A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
By the prime rule, (q) is divisible by (3). चरण 1: (p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 2: \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास/From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives (q) also divisible by (5), so (q=5r).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है और (p=5k)। चरण 2: रखने पर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है, यानी (q=5r)। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
D. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलेगा/From \(p^2=5q^2\), we directly get (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) tells us divisibility of \(p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (p) is divisible by (5), but (p=5q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
In exams, writing (p=5k) is correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) की विभाज्यता पता चलती है। चरण 2: अभाज्य नियम से (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: परीक्षा में (p=5k) लिखना सही है।
A. कि भारतीय समाज स्वयं शासन करने में अक्षम था/That Indian society was incapable of self-rule
Step 1
Concept
Colonial thinking tried to show India as unfit for self-rule.
Step 2
Why this answer is correct
Mentioning ancient achievements became a way to prove Indian capability.
Step 3
Exam Tip
In exams identify the political use of history. चरण 1: औपनिवेशिक सोच भारत को शासन के योग्य नहीं दिखाना चाहती थी। चरण 2: प्राचीन उपलब्धियों का उल्लेख भारतीय समाज की क्षमता साबित करने का तरीका बना। चरण 3: परीक्षा में इतिहास के राजनीतिक उपयोग को पहचानें।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
Do not say only odd; mention primality for a complete proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। चरण 3: केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें।
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is the second divisibility step. चरण 1: (p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही दूसरा विभाज्यता कदम है।
Use the prime rule to move from square to original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं।
A. \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है/\(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs. चरण 1: \(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है।
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है/\(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the correct rule from square to original number. चरण 1: \(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं।
A. यह जीवन की बुनियादी जरूरत पर गरीबों से भी कर वसूलता था/It taxed even the poor on a basic necessity of life
Step 1
Concept
Salt was a basic necessity.
Step 2
Why this answer is correct
Taxing it burdened even the poor, so Gandhi made it a symbol of injustice.
Step 3
Exam Tip
Understand the moral criticism of taxation. चरण 1: नमक जीवन की जरूरी वस्तु थी। चरण 2: ऐसी वस्तु पर कर गरीबों के लिए भी बोझ बनता था इसलिए गांधीजी ने इसे अन्याय का प्रतीक बनाया। चरण 3: कर की नैतिक आलोचना को समझें।
A. लाभकारी वंशागत लक्षण पीढ़ियों में अधिक सामान्य हो सकते हैं/Useful inherited traits can become more common over generations
Step 1
Concept
Variation exists in a population.
Step 2
Why this answer is correct
Environment can make some traits more useful.
Step 3
Exam Tip
Such traits increase across generations and form adaptation. चरण 1: आबादी में विविधता होती है। चरण 2: वातावरण कुछ लक्षणों को अधिक लाभकारी बना सकता है। चरण 3: ऐसे लक्षण पीढ़ियों में बढ़कर अनुकूलन बनाते हैं।
A. स्थानीय समुदायों के भूमि उपयोग और ऐतिहासिक अधिकार/Land use and historical rights of local communities
Step 1
Concept
The language of empty land could make local rights invisible. For exams study maps and land claims together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थानीय समुदायों के भूमि उपयोग और ऐतिहासिक अधिकार / Land use and historical rights of local communities. The language of empty land could make local rights invisible. For exams study maps and land claims together.
Step 3
Exam Tip
खाली भूमि की भाषा स्थानीय अधिकारों को अदृश्य बना सकती थी। परीक्षा में नक्शा और भूमि दावे साथ पढ़ें।
A. क्योंकि क्षेत्रों पर बाहरी शक्तियों का प्रशासन जारी रहा/Because administration by outside powers continued over territories
Step 1
Concept
The mandate system continued old imperial control in a new form. For exams connect it with the League of Nations and post World War I.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि क्षेत्रों पर बाहरी शक्तियों का प्रशासन जारी रहा / Because administration by outside powers continued over territories. The mandate system continued old imperial control in a new form. For exams connect it with the League of Nations and post World War I.
Step 3
Exam Tip
मंडेट प्रणाली ने पुराने साम्राज्यवादी नियंत्रण को नए रूप में जारी रखा। परीक्षा में इसे राष्ट्र संघ और प्रथम विश्व युद्ध बाद से जोड़ें।
A. क्योंकि सैन्य दबाव से चीन पर विदेशी व्यापारिक शर्तें थोपी गईं/Because foreign commercial terms were imposed on China through military pressure
Step 1
Concept
The Opium Wars showed imperial pressure in the name of free trade. For exams remember Treaty of Nanking.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि सैन्य दबाव से चीन पर विदेशी व्यापारिक शर्तें थोपी गईं / Because foreign commercial terms were imposed on China through military pressure. The Opium Wars showed imperial pressure in the name of free trade. For exams remember Treaty of Nanking.
Step 3
Exam Tip
अफीम युद्धों ने मुक्त व्यापार के नाम पर साम्राज्यवादी दबाव दिखाया। परीक्षा में नानकिंग संधि याद रखें।
C. जर्मनी ने जर्मन भाषी एकता की भाषा में क्षेत्रीय विस्तार किया/Germany expanded territory using the language of German-speaking unity
Step 1
Concept
Anschluss linked ethnic unity claims with Nazi power expansion. For exams separate linguistic claims and strategic results.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. जर्मनी ने जर्मन भाषी एकता की भाषा में क्षेत्रीय विस्तार किया / Germany expanded territory using the language of German-speaking unity. Anschluss linked ethnic unity claims with Nazi power expansion. For exams separate linguistic claims and strategic results.
Step 3
Exam Tip
आनशलुस ने जातीय एकता के दावे को नाजी शक्ति विस्तार से जोड़ा। परीक्षा में भाषाई दावे और सामरिक परिणाम अलग करें।
The Nazi idea of Aryan superiority was based on racism. For exams connect it with the background of the Holocaust.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. नस्लवादी सोच / Racist thinking. The Nazi idea of Aryan superiority was based on racism. For exams connect it with the background of the Holocaust.
Step 3
Exam Tip
नाजी आर्य श्रेष्ठता का विचार नस्लवाद पर आधारित था। परीक्षा में इसे होलोकॉस्ट की पृष्ठभूमि से जोड़ें।
A. सभ्य और न्यायपूर्ण शासन का दावा/Claim of civilized and just rule
Step 1
Concept
Repression on nonviolent Satyagrahis affected world opinion. Exam tip is to link Dharasana with moral challenge.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभ्य और न्यायपूर्ण शासन का दावा / Claim of civilized and just rule. Repression on nonviolent Satyagrahis affected world opinion. Exam tip is to link Dharasana with moral challenge.
Step 3
Exam Tip
अहिंसक सत्याग्रहियों पर दमन ने विश्व जनमत को प्रभावित किया। परीक्षा में धरसाना को नैतिक चुनौती से जोड़ें।
A. शैलकृत मंदिर प्रयोग का आत्मबोध/Consciousness of rock cut temple experiment
Step 1
Concept
The Mandagapattu inscription shows Pallava experimentation in rock cut architecture. For exams, connect it with Mahendravarman I.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शैलकृत मंदिर प्रयोग का आत्मबोध / Consciousness of rock cut temple experiment. The Mandagapattu inscription shows Pallava experimentation in rock cut architecture. For exams, connect it with Mahendravarman I.
Step 3
Exam Tip
मंडगपट्टु लेख पल्लव शैलकृत स्थापत्य की प्रयोगशीलता दिखाता है। परीक्षा में इसे महेंद्रवर्मन प्रथम से जोड़ें।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
A. क्योंकि निहत्थी सभा पर बिना चेतावनी के गोली चलवाई गई/Because an unarmed gathering was fired upon without warning
Step 1
Concept
People at Jallianwala Bagh were unarmed.
Step 2
Why this answer is correct
General Dyer ordered firing on them.
Step 3
Exam Tip
This exposed the cruelty and injustice of British rule. चरण 1: जलियांवाला बाग में लोग निहत्थे थे। चरण 2: जनरल डायर ने उन पर गोली चलवाई। चरण 3: इससे ब्रिटिश शासन की क्रूरता और अन्याय स्पष्ट हुआ।
C. स्वतंत्रता और जनसत्ता/Liberty and popular sovereignty
Step 1
Concept
Under absolutism the role of people is limited.
Step 2
Why this answer is correct
Revolutionaries made liberty and popular power their message.
Step 3
Exam Tip
In questions on European impact treat these ideas as central. चरण 1: निरंकुश शासन में जनता की भूमिका सीमित होती है। चरण 2: क्रांतिकारियों ने स्वतंत्रता और जनता की शक्ति को अपना संदेश बनाया। चरण 3: यूरोपीय प्रभाव वाले प्रश्नों में इन विचारों को मुख्य मानें।
A. निरंकुश शासन के विरोध और राष्ट्रवादी अधिकारों से/Opposition to absolutist rule and nationalist rights
Step 1
Concept
Revolutionaries opposed absolutist rule.
Step 2
Why this answer is correct
They wanted to connect people with rights and national feeling.
Step 3
Exam Tip
Link this claim with the spread of revolutionary nationalism. चरण 1: क्रांतिकारी निरंकुश शासन का विरोध करते थे। चरण 2: वे लोगों को अधिकार और राष्ट्र की भावना से जोड़ना चाहते थे। चरण 3: इस दावे को क्रांतिकारी राष्ट्रवाद के प्रसार से जोड़ें।
A. वे कहती थीं कि वे सभ्यता, व्यवस्था और प्रगति ला रही हैं/They claimed they were bringing civilisation, order, and progress
Step 1
Concept
Imperial powers wanted to present their control as moral.
Step 2
Why this answer is correct
So they used arguments of civilisation and progress.
Step 3
Exam Tip
In exams, identify the benefit and control hidden behind such claims. चरण 1: साम्राज्यवादी शक्तियां अपने नियंत्रण को नैतिक दिखाना चाहती थीं। चरण 2: इसलिए वे सभ्यता और प्रगति जैसे तर्क देती थीं। चरण 3: परीक्षा में ऐसे दावों के पीछे छिपे लाभ और नियंत्रण को पहचानें।
A. वे सभ्यता और प्रगति फैलाने का दावा करती थीं/They claimed to spread civilization and progress
Step 1
Concept
Imperial powers wanted to present their rule as right.
Step 2
Why this answer is correct
They described it as spreading civilization and progress.
Step 3
Exam Tip
In reality economic and political control was central. चरण 1: साम्राज्यवादी शक्तियां अपने शासन को सही दिखाना चाहती थीं। चरण 2: वे इसे सभ्यता और प्रगति फैलाने का कार्य बताती थीं। चरण 3: परंतु वास्तविकता में आर्थिक और राजनीतिक नियंत्रण प्रमुख था।
A. दूर पेड़ छोटे हल्के और कम विस्तृत हैं इसलिए दूरी बनती है/Far trees are small light and less detailed so distance is created
Step 1
Concept
For depth write both cues and effect. Exam tip: give multiple depth cues.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूर पेड़ छोटे हल्के और कम विस्तृत हैं इसलिए दूरी बनती है / Far trees are small light and less detailed so distance is created. For depth write both cues and effect. Exam tip: give multiple depth cues.
Step 3
Exam Tip
गहराई के लिए संकेत और प्रभाव दोनों लिखें। परीक्षा में multiple depth cues दें।
A. अनियमित दानेदार निशान पत्थर की खुरदरी सतह दिखाते हैं/Irregular grainy marks show rough stone surface
Step 1
Concept
Texture analysis should include visible marks and surface effect. Exam tip: evidence is necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनियमित दानेदार निशान पत्थर की खुरदरी सतह दिखाते हैं / Irregular grainy marks show rough stone surface. Texture analysis should include visible marks and surface effect. Exam tip: evidence is necessary.
Step 3
Exam Tip
बनावट विश्लेषण में दृश्य चिह्न और सतह प्रभाव दोनों लिखें। परीक्षा में evidence जरूरी है।
A. गहरे मान संकरे स्थान और झुकी रेखाएं तनाव का वातावरण बनाती हैं/Dark values tight space and sloping lines create tense atmosphere
Step 1
Concept
Evidence-based conclusion explains effect through visible elements. Exam tip: write evidence plus conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गहरे मान संकरे स्थान और झुकी रेखाएं तनाव का वातावरण बनाती हैं / Dark values tight space and sloping lines create tense atmosphere. Evidence-based conclusion explains effect through visible elements. Exam tip: write evidence plus conclusion.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण आधारित निष्कर्ष visible elements से effect बताता है। परीक्षा में evidence plus conclusion लिखें।
A. चित्र में दिखने वाले तत्व और उनका प्रभाव/Visible elements in picture and their effect
Step 1
Concept
Visual evidence makes review strong. Exam tip: write evidence-based analysis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. चित्र में दिखने वाले तत्व और उनका प्रभाव / Visible elements in picture and their effect. Visual evidence makes review strong. Exam tip: write evidence-based analysis.
Step 3
Exam Tip
दृश्य प्रमाण समीक्षा को मजबूत बनाता है। परीक्षा में evidence based analysis लिखें।
A. दिखने वाला तत्व उसका प्रमाण और प्रभाव/Visible element its evidence and effect
Step 1
Concept
Evidence-based answer tells observation and effect. Exam tip: give observation and reason together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दिखने वाला तत्व उसका प्रमाण और प्रभाव / Visible element its evidence and effect. Evidence-based answer tells observation and effect. Exam tip: give observation and reason together.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण आधारित उत्तर वस्तुस्थिति और प्रभाव दोनों बताता है। परीक्षा में observation और reason साथ दें।
A. दिखने वाले तत्वों का नाम और उनका प्रभाव बताना/Naming visible elements and explaining their effect
Step 1
Concept
Good analysis gives both observation and reason. Exam tip: write evidence plus effect.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दिखने वाले तत्वों का नाम और उनका प्रभाव बताना / Naming visible elements and explaining their effect. Good analysis gives both observation and reason. Exam tip: write evidence plus effect.
Step 3
Exam Tip
अच्छा विश्लेषण अवलोकन और कारण दोनों देता है। परीक्षा में evidence plus effect लिखें।
A. किसी प्रमाण का न मिलना हमेशा घटना की अनुपस्थिति सिद्ध नहीं करता/Absence of evidence does not always prove absence of an event
Step 1
Concept
Conclusions should be drawn carefully when evidence is absent. For exams, understand the limits of silent sources.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. किसी प्रमाण का न मिलना हमेशा घटना की अनुपस्थिति सिद्ध नहीं करता / Absence of evidence does not always prove absence of an event. Conclusions should be drawn carefully when evidence is absent. For exams, understand the limits of silent sources.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण न मिलने के कारण निष्कर्ष सावधानी से निकालना चाहिए। परीक्षा में मौन स्रोतों की सीमा समझें।
B. शिकार से पशुपालन की ओर संक्रमण/Transition from hunting to animal domestication
Step 1
Concept
Adamgarh gives clues about animal use and changing lifeways. For exams, connect bone evidence with economic history.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. शिकार से पशुपालन की ओर संक्रमण / Transition from hunting to animal domestication. Adamgarh gives clues about animal use and changing lifeways. For exams, connect bone evidence with economic history.
Step 3
Exam Tip
आदमगढ़ से पशु उपयोग और जीवन पद्धति में बदलाव के संकेत मिलते हैं। परीक्षा में अस्थि प्रमाण को आर्थिक इतिहास से जोड़ें।
B. क्योंकि उनकी मूल रचना समान होती है पर कार्य अलग हो सकते हैं/Because their basic structure is similar but functions may differ
Step 1
Concept
Homologous organs have a similar basic plan.
Step 2
Why this answer is correct
They may perform different functions in different environments.
Step 3
Exam Tip
This points toward common ancestry. चरण 1: समजात अंगों की मूल योजना समान होती है। चरण 2: वे अलग अलग वातावरण में अलग कार्य करने लगे हो सकते हैं। चरण 3: यह समान पूर्वज की ओर संकेत करता है।
A. क्योंकि वे समान कार्य के लिए अलग उत्पत्ति से बने हो सकते हैं/Because they may arise from different origins for similar functions
Step 1
Concept
Analogous organs perform similar functions.
Step 2
Why this answer is correct
Their basic structure and origin may be different.
Step 3
Exam Tip
Therefore they are not as strong evidence of common ancestry as homologous organs. चरण 1: समरूप अंग समान कार्य करते हैं। चरण 2: उनकी मूल संरचना और उत्पत्ति अलग हो सकती है। चरण 3: इसलिए वे समान पूर्वज का उतना मजबूत प्रमाण नहीं देते जितना समजात अंग देते हैं।
A. क्योंकि हर जीव जीवाश्म के रूप में सुरक्षित नहीं होता/Because every organism is not preserved as a fossil
Step 1
Concept
Fossils are remains or traces of ancient organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Special conditions are needed for fossil formation.
Step 3
Exam Tip
Therefore fossils alone do not give the full history of all organisms. चरण 1: जीवाश्म पुराने जीवों के अवशेष या निशान हैं। चरण 2: जीवाश्म बनने के लिए विशेष परिस्थितियां चाहिए। चरण 3: इसलिए सभी जीवों का पूरा इतिहास केवल जीवाश्मों से नहीं मिलता।
A. जीवाश्म समय क्रम बताते हैं और समजात अंग संबंधों की संरचनात्मक झलक देते हैं/Fossils show time sequence and homologous organs give structural clues of relationships
Step 1
Concept
Fossils give information about ancient organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Homologous organs show similarity in basic structure.
Step 3
Exam Tip
Together they explain evolutionary relationships more strongly. चरण 1: जीवाश्म पुराने जीवों की जानकारी देते हैं। चरण 2: समजात अंग मूल संरचना की समानता दिखाते हैं। चरण 3: दोनों मिलकर विकास संबंध को अधिक मजबूत तरीके से समझाते हैं।
A. क्योंकि समानताओं के साथ जीवाश्म संरचना और अन्य प्रमाण भी देखने पड़ते हैं/Because along with similarities fossils structure and other evidence must also be studied
Step 1
Concept
Classification arranges similarities among organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Similarity can suggest evolutionary relationship.
Step 3
Exam Tip
Correct conclusions require several types of evidence together. चरण 1: वर्गीकरण जीवों की समानताओं को व्यवस्थित करता है। चरण 2: समानता विकास संबंध का संकेत दे सकती है। चरण 3: सही निष्कर्ष के लिए कई प्रकार के प्रमाण साथ देखने चाहिए।
A. वे पुराने जीवों और समय क्रम में बदलावों की जानकारी देते हैं/They provide information about ancient organisms and changes through time
Step 1
Concept
All organisms do not become fossils so evidence may be incomplete.
Step 2
Why this answer is correct
Still found fossils indicate ancient life.
Step 3
Exam Tip
Layers can help understand the sequence of changes. चरण 1: सभी जीव जीवाश्म नहीं बनते इसलिए प्रमाण अधूरे हो सकते हैं। चरण 2: फिर भी मिले जीवाश्म पुराने जीवन का संकेत देते हैं। चरण 3: परतों के आधार पर बदलावों का क्रम समझा जा सकता है।
A. वे पुराने और नए जीवों के बीच बदलावों की कड़ी दिखाते हैं/They show links of change between older and newer organisms
Step 1
Concept
Fossils are remains or traces of ancient organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Comparing fossils from different times helps us understand a sequence of changes.
Step 3
Exam Tip
Therefore, they provide evidence for evolution. चरण 1: फॉसिल पुराने जीवों के अवशेष या निशान होते हैं। चरण 2: अलग अलग समय के फॉसिलों की तुलना से बदलावों का क्रम समझ आता है। चरण 3: इसलिए वे विकास की दिशा के प्रमाण देते हैं।
A. क्योंकि वे पुराने जीवों के संकेत देते हैं पर सभी जीव जीवाश्म नहीं बनते/Because they show signs of ancient organisms but not all organisms become fossils
Step 1
Concept
Fossils are remains or traces of ancient organisms.
Step 2
Why this answer is correct
They give important evidence of evolution.
Step 3
Exam Tip
But every organism does not become a preserved fossil so other evidence is also studied. चरण 1: जीवाश्म पुराने जीवों के अवशेष या निशान हैं। चरण 2: वे विकास का महत्वपूर्ण प्रमाण देते हैं। चरण 3: लेकिन हर जीव सुरक्षित जीवाश्म नहीं बनता इसलिए अन्य प्रमाण भी देखे जाते हैं।
A. वे पुराने जीवों के अस्तित्व और बदलावों का संकेत देते हैं/They indicate existence and changes of ancient organisms
Step 1
Concept
Fossils are remains or traces of ancient organisms.
Step 2
Why this answer is correct
They show which organisms existed earlier.
Step 3
Exam Tip
Fossils from different times tell the story of change. चरण 1: जीवाश्म पुराने जीवों के अवशेष या निशान होते हैं। चरण 2: उनसे पता चलता है कि पहले कौन से जीव थे। चरण 3: विभिन्न कालों के जीवाश्म बदलावों की कहानी बताते हैं।
A. जीवाश्म पुराने जीवन को दिखाते हैं और समजात अंग समान पूर्वज का संकेत देते हैं/Fossils show ancient life and homologous organs suggest common ancestry
Step 1
Concept
Fossils show which organisms existed earlier.
Step 2
Why this answer is correct
Homologous organs show similarity in basic structure.
Step 3
Exam Tip
Together they help understand evolutionary relationships. चरण 1: जीवाश्म बताते हैं कि पहले कौन से जीव थे। चरण 2: समजात अंग मूल संरचना की समानता बताते हैं। चरण 3: दोनों मिलकर विकास संबंधों को समझने में मदद करते हैं।
A. वे पुराने जीवों और समय के साथ बदलावों की जानकारी देते हैं/They give information about ancient organisms and changes over time
Step 1
Concept
Fossils are remains or traces of ancient organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Different rock layers can contain organisms of different times.
Step 3
Exam Tip
This helps understand gradual changes in organisms. चरण 1: जीवाश्म प्राचीन जीवों के अवशेष या चिह्न होते हैं। चरण 2: चट्टानों की अलग परतों में अलग समय के जीव मिल सकते हैं। चरण 3: इससे जीवों के क्रमिक बदलाव समझे जाते हैं।
A. अघुलनशील ठोस बनने पर/Formation of an insoluble solid
Step 1
Concept
In precipitation a solid separates from solution.
Step 2
Why this answer is correct
This solid is insoluble in water.
Step 3
Exam Tip
Therefore formation of an insoluble solid is the main visible evidence. चरण 1: अवक्षेपण में ठोस विलयन से अलग होता है। चरण 2: यह ठोस जल में अघुलनशील होता है। चरण 3: इसलिए अघुलनशील ठोस बनना मुख्य दर्शनीय प्रमाण है।
Its white precipitate gives visible evidence. चरण 1: अभिक्रिया में आयनों का आदान प्रदान होता है। चरण 2: बेरियम सल्फेट जल में अघुलनशील होता है। चरण 3: इसलिए उसका सफेद अवक्षेप दर्शनीय प्रमाण देता है।
A. केवल पदार्थ का स्थान बदलना/Only change in position of a substance
Step 1
Concept
Signs of new substance formation are observed in chemical reactions.
Step 2
Why this answer is correct
Gas colour change or precipitate can be such signs.
Step 3
Exam Tip
Only change in position is not evidence of new substance formation. चरण 1: रासायनिक अभिक्रिया में नए पदार्थ बनने के संकेत देखे जाते हैं। चरण 2: गैस रंग या अवक्षेप ऐसे संकेत हो सकते हैं। चरण 3: केवल स्थान बदलना नए पदार्थ बनने का प्रमाण नहीं है।
Adding the two equations gives (2p=24), so (p=12) and (q=5). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((12,5)). Adding the two equations gives (2p=24), so (p=12) and (q=5). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2p=24), इसलिए (p=12) और (q=5)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं।
Adding the two equations gives (2p=18), so (p=9) and (q=4). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((9,4)). Adding the two equations gives (2p=18), so (p=9) and (q=4). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2p=18), इसलिए (p=9) और (q=4)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं।
From the first equation, (s=10-2r). Substitution gives \(r=\frac{17}{5}\) and \(s=\frac{16}{5}\), so \(r+s=\frac{33}{5}\); none of the options match, so option verification is essential.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). From the first equation, (s=10-2r). Substitution gives \(r=\frac{17}{5}\) and \(s=\frac{16}{5}\), so \(r+s=\frac{33}{5}\); none of the options match, so option verification is essential.
Step 3
Exam Tip
पहले से (s=10-2r), रखने पर (r-2(10-2r)=-3), इसलिए \(r=\frac{17}{5}\) और \(s=\frac{16}{5}\)। अतः \(r+s=\frac{33}{5}\), इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं; ऐसे प्रश्न में विकल्प-सत्यापन जरूरी है।
Adding the two equations gives (2a=10), so (a=5) and (b=4). Coordinates of an intersection satisfy both equations together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((5,4)). Adding the two equations gives (2a=10), so (a=5) and (b=4). Coordinates of an intersection satisfy both equations together.
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2a=10), इसलिए (a=5) और (b=4)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं।
For intersection on the (y)-axis, (x=0) is needed. In the correct option, putting (x=0) gives (y=4) in both equations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+y=4), (2x-y=-4). For intersection on the (y)-axis, (x=0) is needed. In the correct option, putting (x=0) gives (y=4) in both equations.
Step 3
Exam Tip
(y)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए (x=0) होना चाहिए। विकल्प में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=4) देते हैं।
Since \(6^2<37<7^2\), \(6<\sqrt{37}<7\) and \(0<\sqrt{37}-6<1\). Subtract the same number from a root interval to locate the value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0) और (1) / (0) and (1). Since \(6^2<37<7^2\), \(6<\sqrt{37}<7\) and \(0<\sqrt{37}-6<1\). Subtract the same number from a root interval to locate the value.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(6^2<37<7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{37}<7\) और \(0<\sqrt{37}-6<1\) है। वर्गमूल वाले अंतराल में समान संख्या घटाकर स्थिति पाएं।
We get (a=4), and \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) gives (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), which is not among the options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{37}{8}\). We get (a=4), and \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) gives (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), which is not among the options.
Step 3
Exam Tip
(a=4) और \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) से (b=3) है। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), अतः विकल्पों में यह मान नहीं है।
Multiplying both sides by \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\), we get (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b). In exams, apply the conjugate product directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1). Multiplying both sides by \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\), we get (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b). In exams, apply the conjugate product directly.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से गुणा करने पर (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b)। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल सीधे लगाएं।
From \(2^{a}=2^{4}\), (a=4), and from \(4^{b}=4^{3}\), (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), so the listed magnitude is (17).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (17). From \(2^{a}=2^{4}\), (a=4), and from \(4^{b}=4^{3}\), (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), so the listed magnitude is (17).
Step 3
Exam Tip
\(2^{a}=2^{4}\) से (a=4), और \(4^{b}=4^{3}\) से (b=3)। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), अतः दिए विकल्पों में परिमाण (17) है।
From \(2^{a}=2^{3}\), (a=3), and from \(3^{b}=3^{4}\), (b=4), so \(a^{b}=3^{4}=81\). In exams, compare powers using equal bases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (81). From \(2^{a}=2^{3}\), (a=3), and from \(3^{b}=3^{4}\), (b=4), so \(a^{b}=3^{4}=81\). In exams, compare powers using equal bases.
Step 3
Exam Tip
\(2^{a}=2^{3}\) से (a=3) और \(3^{b}=3^{4}\) से (b=4), इसलिए \(a^{b}=3^{4}=81\)। परीक्षा में घातों की तुलना समान आधार पर करें।
Let breadth be (x), then increase is ((x+5)(x+15)-x(x+10)=350). This gives (10x+75=350), so (x=27.5), hence no listed option is exact.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (27 m\(). Let breadth be (x), then increase is ((x+5)(x+15)-x(x+10)=350). This gives (10x+75=350), so (x=27.5), hence no listed option is exact.\)
Step 3
Exam Tip
चौड़ाई (x) हो, तो वृद्धि ((x+5)(x+15)-x(x+10)=350)। इससे (10x+75=350), इसलिए (x=27.5), अतः दिए विकल्पों में कोई सही नहीं।
The cost price is (1200-200=1000), and profit percentage is \(\frac{200}{1000}\times100=20\). This does not match \(\frac{1000}{20}=50\), so the statement is inconsistent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (₹1000). The cost price is (1200-200=1000), and profit percentage is \(\frac{200}{1000}\times100=20\). This does not match \(\frac{1000}{20}=50\), so the statement is inconsistent.
Step 3
Exam Tip
क्रय मूल्य (1200-200=1000) है और लाभ प्रतिशत \(\frac{200}{1000}\times100=20\) है। यह दी गई शर्त \(\frac{1000}{20}=50\) से मेल नहीं खाती, इसलिए कथन असंगत है।
From (1) to (9), (9) digits are used, and from (10) to (99), (180) digits are used. The remaining (83) digits do not make complete three-digit pages, so this data is inconsistent for a whole page count.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (127). From (1) to (9), (9) digits are used, and from (10) to (99), (180) digits are used. The remaining (83) digits do not make complete three-digit pages, so this data is inconsistent for a whole page count.
Step 3
Exam Tip
(1) से (9) तक (9) अंक और (10) से (99) तक (180) अंक लगते हैं। शेष (83) अंक तीन अंकों के पन्नों के लिए हैं, इसलिए पूर्ण पन्नों की संख्या (27) और (n=126) है।
A. कभी वास्तविक मूल नहीं होंगे/It will never have real roots
Step 1
Concept
Here (D=4(2y-1)2-4\(4y^2+3\)=-16y-8), which is not negative for all (y). So this conclusion is not universally valid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कभी वास्तविक मूल नहीं होंगे / It will never have real roots. Here (D=4(2y-1)2-4\(4y^2+3\)=-16y-8), which is not negative for all (y). So this conclusion is not universally valid.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=4(2y-1)2-4\(4y^2+3\)=-16y-8<0) केवल सभी (y) पर नहीं है। इसलिए यह निष्कर्ष गलत होगा।
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे/Roots will always be real and distinct
Step 1
Concept
For every real (r), \(2r^2+3>0\). Therefore the roots will always be real and distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे / Roots will always be real and distinct. For every real (r), \(2r^2+3>0\). Therefore the roots will always be real and distinct.
Step 3
Exam Tip
किसी भी वास्तविक (r) के लिए \(2r^2+3>0\) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे।
A. क्योंकि \(D=9q^2-2q+1>0\)/Because \(D=9q^2-2q+1>0\)
Step 1
Concept
Here (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1). Its own discriminant ((-2)2-4(9)(1)<0), so it is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(D=9q^2-2q+1>0\) / Because \(D=9q^2-2q+1>0\). Here (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1). Its own discriminant ((-2)2-4(9)(1)<0), so it is always positive.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (D=(3q+1)2-8q=9q-2-2q+1) है। इसका अपना विविक्तकर ((-2)2-4(9)(1)<0) और मान सदैव धनात्मक है।
A. योग (a+2) और गुणनफल (2a) है/Sum is (a+2) and product is (2a)
Step 1
Concept
The roots (2) and (a) have sum (a+2) and product (2a). Therefore the given monic equation is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (a+2) और गुणनफल (2a) है / Sum is (a+2) and product is (2a). The roots (2) and (a) have sum (a+2) and product (2a). Therefore the given monic equation is correct.
Step 3
Exam Tip
मूल (2) और (a) का योग (a+2) तथा गुणनफल (2a) है। इसलिए दिया गया मोनिक समीकरण सही बनता है।
A. योग (a+1) और गुणनफल (a) है/Sum is (a+1) and product is (a)
Step 1
Concept
The roots (1) and (a) have sum (a+1) and product (a). Therefore the monic equation is (x-2-(a+1)x+a=0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (a+1) और गुणनफल (a) है / Sum is (a+1) and product is (a). The roots (1) and (a) have sum (a+1) and product (a). Therefore the monic equation is (x-2-(a+1)x+a=0).
Step 3
Exam Tip
मूल (1) और (a) का योग (a+1) तथा गुणनफल (a) है। इसलिए मोनिक समीकरण (x-2-(a+1)x+a=0) बनता है।
The roots are (-6) and (-7) because ((x+6)(x+7)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों ऋणात्मक / Both negative. The roots are (-6) and (-7) because ((x+6)(x+7)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
Step 3
Exam Tip
मूल (-6) और (-7) हैं क्योंकि ((x+6)(x+7)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं।
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं/The roots are opposites of each other
Step 1
Concept
If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं / The roots are opposites of each other. If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं।
The roots are (-3) and (-6) because ((x+3)(x+6)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों ऋणात्मक / Both negative. The roots are (-3) and (-6) because ((x+3)(x+6)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
Step 3
Exam Tip
मूल (-3) और (-6) हैं क्योंकि ((x+3)(x+6)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं।
A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है/One root is positive and the other is negative
Step 1
Concept
A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है / One root is positive and the other is negative. A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणनफल तभी होता है जब मूलों के चिन्ह विपरीत हों। इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।
The roots are (-5) and (-2) because ((x+5)(x+2)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों ऋणात्मक / Both negative. The roots are (-5) and (-2) because ((x+5)(x+2)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
Step 3
Exam Tip
मूल (-5) और (-2) हैं क्योंकि ((x+5)(x+2)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं।
A. कम से कम एक मूल (0) है/At least one root is (0)
Step 1
Concept
If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कम से कम एक मूल (0) है / At least one root is (0). If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\alpha\beta=0\) है तो \(\alpha=0\) या \(\beta=0\) होगा। गुणनफल शून्य हो तो शून्य मूल जरूर देखें।
A positive product means both roots have the same sign. A negative sum means both roots are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों ऋणात्मक / Both negative. A positive product means both roots have the same sign. A negative sum means both roots are negative.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूलों का चिन्ह समान होता है। योग ऋणात्मक होने से दोनों मूल ऋणात्मक होंगे।
C. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक/One positive and one negative
Step 1
Concept
A negative product occurs when one root is positive and the other is negative. \(\alpha\beta<0\) is a quick sign check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक / One positive and one negative. A negative product occurs when one root is positive and the other is negative. \(\alpha\beta<0\) is a quick sign check.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणनफल तभी मिलता है जब एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो। \(\alpha\beta<0\) संकेतों की जांच का छोटा संकेत है।
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) / \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\). The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
Step 3
Exam Tip
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं।
A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा/\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always
Step 1
Concept
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) हमेशा / \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) always. \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is generally false, for example \(\sqrt{9+16}\ne3+4\). In exams do not split addition inside a radical.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) सामान्यतः गलत है, जैसे \(\sqrt{9+16}\ne3+4\)। परीक्षा में मूल के अंदर योग को अलग-अलग न तोड़ें।
If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
A. \(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\)/\(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum of \(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\) is (8), and the product is (16-5=11). In exams check the sum and product of options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\) / \(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\). The sum of \(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\) is (8), and the product is (16-5=11). In exams check the sum and product of options.
Step 3
Exam Tip
\(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\) का योग (8) और गुणनफल (16-5=11) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल जांचें।
Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह असंभव है / This is impossible. Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 3
Exam Tip
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें।
C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें/Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational
Step 1
Concept
In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सिर्फ \(\sqrt{2}\) ही अकेला अपरिमेय शून्यक हो और गुणांक परिमेय रहें / Only \(\sqrt{2}\) is the sole irrational zero while coefficients stay rational. In a quadratic with rational coefficients an irrational zero comes with its conjugate. In exams be suspicious of a lone irrational root.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में अपरिमेय शून्यक अपने संयुग्मी के साथ आता है। परीक्षा में अकेले अपरिमेय मूल पर संदेह करें।
If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x) अपरिमेय है / (x) is irrational. If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें।
A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं/Sum is (2a) and product is \(a^2-5\)
Step 1
Concept
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं / Sum is (2a) and product is \(a^2-5\). (\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
Step 3
Exam Tip
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) और (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5)। यही बहुपद से मेल खाता है।
Both sides are positive and (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5). So the first side is larger.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}+\sqrt{3}>\sqrt{5}\). Both sides are positive and (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5). So the first side is larger.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्ष धनात्मक हैं और (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5) है। इसलिए पहला पक्ष बड़ा है।
(180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m=180). (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
Step 3
Exam Tip
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है।
