
On division by (6), the possible remainders are (0,1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is written as (6q+r) using these remainders.
Step 3
Exam Tip
While forming general forms, list all possible remainders in order. चरण 1: (6) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3,4,5) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+r) में इन शेषफलों को रखकर लिखी जाएगी। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय सभी संभावित शेषफल क्रम से लिखें।
\(7 \times 9=63\) and \(7 \times 10=70\), which is greater than (64). So (q=9).
Step 3
Exam Tip
Take the quotient for which the product does not exceed the number. चरण 1: (7) के गुणज देखें। चरण 2: \(7 \times 9=63\) और \(7 \times 10=70\), जो (64) से बड़ा है। इसलिए (q=9)। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणनफल संख्या से अधिक न हो।
A. (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (b)
Step 1
Concept
(r=0) means nothing is left after division.
Step 2
Why this answer is correct
Then (a=bq), so (a) is exactly divisible by (b).
Step 3
Exam Tip
Use zero remainder to identify divisibility. चरण 1: (r=0) का अर्थ है कि भाग देने के बाद कुछ नहीं बचा। चरण 2: तब (a=bq) बनता है, इसलिए (a), (b) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शून्य शेषफल देखकर विभाज्यता पहचानें।
Since (1<17), this remainder is valid. चरण 1: \(17 \times 7=119\) है। चरण 2: (120-119=1), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: (1<17), इसलिए यह शेषफल मान्य है।
The remainder is less than (15), so the answer is correct. चरण 1: \(15 \times 7=105\) है। चरण 2: (112-105=7), इसलिए शेषफल (7) है। चरण 3: शेषफल (15) से छोटा है, इसलिए उत्तर सही है।
In \(67=8 \times 8+3\), (8) is in the divisor’s place.
Step 3
Exam Tip
Identifying symbols helps solve short questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(67=8 \times 8+3\) में (8) भाजक की जगह है। चरण 3: चिन्हों को पहचानने से छोटे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
The nearest smaller multiple of (12) is (84), so (95-84=11).
Step 3
Exam Tip
Since (11<12), remainder (11) is valid. चरण 1: \(12 \times 7=84\) और \(12 \times 8=96\) है। चरण 2: (95) से छोटा निकटतम गुणज (84) है, इसलिए (95-84=11)। चरण 3: (11<12), इसलिए शेषफल (11) मान्य है।
Wrong options can be removed quickly by checking the remainder range. चरण 1: \(6\times6=36\) है। चरण 2: (37-36=1), और (1<6), इसलिए रूप सही है। चरण 3: शेषफल की सीमा से गलत विकल्प तुरंत हटाए जा सकते हैं।
In the given form, (31) is on the left side, so the dividend is (31).
Step 3
Exam Tip
The dividend is the number being divided. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: दिए गए रूप में बाईं ओर (31) है, इसलिए भाज्य (31) है। चरण 3: भाज्य वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 173 below 3876.
Step 2
Why this answer is correct
\(173\times22=3806\), so the remainder is (3876-3806=70).
Step 3
Exam Tip
In a valid answer, the remainder must be less than 173. चरण 1: 173 का 3876 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(173\times22=3806\), इसलिए शेषफल (3876-3806=70) है। चरण 3: वैध उत्तर में शेषफल 173 से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 156 below 2547.
Step 2
Why this answer is correct
\(156\times16=2496\), so the remainder is (2547-2496=51).
Step 3
Exam Tip
In a valid Euclidean form, the remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: 156 का 2547 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(156\times16=2496\), इसलिए शेषफल (2547-2496=51) है। चरण 3: वैध यूक्लिडीय रूप में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। चरण 2: 19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
A. भागफल (13), शेषफल (1)/Quotient (13), remainder (1)
Step 1
Concept
\(12 \times 13=156\) and \(12 \times 14=168\).
Step 2
Why this answer is correct
(156) is the nearest smaller multiple of (12), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In the correct answer, the remainder must be less than the divisor and not negative. चरण 1: \(12 \times 13=156\) और \(12 \times 14=168\) है। चरण 2: (156), (157) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
A. हर धनात्मक पूर्णांक (a) को (bq+r) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(0 \le r < b\)/Every positive integer (a) can be written as (bq+r) where \(0 \le r < b\)
Step 1
Concept
The main form of Euclid’s division lemma is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is greater than or equal to (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory questions, remembering the range of the remainder is important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय का मुख्य रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें शेषफल (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: सैद्धांतिक प्रश्नों में शेषफल की सीमा याद रखना जरूरी है।
A. भागफल (12), शेषफल (2)/Quotient (12), remainder (2)
Step 1
Concept
\(11 \times 12=132\) and \(11 \times 13=143\).
Step 2
Why this answer is correct
(132) is the nearest smaller multiple of (11), so the remainder is (134-132=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder in the answer must always be less than the divisor. चरण 1: \(11 \times 12=132\) और \(11 \times 13=143\) है। चरण 2: (132), (134) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (134-132=2) है। चरण 3: उत्तर में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient.
Step 3
Exam Tip
Remembering the names of symbols makes the formula easier to use. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है। चरण 3: प्रतीकों के नाम याद रखने से सूत्र का प्रयोग आसान हो जाता है।
When the dividend is a multiple of the divisor, the remainder is always (0). चरण 1: (56) को (7) से भाग देने पर \(7 \times 8=56\) मिलता है। चरण 2: कोई संख्या बचती नहीं है इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: जब भाज्य भाजक का गुणज हो तो शेषफल हमेशा (0) होता है।
In division by (100), the last two digits often give the remainder, but still check (r<100). चरण 1: \(100 \times 9=900\)। चरण 2: (999-900=99), इसलिए शेषफल (99) है। चरण 3: (100) से भाग में अंतिम दो अंक अक्सर शेषफल बताते हैं, पर शर्त (r<100) भी देखें।
When division is exact, the remainder is always (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\)। चरण 2: (91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
While choosing the quotient, make sure (bq) does not exceed (a). चरण 1: (43) को (6) से भाग दें। चरण 2: \(6 \times 7=42\) और (43-42=1), इसलिए (r=1)। चरण 3: भागफल चुनते समय (bq) को (a) से बड़ा न होने दें।
A. भागफल (7), शेषफल (8)/Quotient (7), remainder (8)
Step 1
Concept
Dividing (71) by (9), we get \(9 \times 7=63\).
Step 2
Why this answer is correct
(71-63=8), so the quotient is (7) and the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: (71) को (9) से भाग देने पर \(9 \times 7=63\) मिलता है। चरण 2: (71-63=8), इसलिए भागफल (7) और शेषफल (8) है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जाँचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
When (b=1), we get \(0 \le r < 1\), so only (r=0) is possible.
Step 3
Exam Tip
Any integer divided by (1) leaves remainder (0). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: जब (b=1), तब \(0 \le r < 1\) होगा, इसलिए केवल (r=0) संभव है। चरण 3: किसी भी पूर्णांक को (1) से भाग देने पर शेषफल (0) रहता है।
Now the number is exactly divisible by (8), so the remainder is (0). चरण 1: संख्या का रूप (8q+5) है। चरण 2: (3) जोड़ने पर (8q+8=8(q+1)) बनता है। चरण 3: अब संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित होगी, इसलिए शेषफल (0) है।
This is exactly divisible by (5), so the remainder is (0). चरण 1: मूल संख्या (5q+3) के रूप में होगी। चरण 2: (2) जोड़ने पर (5q+5=5(q+1)) बनेगा। चरण 3: यह (5) से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए शेषफल (0) होगा।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (a) और (b) के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है/For every positive integer (a) and (b), (a=bq+r) can be written
Step 1
Concept
The lemma says that for positive integers, (a=bq+r) can be written.
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(0 \le r < b\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
While reading statements, eliminate wrong options using the remainder condition. चरण 1: प्रमेयिका कहती है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसमें \(0 \le r < b\) जरूरी शर्त है। चरण 3: कथन पढ़ते समय शेषफल वाली शर्त से गलत विकल्प हटाएं।
What remains after division is called the remainder.
Step 3
Exam Tip
Always check \(0 \le r < b\) for (r). चरण 1: (a=bq+r) में (r) अंत में जुड़ता है। चरण 2: भाग करने के बाद जो बचता है, वही शेषफल कहलाता है। चरण 3: (r) के लिए हमेशा \(0 \le r < b\) जांचें।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
The remainder is always at least zero and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the range of the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a=bq+r) लिखा जाता है। चरण 2: यहां शेषफल हमेशा शून्य से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
A. ताकि दोनों नई कोशिकाओं को आनुवंशिक सूचना मिल सके/So both new cells receive genetic information
Step 1
Concept
The nucleus contains genetic information.
Step 2
Why this answer is correct
Binary fission forms two new cells.
Step 3
Exam Tip
If the nucleus does not divide first, information will not be distributed properly. चरण 1: केंद्रक में आनुवंशिक सूचना रहती है। चरण 2: द्विखंडन में दो नई कोशिकाएँ बनती हैं। चरण 3: केंद्रक पहले न बँटे तो नई कोशिकाओं में सूचना का सही वितरण नहीं होगा।
