The lemma connects dividend, divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is (a=bq+r), where the remainder is at least (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder in exams. चरण 1: प्रमेय में भाज्य को भाजक, भागफल और शेषफल से जोड़ा जाता है। चरण 2: सही रूप (a=bq+r) है और शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर तथा भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
A. भागफल (13), शेषफल (1)/Quotient (13), remainder (1)
Step 1
Concept
\(12 \times 13=156\) and \(12 \times 14=168\).
Step 2
Why this answer is correct
(156) is the nearest smaller multiple of (12), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In the correct answer, the remainder must be less than the divisor and not negative. चरण 1: \(12 \times 13=156\) और \(12 \times 14=168\) है। चरण 2: (156), (157) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
A. हर धनात्मक पूर्णांक (a) को (bq+r) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(0 \le r < b\)/Every positive integer (a) can be written as (bq+r) where \(0 \le r < b\)
Step 1
Concept
The main form of Euclid’s division lemma is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is greater than or equal to (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory questions, remembering the range of the remainder is important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय का मुख्य रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें शेषफल (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: सैद्धांतिक प्रश्नों में शेषफल की सीमा याद रखना जरूरी है।
A. भागफल (12), शेषफल (2)/Quotient (12), remainder (2)
Step 1
Concept
\(11 \times 12=132\) and \(11 \times 13=143\).
Step 2
Why this answer is correct
(132) is the nearest smaller multiple of (11), so the remainder is (134-132=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder in the answer must always be less than the divisor. चरण 1: \(11 \times 12=132\) और \(11 \times 13=143\) है। चरण 2: (132), (134) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (134-132=2) है। चरण 3: उत्तर में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
When the dividend is a multiple of the divisor, the remainder is always (0). चरण 1: (56) को (7) से भाग देने पर \(7 \times 8=56\) मिलता है। चरण 2: कोई संख्या बचती नहीं है इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: जब भाज्य भाजक का गुणज हो तो शेषफल हमेशा (0) होता है।
When division is exact, the remainder is always (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\)। चरण 2: (91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
A. भागफल (7), शेषफल (8)/Quotient (7), remainder (8)
Step 1
Concept
Dividing (71) by (9), we get \(9 \times 7=63\).
Step 2
Why this answer is correct
(71-63=8), so the quotient is (7) and the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: (71) को (9) से भाग देने पर \(9 \times 7=63\) मिलता है। चरण 2: (71-63=8), इसलिए भागफल (7) और शेषफल (8) है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जाँचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
When (b=1), we get \(0 \le r < 1\), so only (r=0) is possible.
Step 3
Exam Tip
Any integer divided by (1) leaves remainder (0). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: जब (b=1), तब \(0 \le r < 1\) होगा, इसलिए केवल (r=0) संभव है। चरण 3: किसी भी पूर्णांक को (1) से भाग देने पर शेषफल (0) रहता है।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (a) और (b) के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है/For every positive integer (a) and (b), (a=bq+r) can be written
Step 1
Concept
The lemma says that for positive integers, (a=bq+r) can be written.
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(0 \le r < b\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
While reading statements, eliminate wrong options using the remainder condition. चरण 1: प्रमेयिका कहती है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसमें \(0 \le r < b\) जरूरी शर्त है। चरण 3: कथन पढ़ते समय शेषफल वाली शर्त से गलत विकल्प हटाएं।
What remains after division is called the remainder.
Step 3
Exam Tip
Always check \(0 \le r < b\) for (r). चरण 1: (a=bq+r) में (r) अंत में जुड़ता है। चरण 2: भाग करने के बाद जो बचता है, वही शेषफल कहलाता है। चरण 3: (r) के लिए हमेशा \(0 \le r < b\) जांचें।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
The remainder is always at least zero and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the range of the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a=bq+r) लिखा जाता है। चरण 2: यहां शेषफल हमेशा शून्य से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
A. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है/The remainder is always less than the divisor
Step 1
Concept
The main condition on the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory-based questions, remember this condition directly. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की मुख्य शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 3: ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में शर्त को सीधे याद रखें।
A. शेषफल भाजक से छोटा होता है/The remainder is less than the divisor
Step 1
Concept
The lemma gives the remainder range \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is always less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In statement-based questions, this rule is very useful. चरण 1: प्रमेयिका में शेषफल की सीमा \(0 \le r < b\) दी जाती है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होगा। चरण 3: कथन आधारित प्रश्नों में यही नियम सबसे उपयोगी है।
A. (b) धनात्मक पूर्णांक और शून्य से अलग होना चाहिए/(b) must be a positive integer and non-zero
Step 1
Concept
The divisor cannot be zero in division.
Step 2
Why this answer is correct
In the lemma, (b) is taken as a positive integer.
Step 3
Exam Tip
Division by zero is not valid, so avoid such options. चरण 1: विभाजन में भाजक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: प्रमेय में (b) धनात्मक पूर्णांक माना जाता है। चरण 3: शून्य से भाग देना मान्य नहीं होता, इसलिए ऐसे विकल्प से बचें।
A. क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर है/Because the remainder is equal to the divisor
Step 1
Concept
Here the divisor appears to be (7) and the remainder (7).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder must be less than the divisor, not equal to it.
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, it should be carried into the quotient. चरण 1: यहां भाजक (7) और शेषफल (7) दिख रहा है। चरण 2: शेषफल को भाजक से छोटा होना चाहिए, बराबर नहीं। चरण 3: बराबर शेषफल मिलने पर उसे अगले भागफल में बदल दें।
The range of the remainder is very important in the lemma.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may be (0), but it must be less than the divisor (b).
Step 3
Exam Tip
Read the inequality carefully in such questions. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की सीमा बहुत महत्वपूर्ण होती है। चरण 2: शेषफल (0) हो सकता है, लेकिन वह भाजक (b) से छोटा ही रहता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में असमानता को ध्यान से पढ़ें।
In (a=bq+r), (b) is the number by which division is done.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (b) is called the divisor.
Step 3
Exam Tip
Remember that the divisor cannot be zero. चरण 1: (a=bq+r) में (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसलिए (b) को भाजक कहते हैं। चरण 3: याद रखें कि भाजक शून्य नहीं हो सकता।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) is multiplied by (b), so it is the quotient.
Step 3
Exam Tip
Identifying symbols reduces mistakes in exams. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) वह संख्या है जिससे (b) को गुणा किया जाता है, इसलिए यह भागफल है। चरण 3: प्रतीकों की पहचान परीक्षा में गलती कम करती है।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An odd number leaves remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore, an odd number is written as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: इसलिए विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जाती है।
In Euclid’s Division Lemma, (a) and (b) are positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor (b) cannot be zero, so (b>0).
Step 3
Exam Tip
In division questions, first check the divisor condition. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक माने जाते हैं। चरण 2: भाजक (b) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (b>0) होना चाहिए। चरण 3: भाग से जुड़े प्रश्नों में भाजक की शर्त पहले देखें।
The lemma uses dividend (a), divisor (b), quotient (q), and remainder (r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct relation is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
Do not forget the condition \(0 \le r < b\). चरण 1: प्रमेयिका में भाज्य (a), भाजक (b), भागफल (q) और शेषफल (r) होते हैं। चरण 2: सही संबंध (a=bq+r) है। चरण 3: साथ में \(0 \le r < b\) लिखना न भूलें।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 173 below 3876.
Step 2
Why this answer is correct
\(173\times22=3806\), so the remainder is (3876-3806=70).
Step 3
Exam Tip
In a valid answer, the remainder must be less than 173. चरण 1: 173 का 3876 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(173\times22=3806\), इसलिए शेषफल (3876-3806=70) है। चरण 3: वैध उत्तर में शेषफल 173 से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 156 below 2547.
Step 2
Why this answer is correct
\(156\times16=2496\), so the remainder is (2547-2496=51).
Step 3
Exam Tip
In a valid Euclidean form, the remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: 156 का 2547 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(156\times16=2496\), इसलिए शेषफल (2547-2496=51) है। चरण 3: वैध यूक्लिडीय रूप में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। चरण 2: 19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient.
Step 3
Exam Tip
Remembering the names of symbols makes the formula easier to use. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है। चरण 3: प्रतीकों के नाम याद रखने से सूत्र का प्रयोग आसान हो जाता है।
In division by (100), the last two digits often give the remainder, but still check (r<100). चरण 1: \(100 \times 9=900\)। चरण 2: (999-900=99), इसलिए शेषफल (99) है। चरण 3: (100) से भाग में अंतिम दो अंक अक्सर शेषफल बताते हैं, पर शर्त (r<100) भी देखें।
While choosing the quotient, make sure (bq) does not exceed (a). चरण 1: (43) को (6) से भाग दें। चरण 2: \(6 \times 7=42\) और (43-42=1), इसलिए (r=1)। चरण 3: भागफल चुनते समय (bq) को (a) से बड़ा न होने दें।
Remembering the meanings of symbols helps solve questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: ऐसी संख्या को भाज्य कहा जाता है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ याद रखने से सवाल जल्दी हल होते हैं।
Euclid’s division lemma is applied to two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
(b) is the divisor and it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
For the dividing number, positivity and non-zero value are necessary. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लगाई जाती है। चरण 2: (b) भाजक है और वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: भाग देने वाली संख्या के लिए धनात्मकता और अशून्यता जरूरी है।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < b\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of allowing (r=b). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < b\) सही है। चरण 3: परीक्षा में (r=b) वाली गलती से बचें।
To find the invalid form, check the range of the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In \(23=5\times3+8\), the remainder (8) is greater than the divisor (5).
Step 3
Exam Tip
Even if the equality is numerically true, check the remainder condition. चरण 1: अमान्य रूप खोजने के लिए शेषफल की सीमा जांचें। चरण 2: \(23=5\times3+8\) में शेषफल (8) है, जो भाजक (5) से बड़ा है। चरण 3: संख्या बराबर दिखे, फिर भी शेषफल की शर्त जरूर देखें।
Here (r) is the part left after division, so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Identify (q) and (r) separately. चरण 1: प्रमेय का रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें (r) वह भाग है जो विभाजन के बाद बचता है, इसलिए यह शेषफल है। चरण 3: (q) और (r) को अलग-अलग पहचानें।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient and (r) represents the remainder.
Step 3
Exam Tip
Remembering the meaning of symbols helps solve short questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है और (r) शेषफल को। चरण 3: अक्षरों का अर्थ याद रखने से छोटे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
A. भागफल और शेषफल के रूप में संख्या लिखने में/Writing a number in quotient and remainder form
Step 1
Concept
This lemma shows how to write a number using divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Its form is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
The same idea is also useful later in highest common factor questions. चरण 1: यह प्रमेयिका बताती है कि किसी संख्या को भाजक, भागफल और शेषफल की सहायता से कैसे लिखा जाता है। चरण 2: इसका रूप (a=bq+r) है। चरण 3: आगे महत्तम समापवर्तक के प्रश्नों में भी यही विचार काम आता है।
Link each symbol with its name to remember it well. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसी कारण (a) को भाज्य कहते हैं। चरण 3: चिन्हों को नामों से जोड़कर याद करें।
In \(20=6 \times 2+8\), remainder (8) is greater than divisor (6).
Step 3
Exam Tip
It is not enough for the sum to be correct; the remainder range must also be correct. चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(20=6 \times 2+8\) में शेषफल (8), भाजक (6) से बड़ा है। चरण 3: केवल योग सही होना काफी नहीं, शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
Now the number is exactly divisible by (8), so the remainder is (0). चरण 1: संख्या का रूप (8q+5) है। चरण 2: (3) जोड़ने पर (8q+8=8(q+1)) बनता है। चरण 3: अब संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित होगी, इसलिए शेषफल (0) है।
In the given form, (99) is on the left side, so the dividend is (99).
Step 3
Exam Tip
The dividend is the number being divided. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: दिए गए रूप में बाईं ओर (99) है, इसलिए भाज्य (99) है। चरण 3: भाज्य वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाता है।
A negative remainder or a remainder greater than (20) is not correct. चरण 1: \(20 \times 6=120\) है। चरण 2: (123-120=3), इसलिए \(123=20 \times 6+3\) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या (20) से बड़ा शेषफल सही नहीं होता।
When the dividend is smaller than the divisor, the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(29=50 \times 0+29\), and (29<50), so it is correct.
Step 3
Exam Tip
When a smaller number is divided by a larger number, the remainder can be the smaller number itself. चरण 1: जब भाज्य भाजक से छोटा हो, तो भागफल (0) होता है। चरण 2: \(29=50 \times 0+29\) और (29<50), इसलिए यह सही है। चरण 3: छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर शेषफल वही छोटी संख्या हो सकता है।
This is exactly divisible by (5), so the remainder is (0). चरण 1: मूल संख्या (5q+3) के रूप में होगी। चरण 2: (2) जोड़ने पर (5q+5=5(q+1)) बनेगा। चरण 3: यह (5) से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए शेषफल (0) होगा।
The remainder (4) is less than the divisor (6). चरण 1: \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (64-60=4), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही है। चरण 3: शेषफल (4) भाजक (6) से छोटा है।
Since (96) is greater than (95), the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
The quotient is the greatest integer whose product with the divisor does not exceed the dividend. चरण 1: \(12 \times 7=84\) और \(12 \times 8=96\) है। चरण 2: (96), (95) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल सबसे बड़ा ऐसा पूर्णांक होता है जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
(b) is the number by which division is done, so it is the divisor.
Step 3
Exam Tip
Keep the meaning of symbols clear to avoid calculation errors. चरण 1: रूप (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है, इसलिए यह भाजक है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ साफ रखें, इससे गणना में गलती कम होती है।
When a number is divided by (5), the remainder must be smaller than (5).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may also be (0), so the possible remainders are (0,1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Remember that a remainder is never equal to the divisor. चरण 1: किसी संख्या को (5) से भाग देने पर शेषफल (5) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: शेषफल (0) भी हो सकता है, इसलिए संभावित शेषफल (0,1,2,3,4) हैं। चरण 3: याद रखें, शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
(130) is greater than (121), so the quotient is (12).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, always take the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 12=120\) और \(10 \times 13=130\) है। चरण 2: (130), (121) से बड़ा है, इसलिए भागफल (12) है। चरण 3: भागफल के लिए हमेशा निकटतम छोटा गुणज लें।
To leave remainder (3) on division by (7), the form should be (7q+3).
Step 2
Why this answer is correct
\(45=7 \times 6+3\).
Step 3
Exam Tip
The remainder is less than the divisor, so (45) is correct. चरण 1: (7) से भाग देने पर शेषफल (3) चाहिए, इसलिए रूप (7q+3) होगा। चरण 2: \(45=7 \times 6+3\) है। चरण 3: शेषफल भाजक से छोटा है, इसलिए (45) सही है।
(112) is greater than (99), so the quotient is (7).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, choose a multiple less than or equal to the dividend. चरण 1: \(14 \times 7=98\) और \(14 \times 8=112\) है। चरण 2: (112), (99) से बड़ा है, इसलिए भागफल (7) होगा। चरण 3: भागफल के लिए भाज्य से छोटा या बराबर गुणज चुनें।
(35-32=3), so (r=3). चरण 1: \(4 \times 8=32\) और \(4 \times 9=36\) है। चरण 2: (36), (35) से बड़ा है, इसलिए (q=8) होगा। चरण 3: (35-32=3), इसलिए (r=3) है।
Therefore, the greatest possible remainder is (17).
Step 3
Exam Tip
In this type of question, the answer is one less than the divisor. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0 \le r < 18\) होगी। चरण 2: इसलिए सबसे बड़ा संभव शेषफल (17) है। चरण 3: इस प्रकार के प्रश्नों में उत्तर भाजक से एक कम होता है।
(76-72=4), so the quotient is (8) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
In exams, finally check that the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(9 \times 8=72\) और \(9 \times 9=81\) है। चरण 2: (76-72=4), इसलिए भागफल (8) और शेषफल (4) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम जांच करें कि शेषफल भाजक से छोटा है।
(73-72=1), so the remainder is (1) and quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the form where the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(8\times9=72\) है। चरण 2: (73-72=1), इसलिए शेषफल (1) और भागफल (9) है। चरण 3: शेषफल को भाजक से छोटा रखने वाला रूप ही चुनें।
Since (3) is less than (7), (q=7,\ r=3) is correct.
Step 3
Exam Tip
Reject negative remainders or remainders equal to the divisor. चरण 1: \(7\times7=49\) और (52-49=3)। चरण 2: (3), (7) से छोटा है, इसलिए (q=7,\ r=3) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक के बराबर शेषफल को तुरंत गलत मानें।
(50) is greater than (47), so the quotient is (4).
Step 3
Exam Tip
Decide the quotient using the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10 \times 4=40\) और \(10 \times 5=50\) है। चरण 2: (50), (47) से बड़ा है, इसलिए भागफल (4) होगा। चरण 3: भागफल निकटतम छोटे गुणज से तय करें।
In such forms, (q) can be an integer. चरण 1: (a=bq+r) में (b=4) और (r=1) रखें। चरण 2: इससे (a=4q+1) मिलेगा। चरण 3: ऐसे रूपों में (q) कोई पूर्णांक हो सकता है।
(60) is greater than (58), so the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient so that the product does not exceed the dividend. चरण 1: \(6 \times 9=54\) और \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (60), (58) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) होगा। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणज भाज्य से बड़ा न हो।
The remainder is added and remains less than the divisor. चरण 1: प्रमेयिका के अनुसार (a=bq+r) होता है। चरण 2: (b=12) और (r=5) रखने पर (a=12q+5) मिलता है। चरण 3: शेषफल हमेशा जोड़ा जाता है और भाजक से छोटा रहता है।
In zero-remainder questions, identify the multiple directly. चरण 1: \(63=7 \times 9+0\) में शेषफल (0) है। चरण 2: इसका अर्थ है (63), (7) से पूर्णतः विभाजित होता है। चरण 3: शून्य शेषफल वाले प्रश्नों में गुणज पहचानना आसान होता है।
Remainders start from (0) and go up to one less than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor is (6), so remainders from (0) to (5) are possible.
Step 3
Exam Tip
The remainder cannot be (6). चरण 1: शेषफल (0) से शुरू होकर भाजक से एक कम तक होता है। चरण 2: भाजक (6) है, इसलिए (0) से (5) तक शेषफल संभव हैं। चरण 3: शेषफल (6) नहीं हो सकता।
(45) is greater than (44), so the quotient is (4).
Step 3
Exam Tip
While choosing the quotient, do not take a multiple greater than the dividend. चरण 1: \(9 \times 4=36\) और \(9 \times 5=45\) है। चरण 2: (45), (44) से बड़ा है, इसलिए भागफल (4) होगा। चरण 3: भागफल चुनते समय भाज्य से बड़ा गुणज न लें।
Here the divisor is (5), so (r) can be (0) to (4).
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल हमेशा \(0 \le r < b\) के अनुसार होता है। चरण 2: यहां भाजक (5) है, इसलिए (r) के मान (0) से (4) तक हो सकते हैं। चरण 3: शेषफल कभी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 359 below 9264.
Step 2
Why this answer is correct
\(359\times25=8975\), so the remainder is (9264-8975=289).
Step 3
Exam Tip
With large numbers, the nearest lower multiple method saves time. चरण 1: 359 का 9264 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(359\times25=8975\), इसलिए शेषफल (9264-8975=289) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि समय बचाती है।
Find the nearest lower multiple of 221 below 6895.
Step 2
Why this answer is correct
\(221\times31=6851\), so the remainder is (6895-6851=44).
Step 3
Exam Tip
With large numbers, the nearest lower multiple method saves time. चरण 1: 221 का 6895 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(221\times31=6851\), इसलिए शेषफल (6895-6851=44) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि समय बचाती है।
Find the nearest lower multiple of 132 below 4217.
Step 2
Why this answer is correct
\(132\times31=4092\), so the remainder is (4217-4092=125).
Step 3
Exam Tip
For large numbers, the nearest lower multiple method is useful. चरण 1: 132 का 4217 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(132\times31=4092\), इसलिए शेषफल (4217-4092=125) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि उपयोगी रहती है।
\(41\times21=861\), so the remainder is (875-861=14).
Step 3
Exam Tip
The nearest lower multiple method saves time with larger numbers. चरण 1: 41 का 875 से छोटा निकट गुणज निकालें। चरण 2: \(41\times21=861\), इसलिए शेषफल (875-861=14) है। चरण 3: निकटतम छोटे गुणज की विधि बड़े अंकों में समय बचाती है।
\(36\times16=576\), so the remainder is (589-576=13).
Step 3
Exam Tip
For larger numbers, use the nearest lower multiple. चरण 1: 36 का 589 से छोटा निकट गुणज निकालें। चरण 2: \(36\times16=576\), इसलिए शेषफल (589-576=13) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज का उपयोग करें।
\(58\times12=696\), so (703=696+7), and 7 is valid.
Step 3
Exam Tip
Along with calculation, also check the range of the remainder. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 57 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(58\times12=696\), इसलिए (703=696+7) और 7 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी जांचनी चाहिए।
The nearest-multiple method saves time in large divisions. चरण 1: 45 का 728 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(45\times16=720\), इसलिए (728-720=8)। चरण 3: बड़े भाग में निकटतम गुणज विधि समय बचाती है।
The greatest multiple not exceeding 314 is 297, so the remainder is 17.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(27\times11=297\) और \(27\times12=324\) है। चरण 2: 314 से कम सबसे बड़ा गुणज 297 है, इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या भाजक से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
(41) is smaller than (60), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(41=60 \times 0+41\), and (41<60), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (41), (60) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(41=60 \times 0+41\) और (41<60), इसलिए रूप सही है। चरण 3: जब भाज्य छोटा हो, तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
If the leftover part is greater than the divisor, divide it again. चरण 1: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (12=9+3), इसलिए (9q+12=9(q+1)+3)। चरण 3: यदि बचा भाग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर से बाँटें।
The remainder should not be negative and must be less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
\(10 \times 8=80\) and the remainder is (9), so \(89=10 \times 8+9\).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: शेषफल को ऋणात्मक नहीं रखना है और (10) से छोटा रखना है। चरण 2: \(10 \times 8=80\) और शेषफल (9) है, इसलिए \(89=10 \times 8+9\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप यूक्लिड रूप नहीं माना जाएगा।
\(15 \times 6=90\) and (96-90=6), so the correct form is \(96=15 \times 6+6\).
Step 3
Exam Tip
Check not only equality but also the condition on the remainder. चरण 1: शेषफल (15) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(15 \times 6=90\) और (96-90=6), इसलिए सही रूप \(96=15 \times 6+6\) है। चरण 3: केवल बराबरी नहीं, शेषफल की शर्त भी जाँचें।
(60) is the correct smaller multiple and (64-60=4).
Step 3
Exam Tip
Since (4<6), \(64=6 \times 10+4\) is the correct form. चरण 1: \(6 \times 10=60\) और \(6 \times 11=66\) है। चरण 2: (60) सही छोटा गुणज है और (64-60=4)। चरण 3: (4<6), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही रूप है।
A. (3) से पूर्णतः विभाज्य/Exactly divisible by (3)
Step 1
Concept
The original number is (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) gives (3q+3=3(q+1)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the new number is exactly divisible by (3). चरण 1: मूल संख्या (3q+2) है। चरण 2: (1) जोड़ने पर (3q+3=3(q+1)) बनती है। चरण 3: इसलिए नई संख्या (3) से पूर्णतः विभाज्य होगी।
A. भाज्य भाजक से पूर्णतः विभाज्य है/The dividend is exactly divisible by the divisor
Step 1
Concept
Remainder (0) means nothing is left after division.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the dividend is exactly divisible by the divisor.
Step 3
Exam Tip
To identify exact divisibility, check the remainder. चरण 1: शेषफल (0) का अर्थ है कि कुछ भी बचा नहीं। चरण 2: इसलिए भाज्य, भाजक से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: पूर्ण विभाज्यता पहचानने के लिए शेषफल देखें।
When the product is exactly equal to the dividend, the remainder is (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\) है। चरण 2: इसलिए \(91=13 \times 7+0\) होगा। चरण 3: जब गुणनफल बिल्कुल भाज्य के बराबर हो, शेषफल (0) होता है।
The remainder of (a) is (5), so for (3a), check \(3 \times 5=15\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15=7 \times 2+1\), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In such questions, work with the remainder instead of the whole number. चरण 1: (a) का शेषफल (5) है, इसलिए (3a) के लिए \(3 \times 5=15\) देखें। चरण 2: \(15=7 \times 2+1\), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: ऐसे सवाल में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
\(23=11 \times 2+1\), so the new remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In addition-based questions, divide the new sum by the same divisor again. चरण 1: पुराने शेषफल (3) में (20) जोड़ें तो (23) मिलता है। चरण 2: \(23=11 \times 2+1\), इसलिए नया शेषफल (1) होगा। चरण 3: जोड़ वाले सवाल में नए योग को फिर उसी भाजक से बाँटें।
