Let the angles be (x) and (y), so \(x+y=90^\circ\) and \(x-y=28^\circ\). Adding gives \(2x=118^\circ\), so the larger angle is \(59^\circ\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(59^\circ\). Let the angles be (x) and (y), so \(x+y=90^\circ\) and \(x-y=28^\circ\). Adding gives \(2x=118^\circ\), so the larger angle is \(59^\circ\).
Step 3
Exam Tip
यदि कोण (x) और (y) हों तो \(x+y=90^\circ\) और \(x-y=28^\circ\)। जोड़ने पर \(2x=118^\circ\), इसलिए बड़ा कोण \(59^\circ\) है।
The correct answer is D. क्योंकि संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग भी चाहिए / Because context evidence effect and application are also needed. Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ उत्तर परिभाषा से आगे विश्लेषण मांगता है। परीक्षा में application जोड़ें।
The correct answer is A. संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग / Context evidence effect and application. Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ उत्तर में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें।
A. उदाहरण प्रभाव और अनुप्रयोग/Example effect and application
Step 1
Concept
Hard level needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उदाहरण प्रभाव और अनुप्रयोग / Example effect and application. Hard level needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
Step 3
Exam Tip
Hard level में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें।
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\) / It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\). A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर बार \(q\neq0\) याद रखें।
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p), (q) पूर्णांक हैं और \(q\neq 0\)/\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p), (q) are integers and \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, so \(q\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
In lowest form, (p) and (q) are also taken coprime. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(q\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: सबसे सरल रूप में (p) और (q) सहअभाज्य भी लिए जाते हैं।
A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया/Because it ignored many community and customary rights
Step 1
Concept
Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया / Because it ignored many community and customary rights. Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
Step 3
Exam Tip
भूमि बंदोबस्त ने स्वामित्व और राजस्व को नए ढंग से परिभाषित किया। परीक्षा में भूमि अधिकार और कर व्यवस्था साथ पढ़ें।
A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय/Civil rights and economic justice along with political freedom
Step 1
Concept
Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय / Civil rights and economic justice along with political freedom. Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
Step 3
Exam Tip
कराची प्रस्तावों ने भविष्य के भारत के अधिकार और न्याय की दिशा दिखाई। परीक्षा में मौलिक अधिकार और आर्थिक कार्यक्रम याद रखें।
A zigzag line turns through sharp angles. Exam tip: identify zigzag by sharp turns.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. एकदम तेज कोणीय मोड़ / Sharp angular turns. A zigzag line turns through sharp angles. Exam tip: identify zigzag by sharp turns.
Step 3
Exam Tip
जिगजैग रेखा तेज कोणों में मुड़ती है। परीक्षा में zigzag को sharp turns से पहचानें।
Angle of light changes direction and length of cast shadow. Exam tip: connect cast shadow with light angle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. प्रकाश के कोण से / By angle of light. Angle of light changes direction and length of cast shadow. Exam tip: connect cast shadow with light angle.
Step 3
Exam Tip
प्रकाश का कोण पड़ी छाया की दिशा और लंबाई बदलता है। परीक्षा में cast shadow को light angle से जोड़ें।
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव सहित संक्षिप्त उत्तर/Short answer with definition example and effect
Step 1
Concept
Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव सहित संक्षिप्त उत्तर / Short answer with definition example and effect. Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे लेकिन स्पष्ट बिंदु लिखें।
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव/Definition example and effect
Step 1
Concept
Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव / Definition example and effect. Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे पर स्पष्ट बिंदु लिखें।
Plateaus are flat lands higher than surrounding areas. For exams remember the definition of plateau.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊंचे और समतल / High and flat. Plateaus are flat lands higher than surrounding areas. For exams remember the definition of plateau.
Step 3
Exam Tip
पठार आसपास के क्षेत्रों से ऊंचे समतल भूभाग होते हैं। परीक्षा में पठार की परिभाषा याद रखें।
In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (b-a=c-b). In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है।
The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. कभी नहीं / Never. The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
Step 3
Exam Tip
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती।
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Step 1
Concept
The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n). The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं।
D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6)/It is an AP and (d=6)
Step 1
Concept
The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6) / It is an AP and (d=6). The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर स्थिर (6) है, इसलिए अनुक्रम समांतर श्रेणी है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर मिले तो तुरंत समांतर श्रेणी पहचानें।
A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r)/It is an AP and (d=r)
Step 1
Concept
Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r) / It is an AP and (d=r). Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
Step 3
Exam Tip
हर अगले पद से पिछले पद को घटाने पर (r) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पदों में भी वही नियम लगाएं।
B. लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference of consecutive terms is equal
Step 1
Concept
In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. लगातार पदों का अंतर समान होता है / The difference of consecutive terms is equal. In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेढ़ी में \(a_2-a_1\) जैसा अंतर स्थिर रहता है। यही सबसे पहले जाँचना चाहिए।
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Step 1
Concept
In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है / Each next term is obtained by adding the same number to the previous term. In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
Step 3
Exam Tip
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है।
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Step 1
Concept
In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है / The difference between every two consecutive terms is equal. In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है।
In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^{\frac{3}{2}}+x+1\). In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
Step 3
Exam Tip
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं।
In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अऋणात्मक पूर्णांक / Non-negative integers. In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
Step 3
Exam Tip
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है।
\(\sqrt{5}\) is a real coefficient and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial in (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह (x) में बहुपद है / It is a polynomial in (x). \(\sqrt{5}\) is a real coefficient and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial in (x).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) वास्तविक गुणांक है और (x) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह (x) में बहुपद है।
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(x^2+\frac{4}{x}+1\). \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए।
In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अऋणात्मक पूर्णांक / Non-negative integers. In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
Step 3
Exam Tip
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे महत्वपूर्ण पहचान नियम है।
Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मूल / Root. Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें।
A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है/(r) is a root of (p(x)=0)
Step 1
Concept
(p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है / (r) is a root of (p(x)=0). (p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
Step 3
Exam Tip
(p(r)=0) का अर्थ है कि (x=r) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। मूल जांचने के लिए प्रतिस्थापन सबसे सुरक्षित तरीका है।
A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो/The value that satisfies the equation
Step 1
Concept
A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो / The value that satisfies the equation. A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
Step 3
Exam Tip
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का मान (0) हो जाता है। परीक्षा में पहले मान रखकर जांचें।
When the highest power is (2), the equation is called quadratic. Identifying degree is the first step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. द्विघात समीकरण / Quadratic equation. When the highest power is (2), the equation is called quadratic. Identifying degree is the first step.
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी घात (2) होने पर समीकरण द्विघात कहलाता है। घात पहचानना पहला कदम है।
An equation of degree (2) is called a quadratic equation. Remember that quadratic means degree (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. द्विघात समीकरण / Quadratic equation. An equation of degree (2) is called a quadratic equation. Remember that quadratic means degree (2).
Step 3
Exam Tip
घात (2) वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं। नाम याद रखने के लिए द्वि का अर्थ (2) समझें।
\(\sqrt{14}\) is irrational because (14) is not a perfect square. The other options can be written in rational form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{14}\). \(\sqrt{14}\) is irrational because (14) is not a perfect square. The other options can be written in rational form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{14}\) अपरिमेय है क्योंकि (14) पूर्ण वर्ग नहीं है। बाकी विकल्प परिमेय रूप में लिखे जा सकते हैं।
A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है।
\(\frac{p}{q}\) form is the definition of a rational number. The denominator (q) must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय संख्या / Rational number. \(\frac{p}{q}\) form is the definition of a rational number. The denominator (q) must not be zero.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{p}{q}\) रूप परिमेय संख्या की परिभाषा है। इसमें हर (q) शून्य नहीं होना चाहिए।
The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बहुपद का शून्यक / Zero of the polynomial. The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
Step 3
Exam Tip
जिस मान पर बहुपद का मान (0) हो, वह शून्यक कहलाता है। इसलिए (c) बहुपद का शून्यक है।
A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (p(2)=0) हो / When (p(2)=0). A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
Step 3
Exam Tip
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए।
A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं/\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप दो पूर्णांकों का अनुपात होता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह पूरा रूप लिखना चाहिए।
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 3: प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें।
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना/Having a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers are defined as having only (1) as common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Finding any common factor other than (1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
Irrationality proofs show exactly this impossible situation. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा है कि उनका साझा गुणनखंड केवल (1) हो। चरण 2: (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिलना असंभव है। चरण 3: अपरिमेयता की सिद्धि इसी असंभव स्थिति को दिखाती है।
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में/As a ratio of two integers
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
So assuming \(\sqrt{2}\) rational, we write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Start the proof from the definition. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। चरण 3: परिभाषा से प्रमाण की शुरुआत करें।
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में/As a ratio of two integers
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
So after assuming rationality, we write \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
The definition of rationality starts the proof. चरण 1: परिमेय संख्या की पहचान है कि वह दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सके। चरण 2: इसलिए परिमेय मानते ही \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: परिमेयता की परिभाषा प्रमाण की शुरुआत बनती है।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying a square root often helps identify the number correctly. चरण 1: समाप्त दशमलव और भिन्न परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके देखना कई बार सही पहचान देता है।
C. जिसका दशमलव अनवसानी और अनावर्ती हो/Its decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
It also does not repeat in a fixed pattern.
Step 3
Exam Tip
Decimal expansion is a useful way to identify irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या का दशमलव खत्म नहीं होता। चरण 2: उसमें कोई निश्चित दोहराव भी नहीं होता। चरण 3: दशमलव विस्तार देखकर अपरिमेय संख्या पहचानना आसान हो जाता है।
A rational number can be written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
A number that cannot be written in this form is called irrational.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, remember the condition \(q \neq 0\). चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: जो संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती, वह अपरिमेय कहलाती है। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्न में \(q \neq 0\) की शर्त याद रखें।
121 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<121\) है। चरण 2: 121 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
109 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<109\) है। चरण 2: 109 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
97 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<97\) है। चरण 2: 97 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
63 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<63\) है। चरण 2: 63 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: (r<b) वाली शर्त को परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले जांचें।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
41 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, (r<b) is the most important rule. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<41\) है। चरण 2: 41 भाजक के बराबर है, इसलिए शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) सबसे महत्वपूर्ण नियम है।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
B. (q) पूर्णांक और \(0\le r<b\)/(q) integer and \(0\le r<b\)
Step 1
Concept
In the lemma, (q) is an integer and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The key condition is \(0\le r<b\).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, the remainder condition is the most important clue. चरण 1: प्रमेय में (q) पूर्णांक हो सकता है और (r) शेषफल होता है। चरण 2: शेषफल की मुख्य शर्त \(0\le r<b\) है। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में शेषफल की सीमा सबसे महत्वपूर्ण संकेत है।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
Euclid’s division lemma is applied to two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
(b) is the divisor and it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
For the dividing number, positivity and non-zero value are necessary. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लगाई जाती है। चरण 2: (b) भाजक है और वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: भाग देने वाली संख्या के लिए धनात्मकता और अशून्यता जरूरी है।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
A. विभिन्न लोग साझा प्रतीकों और स्मृतियों से स्वयं को एक राष्ट्र मानते हैं/Different people see themselves as one nation through shared symbols and memories
Step 1
Concept
In collective belonging, diverse people accept a shared identity.
Step 2
Why this answer is correct
Symbols memories and culture strengthen this identity.
Step 3
Exam Tip
Use the idea of shared identity in the definition. चरण 1: सामूहिक अपनत्व में विविध लोग एक साझा पहचान मानते हैं। चरण 2: प्रतीक स्मृतियां और संस्कृति इस पहचान को मजबूत करते हैं। चरण 3: परिभाषा में साझा पहचान शब्द जरूर रखें।
A. औपनिवेशिक कानूनों को शांतिपूर्ण ढंग से तोड़कर/By peacefully breaking colonial laws
Step 1
Concept
Civil disobedience means refusing to obey unjust laws.
Step 2
Why this answer is correct
In this movement, people challenged laws like the salt law.
Step 3
Exam Tip
In exams, understand it as a step beyond non-cooperation. चरण 1: नागरिक अवज्ञा का अर्थ अन्यायपूर्ण कानूनों का पालन न करना है। चरण 2: इस आंदोलन में लोगों ने नमक कानून जैसे कानूनों को चुनौती दी। चरण 3: परीक्षा में इसे असहयोग से एक कदम आगे समझें।
A. ब्रिटिश शासन से पूर्ण आजादी/Full freedom from British rule
Step 1
Concept
Complete independence did not mean partial concessions.
Step 2
Why this answer is correct
It meant full freedom from British rule.
Step 3
Exam Tip
In exams, understand complete independence as full political freedom. चरण 1: पूर्ण स्वराज का अर्थ आधी अधूरी छूट नहीं था। चरण 2: इसका अर्थ ब्रिटिश शासन से पूरी स्वतंत्रता था। चरण 3: परीक्षा में पूर्ण स्वराज को पूर्ण राजनीतिक स्वतंत्रता के रूप में समझें।
A. पुराने जीव का सुरक्षित अवशेष या छाप/Preserved remains or impression of an ancient organism
Step 1
Concept
A fossil is not an ordinary part of a living organism today.
Step 2
Why this answer is correct
It can be a remain or impression of an ancient organism.
Step 3
Exam Tip
It gives information about past life on Earth. चरण 1: जीवाश्म वर्तमान जीव का सामान्य भाग नहीं है। चरण 2: यह पुराने जीव का अवशेष या छाप हो सकता है। चरण 3: इससे हमें पृथ्वी के पुराने जीवन की जानकारी मिलती है।
A. अदृश्य राजनीतिक विचार को चित्रों और प्रतीकों से समझाना/Explaining an invisible political idea through images and symbols
Step 1
Concept
The nation was a political and cultural idea.
Step 2
Why this answer is correct
Images made it visible.
Step 3
Exam Tip
Visualising means explaining through symbols. चरण 1: राष्ट्र एक राजनीतिक और सांस्कृतिक विचार था। चरण 2: चित्रों ने उसे देखने योग्य रूप दिया। चरण 3: दृश्यीकरण का अर्थ प्रतीक द्वारा समझाना है।
A. राष्ट्र जैसे अमूर्त विचार को मानव रूप में दिखाना/Showing an abstract idea like the nation in human form
Step 1
Concept
In personification a non-living or abstract idea is given a human-like form.
Step 2
Why this answer is correct
The female figure gave the nation a human form.
Step 3
Exam Tip
This was a central method of visual nationalism. चरण 1: मानवीकरण में निर्जीव या अमूर्त विचार को मानव जैसा बनाया जाता है। चरण 2: नारी आकृति ने राष्ट्र को मानव रूप दिया। चरण 3: यह दृश्य राष्ट्रवाद का केंद्रीय तरीका था।
A. चित्रों प्रतीकों और सार्वजनिक छवियों से राष्ट्र की कल्पना बनाना/Creating the idea of the nation through images symbols and public visuals
Step 1
Concept
In visual nationalism images and symbols play the main role.
Step 2
Why this answer is correct
They create a shared image of the nation in people's minds.
Step 3
Exam Tip
This makes nationalism visible and memorable. चरण 1: दृश्य राष्ट्रवाद में चित्र और प्रतीक मुख्य भूमिका निभाते हैं। चरण 2: ये लोगों के मन में राष्ट्र की साझा छवि बनाते हैं। चरण 3: यह राष्ट्रवाद को देखने योग्य और यादगार बनाता है।
A. राष्ट्र को मानव जैसे रूप में दिखाना/Showing the nation in a human-like form
Step 1
Concept
Personification means giving a human form to an idea.
Step 2
Why this answer is correct
Showing the nation as a female figure is an example.
Step 3
Exam Tip
It makes an abstract idea visible and understandable. चरण 1: मानवीकरण का अर्थ है विचार को मानव रूप देना। चरण 2: राष्ट्र को नारी आकृति में दिखाना इसी का उदाहरण है। चरण 3: यह अमूर्त विचार को दृश्य और समझने योग्य बनाता है।
A. राष्ट्र को चित्र प्रतीक रंग रूपक और सार्वजनिक छवियों के माध्यम से समझाना/Explaining the nation through images symbols colours allegories and public representations
Step 1
Concept
Visualising the nation happened through many media.
Step 2
Why this answer is correct
Images symbols colours and allegories made the nation understandable.
Step 3
Exam Tip
In exams include all visual tools in a broad definition. चरण 1: राष्ट्र का दृश्यीकरण कई माध्यमों से हुआ। चरण 2: चित्र प्रतीक रंग और रूपक ने राष्ट्र को समझने योग्य बनाया। चरण 3: परीक्षा में व्यापक परिभाषा में सभी दृश्य साधन शामिल करें।
A. राष्ट्र को चित्र प्रतीक रंग रूपक और सार्वजनिक छवियों के माध्यम से समझाना/Explaining the nation through images symbols colours allegories and public representations
Step 1
Concept
Visualising the nation happened through many media.
Step 2
Why this answer is correct
Images symbols colours and allegories made the nation understandable.
Step 3
Exam Tip
In exams include all visual tools in a broad definition. चरण 1: राष्ट्र का दृश्यीकरण कई माध्यमों से हुआ। चरण 2: चित्र प्रतीक रंग और रूपक ने राष्ट्र को समझने योग्य बनाया। चरण 3: परीक्षा में व्यापक परिभाषा में सभी दृश्य साधन शामिल करें।
A. राष्ट्र को चित्रों प्रतीकों और रूपकों से समझाना/Explaining the nation through pictures symbols and allegories
Step 1
Concept
The nation is an abstract idea.
Step 2
Why this answer is correct
Pictures symbols and allegories make it visible.
Step 3
Exam Tip
In exams write this definition clearly. चरण 1: राष्ट्र एक अमूर्त विचार है। चरण 2: चित्र प्रतीक और रूपक उसे देखने योग्य बनाते हैं। चरण 3: परीक्षा में यह परिभाषा साफ लिखें।
A. राष्ट्र को साझा भावनाओं स्मृतियों भाषा और लोक परंपराओं से गढ़ा गया समुदाय माना गया/The nation was seen as a community shaped by shared emotions memories language and folk traditions
Step 1
Concept
Romanticism gave importance to emotion and culture.
Step 2
Why this answer is correct
It saw the nation as a community formed by shared memory and language.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, identify the key terms. चरण 1: रूमानीवाद ने भावना और संस्कृति को प्रमुख माना। चरण 2: इसने राष्ट्र को साझा स्मृति और भाषा से बने समुदाय के रूप में देखा। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में मुख्य शब्दों को पहचानें।
A. ऐसा क्षेत्र जो विदेशी शक्ति के नियंत्रण में हो/A region controlled by a foreign power
Step 1
Concept
A colony is under the authority of an outside power.
Step 2
Why this answer is correct
Its politics and economy are influenced by that power.
Step 3
Exam Tip
Thus a colony is a key unit of imperialism. चरण 1: उपनिवेश किसी बाहरी शक्ति के अधिकार में होता है। चरण 2: उसकी राजनीति और अर्थव्यवस्था पर विदेशी प्रभाव रहता है। चरण 3: इसलिए उपनिवेश साम्राज्यवाद की मुख्य इकाई होता है।
A. क्षार जल में हाइड्रॉक्साइड आयन दे सकते हैं/Bases can give hydroxide ions in water
Step 1
Concept
Basic nature is linked to hydroxide ions.
Step 2
Why this answer is correct
Many bases give hydroxide ions in water.
Step 3
Exam Tip
This is why they can turn red litmus blue. चरण 1: क्षारीय प्रकृति हाइड्रॉक्साइड आयन से जुड़ी है। चरण 2: कई क्षार जल में हाइड्रॉक्साइड आयन देते हैं। चरण 3: इसी कारण वे लाल लिटमस को नीला कर सकते हैं।
A. सभी अम्ल जल में हाइड्रोजन आयन देने की प्रवृत्ति रखते हैं/All acids tend to give hydrogen ions in water
Step 1
Concept
Acidic nature is related to hydrogen ions.
Step 2
Why this answer is correct
Acids tend to give hydrogen ions in water.
Step 3
Exam Tip
Litmus change is also linked to this acidic nature. चरण 1: अम्ल की प्रकृति हाइड्रोजन आयन से जुड़ी है। चरण 2: अम्ल जल में हाइड्रोजन आयन देने की प्रवृत्ति रखते हैं। चरण 3: लिटमस परिवर्तन भी इसी अम्लीय प्रकृति से जुड़ा है।
Remember this simple difference between base and alkali. चरण 1: सभी क्षार जल में नहीं घुलते। चरण 2: जो क्षार जल में घुलते हैं उन्हें क्षारक कहा जाता है। चरण 3: क्षार और क्षारक में यह सरल अंतर याद रखें।
