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A. वे संगठन निगरानी गिरफ्तारी और दमन को अधिक व्यवस्थित बनाते थे/They made surveillance arrests and repression more systematic
Step 1
Concept
Surveillance was an important tool of colonial control. For exams study repression and resistance together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे संगठन निगरानी गिरफ्तारी और दमन को अधिक व्यवस्थित बनाते थे / They made surveillance arrests and repression more systematic. Surveillance was an important tool of colonial control. For exams study repression and resistance together.
Step 3
Exam Tip
निगरानी औपनिवेशिक नियंत्रण का महत्वपूर्ण साधन थी। परीक्षा में दमन और प्रतिरोध साथ पढ़ें।
A. सोवियत पक्ष जर्मन हमले की दिशा समझकर गहरी रक्षा बना सका/The Soviet side could understand the direction of German attack and build deep defenses
Step 1
Concept
Prior information and preparation reduced the force of the German attack. For exams write the role of planning and information.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सोवियत पक्ष जर्मन हमले की दिशा समझकर गहरी रक्षा बना सका / The Soviet side could understand the direction of German attack and build deep defenses. Prior information and preparation reduced the force of the German attack. For exams write the role of planning and information.
Step 3
Exam Tip
पूर्व जानकारी और तैयारी ने जर्मन आक्रमण की शक्ति घटाई। परीक्षा में योजना और सूचना की भूमिका लिखें।
A. सूचना का लाभ लेना लेकिन स्रोत का रहस्य न खोलना/Using the information while not revealing the source
Step 1
Concept
Ultra was useful but exposure could destroy its advantage. For exams understand secrecy in intelligence.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सूचना का लाभ लेना लेकिन स्रोत का रहस्य न खोलना / Using the information while not revealing the source. Ultra was useful but exposure could destroy its advantage. For exams understand secrecy in intelligence.
Step 3
Exam Tip
अल्ट्रा उपयोगी था लेकिन उसके उजागर होने पर लाभ खत्म हो सकता था। परीक्षा में खुफिया जानकारी की गोपनीयता समझें।
A. क्योंकि इसने शत्रु संचार समझने में मदद की लेकिन लंबे समय तक गोपनीय रही/Because it helped understand enemy communications but remained secret for a long time
Step 1
Concept
Ultra gave an information advantage in strategic decisions. For exams understand intelligence as an invisible power in war.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि इसने शत्रु संचार समझने में मदद की लेकिन लंबे समय तक गोपनीय रही / Because it helped understand enemy communications but remained secret for a long time. Ultra gave an information advantage in strategic decisions. For exams understand intelligence as an invisible power in war.
Step 3
Exam Tip
अल्ट्रा ने रणनीतिक निर्णयों में सूचना लाभ दिया। परीक्षा में खुफिया जानकारी को युद्ध की अदृश्य शक्ति समझें।
A. जहाज तेजी से बन सके और यू बोट खतरे का बेहतर अनुमान लगा/Ships could be built quickly and the U-boat threat could be better anticipated
Step 1
Concept
The Allies protected sea supply through production and information. For exams study logistics and intelligence together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जहाज तेजी से बन सके और यू बोट खतरे का बेहतर अनुमान लगा / Ships could be built quickly and the U-boat threat could be better anticipated. The Allies protected sea supply through production and information. For exams study logistics and intelligence together.
Step 3
Exam Tip
मित्र राष्ट्रों ने उत्पादन और सूचना से समुद्री आपूर्ति बचाई। परीक्षा में रसद और खुफिया दोनों को साथ पढ़ें।
A. अमेरिका को जापानी योजना का अनुमान लगाने में मदद मिली/It helped the USA anticipate the Japanese plan
Step 1
Concept
Code-breaking and intelligence strengthened American strategy. For exams treat information as a form of war power.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अमेरिका को जापानी योजना का अनुमान लगाने में मदद मिली / It helped the USA anticipate the Japanese plan. Code-breaking and intelligence strengthened American strategy. For exams treat information as a form of war power.
Step 3
Exam Tip
कोड तोड़ने और खुफिया जानकारी ने अमेरिकी रणनीति को मजबूत किया। परीक्षा में सूचना को युद्ध शक्ति मानें।
A. क्योंकि यह रक्त से अपशिष्ट पदार्थ हटाने में सहायता करती है/Because it helps remove waste substances from blood
Step 1
Concept
The main work of kidneys is to filter blood.
Step 2
Why this answer is correct
When kidneys do not work properly artificial cleaning may be needed.
Step 3
Exam Tip
Dialysis removes waste substances from blood. चरण 1: गुर्दे का मुख्य काम रक्त को छानना है। चरण 2: जब गुर्दे ठीक से काम नहीं करते तो कृत्रिम सफाई की जरूरत हो सकती है। चरण 3: डायलिसिस रक्त से अपशिष्ट पदार्थ हटाती है।
When kidneys do not work properly wastes can collect in blood.
Step 2
Why this answer is correct
Blood can be cleaned by an artificial method.
Step 3
Exam Tip
This process is called dialysis. चरण 1: जब गुर्दे ठीक से काम नहीं करते तो रक्त में अपशिष्ट जमा हो सकते हैं। चरण 2: कृत्रिम विधि से रक्त की सफाई की जा सकती है। चरण 3: इस प्रक्रिया को डायलिसिस कहते हैं।
A. कृत्रिम वरण में मनुष्य चयन करता है और प्राकृतिक वरण में वातावरण चयन दबाव डालता है/Humans select in artificial selection and environment applies selection pressure in natural selection
Step 1
Concept
In artificial selection, humans choose organisms with desired traits.
Step 2
Why this answer is correct
In natural selection, organisms with traits useful in the environment become more successful.
Step 3
Exam Tip
In both, heritable variation is important. चरण 1: कृत्रिम वरण में मनुष्य इच्छित लक्षणों वाले जीवों को चुनता है। चरण 2: प्राकृतिक वरण में वातावरण के अनुसार लाभकारी लक्षण वाले जीव अधिक सफल होते हैं। चरण 3: दोनों में वंशागत विविधता महत्वपूर्ण रहती है।
A. मनुष्य द्वारा इच्छित गुणों वाली गोभी किस्मों का चयन/Humans selecting cabbage varieties with desired traits
Step 1
Concept
In artificial selection, humans do the selection.
Step 2
Why this answer is correct
They choose organisms with useful or desired traits for breeding.
Step 3
Exam Tip
This has produced many domestic plant and animal varieties. चरण 1: कृत्रिम वरण में मनुष्य चयन करता है। चरण 2: वह उपयोगी या पसंदीदा लक्षणों वाले जीवों को जनन के लिए चुनता है। चरण 3: इससे कई घरेलू पौधों और पशुओं की किस्में बनी हैं।
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Step 1
Concept
In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है / Each next term is obtained by adding the same number to the previous term. In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
Step 3
Exam Tip
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है।
A constant difference between consecutive terms is the key sign of an arithmetic progression. In exams first check the differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अंकगणितीय श्रेणी / Arithmetic progression. A constant difference between consecutive terms is the key sign of an arithmetic progression. In exams first check the differences.
Step 3
Exam Tip
क्रमागत पदों का समान अंतर अंकगणितीय श्रेणी की मुख्य पहचान है। परीक्षा में पहले अंतर जांचें।
A quadratic equation has highest power (2) of (x) and \(a\neq 0\). In exams identify the standard form first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(ax^2+bx+c=0,\ a\neq 0\). A quadratic equation has highest power (2) of (x) and \(a\neq 0\). In exams identify the standard form first.
Step 3
Exam Tip
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है और \(a\neq 0\) होता है। परीक्षा में पहले मानक रूप पहचानें।
A. अमेरिका को जापानी योजना का अनुमान मिला जिससे आश्चर्य तत्व घटा/The USA gained an estimate of the Japanese plan reducing the surprise element
Step 1
Concept
Code-breaking strengthened American preparation. For exams treat information as a decisive military resource.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अमेरिका को जापानी योजना का अनुमान मिला जिससे आश्चर्य तत्व घटा / The USA gained an estimate of the Japanese plan reducing the surprise element. Code-breaking strengthened American preparation. For exams treat information as a decisive military resource.
Step 3
Exam Tip
कोड तोड़ने से अमेरिकी तैयारी मजबूत हुई। परीक्षा में सूचना को निर्णायक सैन्य संसाधन मानें।
Hussain Sagar is a famous artificial lake of Hyderabad. Keep the classification of artificial and natural lakes separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हुसैन सागर / Hussain Sagar. Hussain Sagar is a famous artificial lake of Hyderabad. Keep the classification of artificial and natural lakes separate.
Step 3
Exam Tip
हुसैन सागर हैदराबाद की प्रसिद्ध कृत्रिम झील है। कृत्रिम और प्राकृतिक झीलों का वर्गीकरण अलग रखें।
A. प्राकृतिक सतहों में अनियमितता और मान विविधता होती है/Natural surfaces have irregularity and value variation
Step 1
Concept
Variation is important in natural texture. Exam tip: observe irregular marks in natural texture.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्राकृतिक सतहों में अनियमितता और मान विविधता होती है / Natural surfaces have irregularity and value variation. Variation is important in natural texture. Exam tip: observe irregular marks in natural texture.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक बनावट में बदलाव महत्वपूर्ण है। परीक्षा में natural texture में irregular marks देखें।
A. अनियमितता और मान विविधता जोड़ना/Add irregularity and value variation
Step 1
Concept
Natural surfaces have irregularity. Exam tip: keep variation in natural texture.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनियमितता और मान विविधता जोड़ना / Add irregularity and value variation. Natural surfaces have irregularity. Exam tip: keep variation in natural texture.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक सतहों में अनियमितता होती है। परीक्षा में natural texture में variation रखें।
A. यूरोपीय शक्तियों ने स्थानीय समाजों की परवाह किए बिना सीमाएं तय कीं/European powers drew borders without regard to local societies
Step 1
Concept
The Berlin Conference directed colonial partition of African territories. For exams connect it with the Scramble for Africa.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यूरोपीय शक्तियों ने स्थानीय समाजों की परवाह किए बिना सीमाएं तय कीं / European powers drew borders without regard to local societies. The Berlin Conference directed colonial partition of African territories. For exams connect it with the Scramble for Africa.
Step 3
Exam Tip
बर्लिन सम्मेलन ने अफ्रीकी क्षेत्रों के औपनिवेशिक विभाजन को दिशा दी। परीक्षा में इसे स्क्रैम्बल फॉर अफ्रीका से जोड़ें।
B. सैनिक उतराई के बाद निरंतर भारी रसद की जरूरत/Need for continuous heavy logistics after troop landings
Step 1
Concept
Artificial harbours maintained supply after the landings. For exams study D-Day also as a logistics system.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सैनिक उतराई के बाद निरंतर भारी रसद की जरूरत / Need for continuous heavy logistics after troop landings. Artificial harbours maintained supply after the landings. For exams study D-Day also as a logistics system.
Step 3
Exam Tip
कृत्रिम बंदरगाहों ने उतराई के बाद आपूर्ति बनाए रखी। परीक्षा में डी डे को रसद प्रणाली के रूप में भी पढ़ें।
A. यह रक्त से अपशिष्ट और अतिरिक्त पदार्थ हटाने में मदद करता है/It helps remove wastes and extra substances from blood
Step 1
Concept
Kidneys normally filter blood.
Step 2
Why this answer is correct
If kidneys fail wastes can collect in blood.
Step 3
Exam Tip
Dialysis helps clean blood artificially. चरण 1: गुर्दे सामान्य रूप से रक्त को छानते हैं। चरण 2: गुर्दे विफल होने पर अपशिष्ट रक्त में जमा हो सकते हैं। चरण 3: डायलिसिस रक्त को कृत्रिम रूप से साफ करने में सहायता करता है।
D. सल्तनत की आर्थिक और प्रशासनिक व्यवस्था/Economic and administrative system of the Sultanate
Step 1
Concept
Iltutmish introduced the silver tanka. It helped stabilize the economic system of the Sultanate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. सल्तनत की आर्थिक और प्रशासनिक व्यवस्था / Economic and administrative system of the Sultanate. Iltutmish introduced the silver tanka. It helped stabilize the economic system of the Sultanate.
Step 3
Exam Tip
इल्तुतमिश ने चांदी का टंका प्रचलित किया। इससे सल्तनत की आर्थिक व्यवस्था को स्थिरता मिली।
There are (4) equal gaps between the first and fifth terms, so \(d=\frac{19-3}{4}=4\). In exams, divide the total difference between distant terms by the number of gaps.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x=7,y=15,d=4). There are (4) equal gaps between the first and fifth terms, so \(d=\frac{19-3}{4}=4\). In exams, divide the total difference between distant terms by the number of gaps.
Step 3
Exam Tip
पहले और पांचवें पद के बीच (4) बराबर अंतराल हैं, इसलिए \(d=\frac{19-3}{4}=4\)। परीक्षा में दूर दिए गए पदों के बीच कुल अंतर को अंतरालों की संख्या से भाग दें।
Each term is (2.5) less than the previous one, so (d=-2.5). In exams, do not forget the negative sign in decreasing decimal sequences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-2.5). Each term is (2.5) less than the previous one, so (d=-2.5). In exams, do not forget the negative sign in decreasing decimal sequences.
Step 3
Exam Tip
हर पद पिछले से (2.5) कम है, इसलिए (d=-2.5)। परीक्षा में घटते दशमलव अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह न भूलें।
Multiplication makes every difference (t) times as large. In exams, apply scaling directly to the common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (t(b-a)). Multiplication makes every difference (t) times as large. In exams, apply scaling directly to the common difference.
Step 3
Exam Tip
गुणन से हर अंतर (t) गुना हो जाता है। परीक्षा में स्केलिंग सीधे सामान्य अंतर पर भी लागू करें।
Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3a+2b). Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.
Step 3
Exam Tip
दोनों लगातार अंतर (3a+2b) हैं, इसलिए ये पद समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में दोनों अंतरों की समानता भी साथ-साथ जांचें।
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Step 1
Concept
The terms are \(0,0,2,6,\ldots\), and the differences \(0,2,4,\ldots\) change. In exams, expand the product or test initial terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है / No, the consecutive difference is not constant. The terms are \(0,0,2,6,\ldots\), and the differences \(0,2,4,\ldots\) change. In exams, expand the product or test initial terms.
Step 3
Exam Tip
पद \(0,0,2,6,\ldots\) हैं और अंतर \(0,2,4,\ldots\) बदलते हैं। परीक्षा में गुणन रूप को फैलाकर या पहले पदों से जांचें।
B. समांतर श्रेणी है और (d=4)/It is an AP and (d=4)
Step 1
Concept
Each next term adds (4), so the common difference is (4). In exams, a variable constant part does not change the difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. समांतर श्रेणी है और (d=4) / It is an AP and (d=4). Each next term adds (4), so the common difference is (4). In exams, a variable constant part does not change the difference.
Step 3
Exam Tip
हर अगले पद में (4) जुड़ता है, इसलिए सामान्य अंतर (4) है। परीक्षा में चर वाला स्थिर भाग अंतर को नहीं बदलता।
There are (5) intervals between \(a_7\) and \(a_2\), so (5d=35) and (d=7). In exams, subtract term numbers to get intervals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). There are (5) intervals between \(a_7\) and \(a_2\), so (5d=35) and (d=7). In exams, subtract term numbers to get intervals.
Step 3
Exam Tip
\(a_7\) और \(a_2\) के बीच (5) अंतराल हैं, इसलिए (5d=35) और (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक घटाकर अंतराल पाएं।
The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2d). The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
Step 3
Exam Tip
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें।
D. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Step 1
Concept
The terms are \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractions with changing denominators by differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है / No, the consecutive difference is not constant. The terms are \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractions with changing denominators by differences.
Step 3
Exam Tip
पद \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\) देते हैं और अंतर बदलते हैं। परीक्षा में हर बदलने वाले भिन्नों को अंतर से परखें।
C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\)/Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\)
Step 1
Concept
Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\) / Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\). Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
Step 3
Exam Tip
केवल पहले तीन पदों की जांच पूरे अनुक्रम के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में पूरी शर्त में हर (n) या सभी लगातार पद शामिल होने चाहिए।
The middle term is \(m=\frac{14+50}{2}=32\), and (d=18). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (m=32,d=18). The middle term is \(m=\frac{14+50}{2}=32\), and (d=18). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
Step 3
Exam Tip
मध्य पद \(m=\frac{14+50}{2}=32\) है और (d=18)। परीक्षा में तीन पदों में मध्य पद औसत होता है।
Here \(c_n=4\) for every (n), so its common difference is (0). In exams, treat the sequence of differences as a separate sequence.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0). Here \(c_n=4\) for every (n), so its common difference is (0). In exams, treat the sequence of differences as a separate sequence.
Step 3
Exam Tip
यहां \(c_n=4\) हर (n) के लिए स्थिर है, इसलिए उसका सामान्य अंतर (0) है। परीक्षा में अंतरों के अनुक्रम को अलग अनुक्रम मानकर देखें।
The differences are (k+1,3k-3,3k-3), and equality gives (k=2). In exams, check all consecutive differences for four terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=2). The differences are (k+1,3k-3,3k-3), and equality gives (k=2). In exams, check all consecutive differences for four terms.
Step 3
Exam Tip
अंतर (k+1,3k-3,3k-3) हैं और बराबरी से (k=2) मिलता है। परीक्षा में चार पदों में सभी लगातार अंतर जांचें।
The distance increases by (12) kilometres each time. In word problems, still find the same consecutive difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (12) किलोमीटर / (12) kilometres. The distance increases by (12) kilometres each time. In word problems, still find the same consecutive difference.
Step 3
Exam Tip
हर बार दूरी (12) किलोमीटर बढ़ती है। परीक्षा में वास्तविक जीवन प्रश्न में भी वही लगातार अंतर निकालें।
B. नहीं, लगातार अंतर बदलता है/No, the consecutive difference changes
Step 1
Concept
The initial terms are \(1,5,5,9,\ldots\), so the difference is not constant. In exams, test terms containing ((-1)^n) by substituting a few values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नहीं, लगातार अंतर बदलता है / No, the consecutive difference changes. The initial terms are \(1,5,5,9,\ldots\), so the difference is not constant. In exams, test terms containing ((-1)^n) by substituting a few values.
Step 3
Exam Tip
प्रारंभिक पद \(1,5,5,9,\ldots\) देते हैं, इसलिए अंतर स्थिर नहीं है। परीक्षा में ((-1)^n) वाले पदों को कुछ मान रखकर जांचें।
The common difference is second term minus first term, so (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6). In exams, handle the minus sign before brackets carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\lambda+6\). The common difference is second term minus first term, so (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6). In exams, handle the minus sign before brackets carefully.
Step 3
Exam Tip
सामान्य अंतर दूसरा पद घटा पहला पद है, इसलिए (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6)। परीक्षा में कोष्ठक हटाते समय ऋण चिन्ह संभालें।
C. नहीं, अंतर \(4,12,36,\ldots\) हैं/No, the differences are \(4,12,36,\ldots\)
Step 1
Concept
The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, do not confuse a multiplicative pattern with an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, अंतर \(4,12,36,\ldots\) हैं / No, the differences are \(4,12,36,\ldots\). The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, do not confuse a multiplicative pattern with an AP.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में गुणन पैटर्न को समांतर श्रेणी न मानें।
A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=3b)/They are in AP and (d=3b)
Step 1
Concept
Both consecutive differences are (3b). In exams, directly find differences in symbolic balanced terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=3b) / They are in AP and (d=3b). Both consecutive differences are (3b). In exams, directly find differences in symbolic balanced terms.
Step 3
Exam Tip
दोनों लगातार अंतर (3b) हैं। परीक्षा में संतुलित प्रतीकात्मक पदों में अंतर सीधे निकालें।
D. नहीं, कोई वैध (x) नहीं/No, there is no valid (x)
Step 1
Concept
The middle-term condition gives \(x^2-4=x^2\), which is impossible. In exams, also check that denominators are nonzero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, कोई वैध (x) नहीं / No, there is no valid (x). The middle-term condition gives \(x^2-4=x^2\), which is impossible. In exams, also check that denominators are nonzero.
Step 3
Exam Tip
मध्य पद की शर्त से \(x^2-4=x^2\) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में हरों के शून्य न होने की शर्त भी देखें।
\(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\). In exams, with equal denominators, subtract numerators directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(-\frac{1}{4}\). \(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\). In exams, with equal denominators, subtract numerators directly.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\)। परीक्षा में समान हर हो तो अंशों का अंतर तुरंत लें।
C. समांतर श्रेणी नहीं है क्योंकि अंतर \(2,3,4,5,\ldots\) हैं/It is not an AP because the differences are \(2,3,4,5,\ldots\)
Step 1
Concept
The consecutive differences keep increasing, so they are not constant. In exams, a famous pattern need not be an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. समांतर श्रेणी नहीं है क्योंकि अंतर \(2,3,4,5,\ldots\) हैं / It is not an AP because the differences are \(2,3,4,5,\ldots\). The consecutive differences keep increasing, so they are not constant. In exams, a famous pattern need not be an AP.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर बढ़ते जा रहे हैं, इसलिए वे स्थिर नहीं हैं। परीक्षा में प्रसिद्ध पैटर्न होने से समांतर श्रेणी होना जरूरी नहीं।
(a_n=(m+1)n), so the coefficient of (n) is (m+1). In exams, combine like terms before identifying the linear coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (m+1). (a_n=(m+1)n), so the coefficient of (n) is (m+1). In exams, combine like terms before identifying the linear coefficient.
Step 3
Exam Tip
(a_n=(m+1)n) है, इसलिए (n) का गुणांक (m+1) है। परीक्षा में पहले समान पदों को मिलाकर रैखिक रूप बनाएं।
For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
Step 3
Exam Tip
तीन पदों में \(2\beta=\alpha+\gamma\), इसलिए \(\beta=7\)। परीक्षा में मध्य पद को सिरों का औसत मानें।
The condition \(2r^2=r+r^3\) gives (r(r-1)2=0), so the nonzero value is (1). In exams, always apply the nonzero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1). The condition \(2r^2=r+r^3\) gives (r(r-1)2=0), so the nonzero value is (1). In exams, always apply the nonzero condition.
Step 3
Exam Tip
शर्त \(2r^2=r+r^3\) से (r(r-1)2=0) मिलता है, इसलिए शून्येतर मान (1) है। परीक्षा में दी गई शून्येतर शर्त जरूर लगाएं।
The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
Step 3
Exam Tip
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें।
Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (-3). Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें।
In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (b-a=c-b). In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है।
A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\)/It is an AP and \(d=\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\) / It is an AP and \(d=\sqrt{3}\). The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
Step 3
Exam Tip
पद \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\) बनते हैं। परीक्षा में मूलों को सरल करके ही अंतर निकालें।
Each step decreases by \(3.5^\circ\), so \(d=-3.5^\circ\). In exams, use a negative sign for a decreasing sequence.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(-3.5^\circ\). Each step decreases by \(3.5^\circ\), so \(d=-3.5^\circ\). In exams, use a negative sign for a decreasing sequence.
Step 3
Exam Tip
हर बार \(3.5^\circ\) की कमी है, इसलिए \(d=-3.5^\circ\)। परीक्षा में घटते अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह लगाएं।
In that option, each step increases by (0.75). In exams, use consecutive difference as the test even with decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (2.5,3.25,4,4.75). In that option, each step increases by (0.75). In exams, use consecutive difference as the test even with decimals.
Step 3
Exam Tip
विकल्प में हर बार (0.75) की वृद्धि है। परीक्षा में दशमलवों में भी लगातार अंतर को ही कसौटी बनाएं।
Equating differences gives (x+5=3x-8), so \(x=\frac{13}{2}\) and \(d=\frac{23}{2}\). In exams, do not reject a fractional answer too quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{13}{2},d=\frac{23}{2}\). Equating differences gives (x+5=3x-8), so \(x=\frac{13}{2}\) and \(d=\frac{23}{2}\). In exams, do not reject a fractional answer too quickly.
Step 3
Exam Tip
अंतर बराबर करने पर (x+5=3x-8), इसलिए \(x=\frac{13}{2}\) और \(d=\frac{23}{2}\)। परीक्षा में भिन्न उत्तर से घबराएं नहीं।
The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. कभी नहीं / Never. The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
Step 3
Exam Tip
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती।
The middle term is the average of the extremes, so \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) and (d=20). In exams, handle signs carefully when averaging negatives.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (z=3,d=20). The middle term is the average of the extremes, so \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) and (d=20). In exams, handle signs carefully when averaging negatives.
Step 3
Exam Tip
मध्य पद सिरों का औसत है, इसलिए \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) और (d=20)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या जोड़ते समय चिन्ह सावधानी से रखें।
Equal differences give (-3t+9=-2t+11), so (t=-2) and (d=15). In exams, subtract first from second and second from third.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (t=-2,d=15). Equal differences give (-3t+9=-2t+11), so (t=-2) and (d=15). In exams, subtract first from second and second from third.
Step 3
Exam Tip
बराबर अंतर से (-3t+9=-2t+11), इसलिए (t=-2) और (d=15)। परीक्षा में दूसरे से पहला और तीसरे से दूसरा पद घटाएं।
D. नहीं, अंतर \(7,19,37,\ldots\) हैं/No, the differences are \(7,19,37,\ldots\)
Step 1
Concept
The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, test constancy of differences, not just the visible pattern.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, अंतर \(7,19,37,\ldots\) हैं / No, the differences are \(7,19,37,\ldots\). The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, test constancy of differences, not just the visible pattern.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर बराबर नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में नाम या पैटर्न नहीं, अंतर की स्थिरता जांचें।
The coefficient of (n) is (-5), so it is the common difference. In exams, first check the coefficient of (n) in a linear term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-5). The coefficient of (n) is (-5), so it is the common difference. In exams, first check the coefficient of (n) in a linear term.
Step 3
Exam Tip
(n) का गुणांक (-5) है, इसलिए वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में रैखिक पद में (n) का गुणांक तुरंत देखें।
In the reversed order, each step subtracts (d), so the new difference is (-d). In exams, reversing the order can change the sign of the difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-d). In the reversed order, each step subtracts (d), so the new difference is (-d). In exams, reversing the order can change the sign of the difference.
Step 3
Exam Tip
उलटे क्रम में हर कदम पर (d) घटता है, इसलिए नया अंतर (-d) है। परीक्षा में क्रम बदलने से अंतर का चिन्ह बदल सकता है।
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Step 1
Concept
The first terms are \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractional forms in (n) by differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है / No, the consecutive difference is not constant. The first terms are \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractional forms in (n) by differences.
Step 3
Exam Tip
पहले पद \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\) देते हैं और अंतर बदलते हैं। परीक्षा में भिन्नीय (n) वाले रूप को अंतर से जांचें।
\(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\), and the same difference continues. In exams, use common denominators with negative fractions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(-\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\), and the same difference continues. In exams, use common denominators with negative fractions.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\) और आगे भी यही अंतर है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्नों के साथ समान हर का प्रयोग करें।
Both differences are (3x-4), so the terms form an AP for every real (x). In exams, if both differences are identical expressions, no separate solving is needed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. हर वास्तविक (x) / Every real (x). Both differences are (3x-4), so the terms form an AP for every real (x). In exams, if both differences are identical expressions, no separate solving is needed.
Step 3
Exam Tip
दोनों अंतर (3x-4) हैं, इसलिए हर वास्तविक (x) पर समांतर श्रेणी बनती है। परीक्षा में यदि दोनों अंतर समान अभिव्यक्ति हों तो कोई अलग हल नहीं चाहिए।
A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=v)/They are in AP and (d=v)
Step 1
Concept
The consecutive differences are (v) and (v), so they are in AP. In exams, recognize the balanced form (u-v,u,u+v) quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=v) / They are in AP and (d=v). The consecutive differences are (v) and (v), so they are in AP. In exams, recognize the balanced form (u-v,u,u+v) quickly.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर (v) और (v) हैं, इसलिए वे समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में संतुलित रूप (u-v,u,u+v) तुरंत पहचानें।
Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7). Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
Step 3
Exam Tip
हर पद से समान संख्या घटाने पर अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान घटाव को केवल पहला पद बदलने वाला समझें।
Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-3d). Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
Step 3
Exam Tip
गुणन से सभी अंतर उसी गुणक से गुणा होते हैं, इसलिए नया अंतर (-3d) है। परीक्षा में रूपांतरण का असर अंतर पर लगाएं।
A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा/It remains the old common difference
Step 1
Concept
Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा / It remains the old common difference. Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 3
Exam Tip
हर पद में समान संख्या जोड़ने से लगातार अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान स्थानांतरण को अंतर पर असरहीन मानें।
Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (8). Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
Step 3
Exam Tip
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है।
The first term is (6) and the common difference is also (6). In exams, identify the first term and the difference separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6,12,18,24,\ldots\). The first term is (6) and the common difference is also (6). In exams, identify the first term and the difference separately.
Step 3
Exam Tip
पहला पद (6) और सामान्य अंतर भी (6) है। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग-अलग पहचानें।
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Step 1
Concept
The signs alternate and the difference does not remain the same. In exams, test alternating-sign sequences by differences only.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है / No, the consecutive difference is not constant. The signs alternate and the difference does not remain the same. In exams, test alternating-sign sequences by differences only.
Step 3
Exam Tip
पदों के चिन्ह बदलते हैं और अंतर समान नहीं रहता। परीक्षा में वैकल्पिक चिन्ह वाले अनुक्रम को अंतर से ही परखें।
Equating differences gives (-2q-6=-2q+14), which is impossible. In exams, cancellation of the variable can produce a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, कोई (q) नहीं / No, no (q). Equating differences gives (-2q-6=-2q+14), which is impossible. In exams, cancellation of the variable can produce a contradiction.
Step 3
Exam Tip
अंतर बराबर करने पर (-2q-6=-2q+14) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में कभी-कभी चर कटने पर विरोधाभास मिलता है।
Here the common difference is (-3), so the terms are decreasing. In exams, a decreasing AP has negative (d).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(20,17,14,11,\ldots\). Here the common difference is (-3), so the terms are decreasing. In exams, a decreasing AP has negative (d).
Step 3
Exam Tip
यहां सामान्य अंतर (-3) है, इसलिए पद घट रहे हैं। परीक्षा में घटती समांतर श्रेणी का (d) ऋणात्मक होता है।
Taking the terms as (a,a+d,a+2d,a+3d), both sides become (2a+3d). In exams, test relations by writing symbolic AP terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a+e=b+c). Taking the terms as (a,a+d,a+2d,a+3d), both sides become (2a+3d). In exams, test relations by writing symbolic AP terms.
Step 3
Exam Tip
पद (a,a+d,a+2d,a+3d) मानने पर दोनों ओर (2a+3d) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पद रखकर संबंध जांचें।
\(a_{n+1}-a_n=\alpha\), so the common difference is \(\alpha\). In exams, this is the key shortcut for a linear sequence.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\alpha\). \(a_{n+1}-a_n=\alpha\), so the common difference is \(\alpha\). In exams, this is the key shortcut for a linear sequence.
Step 3
Exam Tip
\(a_{n+1}-a_n=\alpha\), इसलिए सामान्य अंतर \(\alpha\) है। परीक्षा में यह रैखिक अनुक्रम का मुख्य शॉर्टकट है।
C. नहीं, कोई वैध (x) नहीं/No, there is no valid (x)
Step 1
Concept
The middle-term condition gives (x(x+2)=(x+1)2), which is impossible. In exams, check validity after forming the equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, कोई वैध (x) नहीं / No, there is no valid (x). The middle-term condition gives (x(x+2)=(x+1)2), which is impossible. In exams, check validity after forming the equation.
Step 3
Exam Tip
मध्य पद की शर्त से (x(x+2)=(x+1)2) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में समीकरण के बाद वैधता भी जांचें।
C. समांतर श्रेणी है और (d=0)/It is an AP and (d=0)
Step 1
Concept
Every consecutive difference is (0), so it is a constant AP. In exams, treat (d=0) as a valid common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. समांतर श्रेणी है और (d=0) / It is an AP and (d=0). Every consecutive difference is (0), so it is a constant AP. In exams, treat (d=0) as a valid common difference.
Step 3
Exam Tip
हर लगातार अंतर (0) है, इसलिए यह स्थिर समांतर श्रेणी है। परीक्षा में (d=0) को भी वैध सामान्य अंतर मानें।
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Step 1
Concept
The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n). The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं।
D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता/(d) cannot be determined
Step 1
Concept
In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता / (d) cannot be determined. In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में \(a_2+a_4=2a_3\) अपने-आप सही होता है, इसलिए (d) नहीं मिलता। परीक्षा में पहचानें कि दी गई सूचना नई है या केवल पहचान है।
