The larger exponent is (3), so the decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Thinking of converting (250) to (1000) gives the same answer. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: हर (250) को (1000) बनाने की सोच से भी यही उत्तर मिलता है।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within three places.
Step 3
Exam Tip
Comparing exponents saves time in exams. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम तीन स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: घातों की तुलना करने की आदत परीक्षा में समय बचाती है।
Pay attention to the correct position of zeros in decimals. चरण 1: (250) को (1000) बनाने के लिए (4) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{9}{250}=\frac{36}{1000}=0.036\) है। चरण 3: दशमलव में शून्य की सही स्थिति पर ध्यान दें।
The denominator \(2^4\cdot 5^6\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete the deficiency of the prime with the smaller exponent. चरण 1: \(10^6=2^6\cdot 5^6\) होता है। चरण 2: हर \(2^4\cdot 5^6\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करेंगे। चरण 3: जिसकी घात कम हो, उसी की कमी पूरी करें।
एक बचत योजना में पहले महीने (250) रुपये जमा होते हैं और (20) महीनों की कुल बचत (19300) रुपये है। यदि हर महीने बचत समान रूप से बढ़ती है तो मासिक वृद्धि कितनी है?
The donation amounts are \(250,375,500,\ldots\) and \(S_n=9625\) gives (n=11). Exam tip: form an \(S_n\) equation for the target total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (11). The donation amounts are \(250,375,500,\ldots\) and \(S_n=9625\) gives (n=11). Exam tip: form an \(S_n\) equation for the target total.
Step 3
Exam Tip
दान राशि \(250,375,500,\ldots\) है और \(S_n=9625\) से (n=11)। परीक्षा में लक्ष्य कुल राशि के लिए \(S_n\) का समीकरण बनाएं।
Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (26460). Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
Step 3
Exam Tip
(12) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (26460) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The AP is \(56,63,\ldots,245\) with (28) terms, and the sum is (4214). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4214). The AP is \(56,63,\ldots,245\) with (28) terms, and the sum is (4214). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 3
Exam Tip
श्रेढ़ी \(56,63,\ldots,245\) है जिसमें (28) पद हैं और योग (4214) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
This is an AP with (a=1500), (d=250), (n=18), and the total is (65250). In word problems, treat each amount as a term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (65250). This is an AP with (a=1500), (d=250), (n=18), and the total is (65250). In word problems, treat each amount as a term.
Step 3
Exam Tip
यह (a=1500), (d=250), (n=18) वाली श्रेढ़ी है और कुल योग (65250) है। शब्द-प्रश्न में राशि को पद मानें।
The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1950). The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ।
The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3192). The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The terms are of the form (13+8(n-1)) and the greatest such term less than (250) is (245). In limit questions check the next term too.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (245). The terms are of the form (13+8(n-1)) and the greatest such term less than (250) is (245). In limit questions check the next term too.
Step 3
Exam Tip
पद (13+8(n-1)) के रूप में हैं और (250) से कम सबसे बड़ा ऐसा पद (245) है। सीमा वाले प्रश्न में अगले पद से भी जांच करें।
\(224=2^5\cdot 7\), so (5) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{1}{224}\). \(224=2^5\cdot 7\), so (5) non-repeating digits appear before the recurring part. For comparison, check the larger power of (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
\(224=2^5\cdot 7\) है इसलिए आवर्ती भाग से पहले (5) अनावर्ती अंक आएँगे। तुलना में (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates after (3) places. चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: हर में केवल (2) और (5) हैं। चरण 3: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा।
The smallest number exactly divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), and \(250=2\times5^3\), so LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\).
Step 3
Exam Tip
Multiply the highest powers carefully. चरण 1: सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(121=11^2\), \(144=2^4\times3^2\), \(250=2\times5^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\times11^2=2178000\) है। चरण 3: बड़ी घातों का गुणन सावधानी से करें।
25 and 10 are composite, so do not keep them in the final prime form. चरण 1: \(250=2\times125\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए \(250=2\times5^3\)। चरण 3: 25 और 10 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में न रखें।
After getting the answer, check that (28<37). चरण 1: पिछले हिसाब से (q=6) है। चरण 2: \(r=250-37 \times 6=250-222=28\)। चरण 3: उत्तर के बाद जाँचें कि (28<37) है।
(259) is greater than (250), so the quotient is (6).
Step 3
Exam Tip
Checking the next multiple helps choose the correct quotient. चरण 1: \(37 \times 6=222\) और \(37 \times 7=259\)। चरण 2: (259) (250) से बड़ा है, इसलिए भागफल (6) होगा। चरण 3: अगला गुणज जाँचने से भागफल सही चुना जाता है।
Let the numerator be (x) and denominator be (x+5). From \(\frac{x+3}{x+6}=\frac{2}{3}\), solve carefully and verify the original fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{7}{12}\). Let the numerator be (x) and denominator be (x+5). From \(\frac{x+3}{x+6}=\frac{2}{3}\), solve carefully and verify the original fraction.
Step 3
Exam Tip
अंश (x) और हर (x+5) लें। \(\frac{x+3}{x+6}=\frac{2}{3}\) से (x=3), इसलिए मूल भिन्न \(\frac{3}{8}\) नहीं; विकल्प जांचें।
Let the denominator be (y), so the numerator is (y-3). From \(\frac{y-1}{y+2}=\frac{4}{5}\), (y=13), so the fraction is \(\frac{10}{13}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{10}{13}\). Let the denominator be (y), so the numerator is (y-3). From \(\frac{y-1}{y+2}=\frac{4}{5}\), (y=13), so the fraction is \(\frac{10}{13}\).
Step 3
Exam Tip
मान लें हर (y) है तो अंश (y-3)। \(\frac{y-1}{y+2}=\frac{4}{5}\) से (y=13), इसलिए भिन्न \(\frac{10}{13}\) है।
Let the numerator be (x) and denominator be (y), giving (y-x=3) and \(\frac{x+2}{y+1}=\frac{3}{4}\). In exams, solve the simple linear equations after cross multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{7}{10}\). Let the numerator be (x) and denominator be (y), giving (y-x=3) and \(\frac{x+2}{y+1}=\frac{3}{4}\). In exams, solve the simple linear equations after cross multiplication.
Step 3
Exam Tip
अंश (x) और हर (y) मानकर (y-x=3) और \(\frac{x+2}{y+1}=\frac{3}{4}\) बनता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा के बाद सरल रैखिक समीकरण हल करें।
Let the numerator be (x) and denominator be (y), so (y=x+5) and \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{2}{3}\). In exams, cross multiply when converting a fraction into an equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{9}{14}\). Let the numerator be (x) and denominator be (y), so (y=x+5) and \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{2}{3}\). In exams, cross multiply when converting a fraction into an equation.
Step 3
Exam Tip
अंश (x) और हर (y) मानकर (y=x+5) और \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{2}{3}\) बनता है। परीक्षा में भिन्न को समीकरण में बदलते समय क्रॉस गुणा करें।
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\) है। पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाएं और फिर पूरा सरल करें।
For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
Step 3
Exam Tip
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा।
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (64). \(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\). Convert a terminating decimal to a fraction and reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.015625=\frac{15625}{1000000}=\frac{1}{64}\) है। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में देखें।
At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(10^9\). At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (9) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^9\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^9\) का भाजक होगा।
For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^8\cdot 5^3\). For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 3
Exam Tip
ठीक (8) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (8) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^8\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है।
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37). \(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\) है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं फिर सरल करें।
At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(10^7\). At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (7) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^7\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^7\) का भाजक होगा।
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (110). \(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\), so the denominator is (1100). In recurring decimals, the first denominator formed may not be final.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{63}=\frac{63}{9900}=\frac{7}{1100}\) है इसलिए हर (1100) है। आवर्ती दशमलव में पहले बना हर हमेशा अंतिम हर नहीं होता।
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3125). \(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\), so the denominator is (3125). Convert the decimal to a fraction and reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\) है इसलिए हर (3125) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर पूरा सरल करें।
For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^7\cdot 5^3\). For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
Step 3
Exam Tip
ठीक (7) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (7) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^7\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है।
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16). \(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\). Convert a terminating decimal to a fraction and always reduce the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(0.0625=\frac{625}{10000}=\frac{1}{16}\)। सांत दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में अवश्य देखें।
At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(10^5\). At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (5) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^5\) हर के साथ लिखा जा सकता है। सरलतम हर \(10^5\) का भाजक होगा।
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (1375). \(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\). The correct denominator is (275), so choose (275) from the options.
Step 3
Exam Tip
\(0.00\overline{72}=\frac{72}{9900}=\frac{2}{275}\)। सही हर (275) है, इसलिए विकल्पों में केवल (275) को चुनना चाहिए।
For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^6\cdot 5^2\). For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
Step 3
Exam Tip
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। केवल \(2^6\cdot 5^2\) में बड़ी घात (6) है।
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (22). \(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\)। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम उत्तर हमेशा सरल करें।
The full factor \(3^3\) cancels from the denominator, leaving \(2^3\cdot 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Decide the decimal type from the denominator left after cancellation. चरण 1: \(27=3^3\) है। चरण 2: हर का \(3^3\) पूरा कट जाएगा, इसलिए हर \(2^3\cdot 5^2\) बचेगा। चरण 3: कटौती के बाद बचे हर से ही दशमलव का प्रकार तय करें।
For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator must have a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\cdot 5\cdot 23\) contains (23). Hence it gives a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
Even one extra prime factor prevents termination. चरण 1: असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए। चरण 2: \(2^4\cdot 5\cdot 23\) में (23) मौजूद है। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव देगा। चरण 3: केवल एक अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड भी सांतता रोक देता है।
For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
For exact places, the larger exponent must match the required number. चरण 1: ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। चरण 3: ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए।
For exactly (4) decimal places, the larger power of (2) or (5) in the reduced denominator must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), so it gives exactly (4) places. \(80=2^4\cdot 5\) also gives (4) places, so the choices would need checking if only one answer is expected.
Step 3
Exam Tip
Factorise all options in such questions. चरण 1: ठीक (4) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(625=5^4\), इसलिए यह ठीक (4) स्थान देगा। \(80=2^4\cdot 5\) भी (4) स्थान देता है, पर एक से अधिक सही होने पर विकल्प जाँचनी होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातें निकालें।
The given denominator is \(2^5\cdot 5^8\), so it lacks \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
To form \(10^k\), increase the prime factor with the smaller exponent. चरण 1: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) होता है। चरण 2: दिए गए हर में \(2^5\cdot 5^8\) है, इसलिए \(2^3\) की कमी है। चरण 3: \(10^k\) बनाने के लिए कम घात वाले अभाज्य गुणनखंड को बढ़ाएँ।
The powers of (2) and (5) are (2) and (1), so the larger exponent is (2). The decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is given, check its exponents directly. चरण 1: \(20=2^2\cdot 5\) है। चरण 2: (2) की घात (2) और (5) की घात (1) है, इसलिए बड़ी घात (2) होगी। दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: सरलतम हर दिया हो तो सीधे उसकी घातें देखें।
\(45=3^2\cdot 5\), so \(\frac{45}{720}\) reduces to \(\frac{1}{16}\). The denominator is \(16=2^4\).
Step 3
Exam Tip
To get a target denominator, check which factors the numerator cancels. चरण 1: \(720=2^4\cdot 3^2\cdot 5\) है। चरण 2: \(45=3^2\cdot 5\), इसलिए \(\frac{45}{720}\) सरल होकर \(\frac{1}{16}\) बनता है। हर \(16=2^4\) है। चरण 3: लक्ष्य हर पाने के लिए देखें कि अंश कौन-कौन से गुणनखंड काट रहा है।
This equals \(\frac{1}{300}\). So the reduced denominator is (300).
Step 3
Exam Tip
Two zeros before the recurring digit introduce the effect of (100) in the denominator. चरण 1: \(0.00\overline{3}=0.003333\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{1}{300}\) के बराबर है। इसलिए सरलतम हर (300) है। चरण 3: आवर्ती अंक से पहले दो शून्य हों तो हर में (100) का प्रभाव आता है।
For exactly (5) decimal places, the larger exponent of (2) and (5) in the reduced denominator must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3125=5^5\), so it gives (5) places. (250) and (40) give fewer places, while \(1600=2^6\cdot 5^2\) gives (6) places.
Step 3
Exam Tip
Compare the prime exponents of the denominator. चरण 1: ठीक (5) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) और (5) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। चरण 2: \(3125=5^5\), इसलिए यह (5) स्थान देता है। (250) और (40) कम स्थान देते हैं, जबकि \(1600=2^6\cdot 5^2\) (6) स्थान देगा। चरण 3: हर के अभाज्य घातों की तुलना करें।
\(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
If a zero is part of the repeating block, count it as a digit. चरण 1: \(0.\overline{09}=\frac{09}{99}=\frac{9}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती भाग में शून्य हो तो भी उसे अंकों में गिनें।
\(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Break composite factors into primes first. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। चरण 2: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। चरण 3: संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें।
The greatest common factor of (48) and (10000) is (16), so \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). The denominator is (625).
Step 3
Exam Tip
Even for small decimals, reduce to lowest form. चरण 1: \(0.0048=\frac{48}{10000}\) है। चरण 2: (48) और (10000) का महत्तम सामान्य गुणनखंड (16) है, इसलिए \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\)। हर (625) है। चरण 3: छोटे दशमलव में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
Step 3
Exam Tip
The number of repeating digits tells the number of (9)'s. चरण 1: आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। चरण 2: पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है।
Therefore the decimal expansion is terminating. चरण 1: सरल करने के बाद हर (20) है। चरण 2: \(20=2^2\times5\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। चरण 3: इसलिए दशमलव समाप्त होगा।
A. हर में केवल (2) का गुणनखंड होगा/The denominator will have only factor (2)
Step 1
Concept
\(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
Always make the final decision from the reduced denominator. चरण 1: सरल करने के बाद हर (8) है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए हर में केवल (2) है। चरण 3: अंतिम निर्णय हमेशा घटे हुए हर से करें।
To make \(10^5\), the denominator should be \(2^5\times5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
It already has \(2^3\times5^5\), so it lacks \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Making the denominator a power of (10) reveals the decimal places clearly. चरण 1: \(10^5\) बनाने के लिए हर में \(2^5\times5^5\) चाहिए। चरण 2: पहले से \(2^3\times5^5\) है, इसलिए \(2^2\) की कमी है। चरण 3: हर को (10) की घात बनाने से दशमलव स्थान स्पष्ट हो जाते हैं।
A. हर में केवल (2) के गुणनखंड होंगे/The denominator will have only factors of (2)
Step 1
Concept
\(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
Hence the decimal terminates within (4) places. चरण 1: \(2500=2^2\times5^4\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है। चरण 3: इसलिए दशमलव अधिकतम (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
Check the denominator of the fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(14=2\times7\), and factor (7) prevents termination.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If (2) is joined by another prime like (7), the decimal will recur. चरण 1: सरल भिन्न में हर को जाँचते हैं। चरण 2: \(14=2\times7\), और (7) के कारण दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (2) के साथ कोई दूसरा अभाज्य जैसे (7) हो तो उत्तर आवर्ती होगा।
For a terminating decimal, the denominator must have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(100=2^2\times5^2\), so it is suitable.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Denominators like (10), (100), and (1000) give terminating decimals. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: \(100=2^2\times5^2\), इसलिए यह हर उपयुक्त है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (10), (100), (1000) जैसे हर समाप्त दशमलव देते हैं।
The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
In options, check denominator factors first. चरण 1: \(39=3\times13\) है। चरण 2: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: विकल्पों में पहले भाजक के गुणनखंड जांचें।
कथन: सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) का भाजक \(2^a5^b\) हो तो दशमलव विस्तार समाप्त होता है। कारण: ऐसी स्थिति में भाजक को \(10^k\) के रूप में बदला जा सकता है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
A denominator made of powers of (2) and (5) can be converted into a power of (10).
Step 2
Why this answer is correct
When the denominator becomes like \(10^k\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason also explains the assertion. चरण 1: (2) और (5) की घातों से बना भाजक (10) की घात में बदला जा सकता है। चरण 2: जब भाजक \(10^k\) जैसा हो जाता है, तो दशमलव समाप्त होता है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में देखें कि कारण सच होने के साथ कथन को समझा भी रहा है या नहीं।
For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
The remaining factors in lowest form decide the result. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं।
The factor (7) prevents termination, and because the number is rational, the decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
Even one extra prime factor stops termination. चरण 1: \(14=2\times7\) है। चरण 2: भाजक में (7) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: केवल एक अतिरिक्त गुणनखंड भी समाप्ति रोक देता है।
For a terminating decimal, the denominator must be made only from (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
So its form is \(2^m5^n\).
Step 3
Exam Tip
(m) or (n) may be zero, so only (2) or only (5) is also allowed. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। चरण 2: इसलिए उसका रूप \(2^m5^n\) होता है। चरण 3: (m) या (n) शून्य भी हो सकते हैं, इसलिए केवल (2) या केवल (5) भी चलेगा।
The exponent of (2) is (3) and the exponent of (5) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within three places.
Step 3
Exam Tip
Choose the larger exponent, not the smaller one. चरण 1: भाजक में (2) की घात (3) और (5) की घात (2) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम तीन स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी स्थितियों में छोटी नहीं, बड़ी घात चुनें।
Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,6+3\sqrt{3},\). Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें।
Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\sqrt{7}-\sqrt{5},\). Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करने पर हर (7-5=2) होता है और उत्तर \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में conjugate का प्रयोग करें।
Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\sqrt{3}+\sqrt{2},\). Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) से गुणा करने पर हर (3-2=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से गुणा करना न भूलें।
The fraction is \(\frac{x}{x+3}\). From \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\), (x=2) or (x=15), and among the options (2) is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2). The fraction is \(\frac{x}{x+3}\). From \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\), (x=2) or (x=15), and among the options (2) is correct.
Step 3
Exam Tip
भिन्न \(\frac{x}{x+3}\) है। \(\frac{x}{x+3}+\frac{x+3}{x}=\frac{29}{10}\) से (x=2) या (x=15) आता है और विकल्पों में (2) सही है।
Let the fraction be \(\frac{x}{x+4}\), then \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\). This gives (x=5), so the fraction is \(\frac{5}{9}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{5}{9}\). Let the fraction be \(\frac{x}{x+4}\), then \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\). This gives (x=5), so the fraction is \(\frac{5}{9}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न \(\frac{x}{x+4}\) हो, तो \(\frac{x}{x+4}+\frac{x+4}{x}=\frac{41}{20}\)। इससे (x=5), इसलिए भिन्न \(\frac{5}{9}\) है।
A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\) / For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\). The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
Step 3
Exam Tip
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है।
A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (5) places
Step 1
Concept
Since \(7^0=1\), the effective denominator is \(2^5\cdot 5^5=10^5\). The decimal terminates exactly after (5) places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (5) places. Since \(7^0=1\), the effective denominator is \(2^5\cdot 5^5=10^5\). The decimal terminates exactly after (5) places.
Step 3
Exam Tip
\(7^0=1\) है इसलिए प्रभावी हर \(2^5\cdot 5^5=10^5\) है। दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा।
Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{62}{2^4\cdot 5^3\cdot 31}\). Since \(62=2\cdot 31\), the factor (31) cancels and the reduced denominator is \(2^3\cdot 5^3\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(62=2\cdot 31\) है इसलिए (31) कट जाता है और सरल हर \(2^3\cdot 5^3\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें।
A. सांत और (5) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (5) places
Step 1
Concept
Both \(7^0\) and \(19^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^5\cdot 5^2\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत और (5) स्थानों पर समाप्त / Terminating after (5) places. Both \(7^0\) and \(19^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^5\cdot 5^2\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
\(7^0\) और \(19^0\) दोनों (1) हैं इसलिए प्रभावी हर \(2^5\cdot 5^2\) है। बड़ी घात (5) होने से दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा।
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (7) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (7) places. The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए।
Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{58}{2^3\cdot 5^2\cdot 29}\). Since \(58=2\cdot 29\), the factor (29) cancels and the reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\). If an extra prime appears, check cancellation first.
Step 3
Exam Tip
\(58=2\cdot 29\) है इसलिए (29) कट जाता है और सरल हर \(2^2\cdot 5^2\) बचता है। अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड दिखे तो पहले कटौती देखें।
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (4) places
Step 1
Concept
Both \(3^0\) and \(17^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^4\cdot 5^3\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त / Terminating after (4) places. Both \(3^0\) and \(17^0\) equal (1), so the effective denominator is \(2^4\cdot 5^3\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
\(3^0\) और \(17^0\) दोनों (1) हैं इसलिए प्रभावी हर \(2^4\cdot 5^3\) है। बड़ी घात (4) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\), so the denominator is (111). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\), so the denominator is (111). An initial zero inside the repeating block is also counted as a digit.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{045}=\frac{45}{999}=\frac{5}{111}\) है इसलिए हर (111) है। आवर्ती भाग में आरंभिक शून्य को भी अंक माना जाता है।
