A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\) / For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\). The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
Step 3
Exam Tip
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है।
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Step 1
Concept
The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) / \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\). The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
Step 3
Exam Tip
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें।
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) / \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\). The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
Step 3
Exam Tip
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं।
A. प्रत्यक्ष शासन में विदेशी प्रशासन अधिक खुला होता है जबकि अप्रत्यक्ष शासन स्थानीय मध्यस्थों से चलता है/Direct rule has more open foreign administration while indirect rule works through local intermediaries
Step 1
Concept
In indirect rule local rulers became a medium of colonial control. For exams remember Nigeria as an example.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रत्यक्ष शासन में विदेशी प्रशासन अधिक खुला होता है जबकि अप्रत्यक्ष शासन स्थानीय मध्यस्थों से चलता है / Direct rule has more open foreign administration while indirect rule works through local intermediaries. In indirect rule local rulers became a medium of colonial control. For exams remember Nigeria as an example.
Step 3
Exam Tip
अप्रत्यक्ष शासन में स्थानीय शासक औपनिवेशिक नियंत्रण का माध्यम बनते थे। परीक्षा में नाइजीरिया उदाहरण याद रखें।
A. स्थानीय विभाजनों का उपयोग कर संयुक्त विरोध कमजोर करना/Weakening united resistance by using local divisions
Step 1
Concept
This policy used social divisions for control. For exams also write its long term legacy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थानीय विभाजनों का उपयोग कर संयुक्त विरोध कमजोर करना / Weakening united resistance by using local divisions. This policy used social divisions for control. For exams also write its long term legacy.
Step 3
Exam Tip
यह नीति नियंत्रण के लिए सामाजिक विभाजन का उपयोग करती थी। परीक्षा में इसकी दीर्घकालिक विरासत भी लिखें।
B. व्यापारिक नियंत्रण से प्रत्यक्ष औपनिवेशिक राज्य की ओर बदलाव/Shift from commercial control to direct colonial state
Step 1
Concept
After company rule the British state ruled directly. For exams remember the sequence of East India Company and British Raj.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. व्यापारिक नियंत्रण से प्रत्यक्ष औपनिवेशिक राज्य की ओर बदलाव / Shift from commercial control to direct colonial state. After company rule the British state ruled directly. For exams remember the sequence of East India Company and British Raj.
Step 3
Exam Tip
कंपनी शासन के बाद ब्रिटिश राज्य ने सीधे शासन किया। परीक्षा में ईस्ट इंडिया कंपनी और ब्रिटिश राज का क्रम याद रखें।
A. कंपनी शासन में व्यापारिक कंपनी नियंत्रण करती थी जबकि राजकीय शासन में राज्य सीधे शासन करता था/In company rule a trading company controlled while in state rule the state ruled directly
Step 1
Concept
Company rule could change from trade to power. For exams remember the sequence of East India Company and British Raj.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कंपनी शासन में व्यापारिक कंपनी नियंत्रण करती थी जबकि राजकीय शासन में राज्य सीधे शासन करता था / In company rule a trading company controlled while in state rule the state ruled directly. Company rule could change from trade to power. For exams remember the sequence of East India Company and British Raj.
Step 3
Exam Tip
कंपनी शासन व्यापार से सत्ता में बदल सकता था। परीक्षा में ईस्ट इंडिया कंपनी और ब्रिटिश राज का क्रम याद रखें।
With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\). With rational coefficients, the conjugate of the irrational part is also a zero. Hence \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) is the other zero.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) दूसरा शून्यक है।
A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा/The other zero will be \(-\sqrt{13}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरा शून्यक \(-\sqrt{13}\) होगा / The other zero will be \(-\sqrt{13}\). For rational coefficients, the conjugate \(-\sqrt{13}\) of \(\sqrt{13}\) also appears when the linear coefficient is rational. This follows from \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(\sqrt{13}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{13}\) भी आता है, जब रैखिक गुणांक परिमेय हो। यह नियम \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) पर आधारित है।
Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,6+3\sqrt{3},\). Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें।
With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4-\sqrt{11}\). With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें।
The product (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7), so (k=7). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (7). The product (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7), so (k=7). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है, इसलिए (k=7) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें।
From the product \(k^2-7=9\), we get \(k^2=16\), and (k=4) fits the given form. In exams use the product to find the unknown.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4). From the product \(k^2-7=9\), we get \(k^2=16\), and (k=4) fits the given form. In exams use the product to find the unknown.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल \(k^2-7=9\) से \(k^2=16\) मिलता है और दिए रूप में (k=4) उपयुक्त है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\). The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है।
The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x-\(2-\sqrt{3}\)). The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
Step 3
Exam Tip
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें।
The sum is (2) and the product is (1-6=-5), so the polynomial is \(x^2-2x-5\). In exams use \(a^2-b^2\) for the product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-2x-5\). The sum is (2) and the product is (1-6=-5), so the polynomial is \(x^2-2x-5\). In exams use \(a^2-b^2\) for the product.
Step 3
Exam Tip
योग (2) और गुणनफल (1-6=-5) है, इसलिए बहुपद \(x^2-2x-5\) है। परीक्षा में गुणनफल में \(a^2-b^2\) लगाएं।
With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{7}\). With rational coefficients, \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक आता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों को तुरंत पहचानें।
For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3+\sqrt{5}\). For rational coefficients, irrational zeroes usually occur in conjugate pairs. Hence the companion zero of \(3-\sqrt{5}\) is \(3+\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक सामान्यतः संयुग्मी रूप में आते हैं। इसलिए \(3-\sqrt{5}\) का साथी शून्यक \(3+\sqrt{5}\) होगा।
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{5}+2\). \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण करें।
C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें/Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational
Step 1
Concept
In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें / Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational. In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में अपरिमेय शून्यक अपने संयुग्मी के साथ आता है। परीक्षा में अकेले अपरिमेय मूल पर संदेह करें।
Because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), the reciprocal is \(3-\sqrt{8}\). If the product is (1), the reciprocal is immediate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3-\sqrt{8}\). Because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), the reciprocal is \(3-\sqrt{8}\). If the product is (1), the reciprocal is immediate.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=9-8=1), इसलिए व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) होने पर व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है।
For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{3}\). For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है।
Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=1\), so \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\). In such questions, first find the sum and product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (62). Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=1\), so \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\). In such questions, first find the sum and product.
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=1\), इसलिए \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{64-2}{1}=62\)। ऐसे प्रश्नों में पहले योग और गुणनफल निकालें।
The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(1-\sqrt{3}\). The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
Step 3
Exam Tip
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है।
A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)/Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) / Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\). With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं।
The sum is \(4\sqrt{3}\) and the product is (\(2\sqrt{3}\)2-1=11). (S) equals the sum and (P) equals the product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(S=4\sqrt{3}\), (P=11). The sum is \(4\sqrt{3}\) and the product is (\(2\sqrt{3}\)2-1=11). (S) equals the sum and (P) equals the product.
Step 3
Exam Tip
योग \(4\sqrt{3}\) और गुणनफल (\(2\sqrt{3}\)2-1=11) है। (S) योग और (P) गुणनफल के बराबर है।
The constant term is the product, and (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5). In conjugate products, the irrational middle part cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (5). The constant term is the product, and (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5). In conjugate products, the irrational middle part cancels.
Step 3
Exam Tip
स्थिर पद गुणनफल है और (\(4+\sqrt{11}\)\(4-\sqrt{11}\)=16-11=5)। संयुग्मी गुणनफल में बीच का अपरिमेय भाग हट जाता है।
The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0). The other zero will be \(-\sqrt{7}\), so the sum is (0) and (a=-0=0). With rational coefficients, take the conjugate zero.
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक \(-\sqrt{7}\) होगा, इसलिए योग (0) और (a=-0=0) है। परिमेय गुणांक में संयुग्मी शून्यक लेना जरूरी है।
The product is (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}). Use \(a^2-b\) for conjugate products.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\frac{1}{2}\). The product is (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}). Use \(a^2-b\) for conjugate products.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल (\frac{\(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}) है। संयुग्मी गुणनफल में \(a^2-b\) प्रयोग करें।
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Step 1
Concept
For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\) / \(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\). For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है।
With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{3}\). With rational coefficients, the conjugate of an irrational zero is also a zero. So \(2-\sqrt{3}\) will be the other zero.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय शून्यक का संयुग्मी भी शून्यक होता है। इसलिए \(2-\sqrt{3}\) दूसरा शून्यक होगा।
The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय संख्या / Rational number. The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
Step 3
Exam Tip
योग \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\) है, जो परिमेय है। संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का योग अक्सर परिमेय होता है।
The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-12x+16\). The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
Step 3
Exam Tip
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है।
A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं/Sum is (2a) and product is \(a^2-5\)
Step 1
Concept
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं / Sum is (2a) and product is \(a^2-5\). (\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
Step 3
Exam Tip
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) और (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5)। यही बहुपद से मेल खाता है।
For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3-\sqrt{5}\). For a quadratic with rational coefficients, \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Remember this as the conjugate-zero rule.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में इसे संयुग्मी शून्यक नियम की तरह याद रखें।
The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5+\sqrt{6}}{19}\). The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(5+\sqrt{6}\) है और हर (25-6=19) बनता है। इसलिए पहला विकल्प सही है।
Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5+2\sqrt{6}\). Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) बनता है। अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है।
Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\). Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-2=3) हो जाता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है।
The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
Step 3
Exam Tip
पहला गुणनफल (25-6=19) है और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है।
Since (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), the reciprocal is \(2-\sqrt{3}\). Recognizing conjugates is a fast method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2-\sqrt{3}\). Since (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), the reciprocal is \(2-\sqrt{3}\). Recognizing conjugates is a fast method.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(2-\sqrt{3}\) है। संयुग्मी को पहचानना तेज तरीका है।
The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3-\sqrt{5}}{4}\). The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(3-\sqrt{5}\) है और हर (9-5=4) बनता है। परिमेयकरण में संयुग्मी से गुणा करें।
This is the difference of squares formula and the value is (15-6=9). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (9). This is the difference of squares formula and the value is (15-6=9). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
Step 3
Exam Tip
यह अंतर वर्ग सूत्र है और मान (15-6=9) मिलता है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है।
The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (6), गुणनफल (1) / Sum (6), product (1). The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (9-8=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है।
The radical terms cancel in the sum and the product is (4-3=1). This method is quick for conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (4), गुणनफल (1) / Sum (4), product (1). The radical terms cancel in the sum and the product is (4-3=1). This method is quick for conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (4-3=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है।
Multiplying by the conjugate makes the denominator rational. चरण 1: हर को \(\sqrt{5}-1\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करने पर हर परिमेय बन जाता है।
In the sum of squares of conjugates, irrational terms cancel. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी हैं। चरण 2: (x-2+y-2=2\(4^2+15\)=2(31)=62)। चरण 3: संयुग्मी वर्गों के योग में अपरिमेय पद कट जाते हैं।
A. दोनों अपरिमेय हैं और उनका गुणनफल परिमेय है/Both are irrational and their product is rational
Step 1
Concept
\(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) both contain an irrational part, so both are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (9-2=7), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Conjugate irrational numbers can have a rational product. चरण 1: \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) दोनों में अपरिमेय भाग है, इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणनफल (9-2=7) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है।
Therefore \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) is its reciprocal.
Step 3
Exam Tip
In reciprocals, keep the order and sign of the conjugate carefully. चरण 1: (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1)। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) इसका व्युत्क्रम है। चरण 3: व्युत्क्रम में संयुग्मी का क्रम और चिह्न सावधानी से रखें।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। चरण 2: इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। चरण 3: जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है।
In such forms, identify the difference of squares before expanding. चरण 1: यह संयुग्मी गुणन है। चरण 2: (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=13-12=1)। चरण 3: ऐसे रूपों में विस्तार करने से पहले अंतर के वर्ग को पहचानें।
\(a-6=\sqrt{5}-3\), so (a(a-6)=\(3+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-3\)=5-9=-4).
Step 3
Exam Tip
Recognize the hidden conjugate form. चरण 1: (a-2-6a=a(a-6)) है। चरण 2: \(a-6=\sqrt{5}-3\), इसलिए (a(a-6)=\(3+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-3\)=5-9=-4)। चरण 3: छिपे हुए संयुग्मी रूप को पहचानें।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (5-2=3), so the form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
For a sum of two surds, the conjugate changes the sign between them. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (5-2=3) बनता है, इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। चरण 3: दो मूलों के योग में संयुग्मी का चिह्न बदलता है।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
In (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2), the middle irrational terms cancel and the value is (2(5+2)=14).
Step 3
Exam Tip
When adding squares of conjugates, the middle terms vanish. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी रूप में हैं। चरण 2: (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2) में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं और मान (2(5+2)=14) मिलता है। चरण 3: दो संयुग्मी वर्गों का योग लेते समय बीच वाले पद नहीं बचते।
Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly. चरण 1: पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। चरण 2: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। चरण 3: संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें।
\(a-2=\sqrt{5}-1\), so (a(a-2)=\(1+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-1\)=4).
Step 3
Exam Tip
Recognizing the hidden conjugate form is a quick method. चरण 1: (a-2-2a=a(a-2)) है। चरण 2: \(a-2=\sqrt{5}-1\), इसलिए (a(a-2)=\(1+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-1\)=4)। चरण 3: छिपे हुए संयुग्मी रूप को पहचानना तेज तरीका है।
When multiplying by the conjugate, the numerator may become a full square. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{\(2+\sqrt{3}\)2}{4-3}=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करते समय ऊपर भी पूरा वर्ग बनता है।
With \(x=\sqrt{13}+2\), \(x-4=\sqrt{13}-2\), so the product is (13-4=9).
Step 3
Exam Tip
A conjugate form may be hidden in such expressions. चरण 1: (x-2-4x=x(x-4)) लिखें। चरण 2: \(x=\sqrt{13}+2\) होने पर \(x-4=\sqrt{13}-2\), इसलिए गुणन (13-4=9) है। चरण 3: ऐसे रूप में संयुग्मी छिपा हो सकता है।
View the product as (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
It gives (5-2=3).
Step 3
Exam Tip
You can rearrange the order of addition to recognize a conjugate form. चरण 1: गुणन को (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)) की तरह देखें। चरण 2: यह (5-2=3) देता है। चरण 3: जोड़ के क्रम को बदलकर संयुग्मी रूप पहचान सकते हैं।
In conjugate multiplication, you do not always need to simplify each radical first. चरण 1: (ab=\(\sqrt{8}\)2-\(\sqrt{18}\)2) है। चरण 2: (ab=8-18=-10), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन में मूलों को अलग-अलग सरल करना जरूरी नहीं होता।
Multiplying conjugate surds often removes the irrational part. चरण 1: यह ((u+v)(u-v)) के रूप में है। चरण 2: मान (11-3=8) आता है, जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणन अक्सर अपरिमेय भाग हटा देता है।
View (ab) as (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
This equals (\(\sqrt{3}\)2-\(\sqrt{2}\)2=3-2=1).
Step 3
Exam Tip
Since addition order does not change the sum, recognize the conjugate form. चरण 1: (ab=\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)) के रूप में देखा जा सकता है। चरण 2: यह (\(\sqrt{3}\)2-\(\sqrt{2}\)2=3-2=1) है। चरण 3: क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए संयुग्मी रूप पहचानें।
Choosing the correct conjugate sign is very important. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{2}-1\) है। चरण 2: (\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\(\sqrt{2}-1\)}{2-1}=2\sqrt{2}-2)। चरण 3: संयुग्मी का सही चिह्न चुनना बहुत जरूरी है।
