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Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
So \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify like radical terms before deciding the type of number. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों को पहले सरल करें।
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें।
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), all are irrational.
Step 3
Exam Tip
This item has no rational option, so it should be treated as an invalid question. चरण 1: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), यह अपरिमेय है; पर सही परिमेय विकल्प खोजने के लिए सभी सरल करें: \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\); कोई भी परिमेय नहीं है। चरण 3: यहाँ दिए गए विकल्पों में परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए प्रश्न में त्रुटि से बचने के लिए सही चयन नहीं बनता।
Subtracting a rational number from an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
When an integer is subtracted from a surd, focus on the nature of the surd. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और (2) परिमेय है। चरण 2: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 3: किसी मूल से पूर्णांक घटाने पर भी मूल की प्रकृति पर ध्यान दें।
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the square root becomes a perfect square. चरण 1: दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
B. यह कभी परिमेय नहीं हो सकता/It can never be rational
Step 1
Concept
(3) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
If (x+3) were rational, then (x=(x+3)-3) would also be rational, contradicting the given fact.
Step 3
Exam Tip
The contradiction method is useful in such questions. चरण 1: (3) एक परिमेय संख्या है। चरण 2: यदि (x+3) परिमेय हो, तो (x=(x+3)-3) भी परिमेय होगा, जो दी गई बात के विरुद्ध है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विरोध विधि तेज काम करती है।
\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Before applying a general rule for two irrationals, test possible counterexamples. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग पर सामान्य नियम लगाने से पहले उदाहरण जाँचें।
The square root of a positive integer is rational when that integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (mn) being a perfect square is sufficient for \(\sqrt{mn}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
Parity of the sum or difference does not decide the nature of the square root. चरण 1: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{mn}\) परिमेय होने के लिए (mn) का पूर्ण वर्ग होना पर्याप्त है। चरण 3: योग या अंतर की समता से वर्गमूल की प्रकृति तय नहीं होती।
(\(\sqrt{2}\)2=2), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\), and \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=10\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Treat addition and multiplication of surds differently. चरण 1: (\(\sqrt{2}\)2=2), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\), और \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=10\) परिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: जोड़ और गुणन को अलग-अलग नियमों से समझें।
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations. चरण 1: मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। चरण 2: तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें।
A. यह \(3\sqrt{3}\) है और अपरिमेय है/It is \(3\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
Add the coefficients of like surds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Coefficients add; the number inside the radical remains unchanged. चरण 1: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणांक जुड़ते हैं, मूल के अंदर की संख्या नहीं बदलती।
C. हर असांत दशमलव अपरिमेय होता है/Every non-terminating decimal is irrational
Step 1
Concept
Non-terminating decimals can be recurring or non-recurring.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating recurring decimal like \(0.\overline{3}\) is rational.
Step 3
Exam Tip
For an irrational decimal, it must be both non-terminating and non-recurring. चरण 1: असांत दशमलव दो प्रकार के हो सकते हैं, आवर्ती और अनावर्ती। चरण 2: असांत आवर्ती दशमलव जैसे \(0.\overline{3}\) परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय के लिए असांत के साथ अनावर्ती होना भी जरूरी है।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
Multiplying the two irrational numbers gives \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove a universal statement. चरण 1: \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है। चरण 2: दो समान अपरिमेय संख्याओं का गुणन \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) देता है, जो परिमेय है। चरण 3: किसी सामान्य कथन को गलत दिखाने के लिए एक सही उदाहरण काफी होता है।
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
The decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
It has no fixed recurring block because the number of zeros keeps changing.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is irrational. चरण 1: यह दशमलव समाप्त नहीं हो रहा है। चरण 2: इसमें अंकों का कोई स्थिर आवर्तन नहीं है, क्योंकि शून्यों की संख्या बदलती जाती है। चरण 3: असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय माना जाता है।
The square of the square root of a positive number gives the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (\(\sqrt{5}\)2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not mistake \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) for (10). चरण 1: किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। चरण 2: इसलिए (\(\sqrt{5}\)2=5), जो परिमेय है। चरण 3: \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) को (10) समझने की गलती न करें।
\(2\sqrt{6}\) can be written as \(\sqrt{4}\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
When moving a coefficient inside a square root, square the coefficient. चरण 1: \(2\sqrt{6}=\sqrt{4}\sqrt{6}\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए \(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\) है। चरण 3: गुणांक को मूल के अंदर ले जाते समय उसका वर्ग अंदर जाता है।
B. यह \(2\sqrt{3}\) के बराबर है और अपरिमेय है/It is equal to \(2\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(12=4\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
After simplification, if a non-square remains inside the root, the number stays irrational. चरण 1: \(12=4\times3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करने के बाद भी अंदर पूर्ण वर्ग न बचे तो संख्या अपरिमेय रहती है।
A negative sign changes direction, not rationality.
Step 2
Why this answer is correct
If (-x) were rational, then (x) would also be rational, which is false.
Step 3
Exam Tip
Treat the sign of a number and its type separately. चरण 1: ऋण चिह्न केवल संख्या की दिशा बदलता है, उसकी परिमेयता नहीं। चरण 2: यदि (-x) परिमेय हो, तो (x) भी परिमेय होगा, जो गलत है। चरण 3: संख्या के चिह्न और संख्या की प्रकृति को अलग-अलग समझें।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
\(\frac{7}{8}\) and (4.25) are terminating decimals.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{3}\) is non-terminating recurring. \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify square roots of non-perfect squares. चरण 1: \(\frac{7}{8}\) और (4.25) सांत दशमलव देते हैं। चरण 2: \(\frac{2}{3}\) असांत आवर्ती दशमलव देता है। \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए उसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। चरण 3: अपूर्ण वर्ग के वर्गमूल को तुरंत पहचानें।
A. \(x^2=5+2\sqrt{6}\), अपरिमेय/\(x^2=5+2\sqrt{6}\), irrational
Step 1
Concept
Use ((a+b)2=a-2+2ab+b-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}\), which has an irrational part.
Step 3
Exam Tip
Do not forget the middle term when squaring a sum of surds. चरण 1: ((a+b)2=a-2+2ab+b-2) का प्रयोग करें। चरण 2: \(x^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}\), जिसमें अपरिमेय भाग है। चरण 3: दो मूलों के योग का वर्ग करते समय बीच वाला पद न भूलें।
Rationalizing the denominator gives a cleaner exam answer. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)। चरण 3: हर को मूल से मुक्त करना परीक्षा में साफ उत्तर देता है।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the irrational nature of the surd. चरण 1: (3) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्णांक जोड़ने से मूल की अपरिमेयता समाप्त नहीं होती।
\(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), and \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{7}\) is a non-zero rational multiple of an irrational number, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify multiplication by zero as rational. चरण 1: \(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), और \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) परिमेय हैं। चरण 2: \(4\sqrt{7}\) में अशून्य परिमेय गुणक और अपरिमेय मूल है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: शून्य से गुणा वाले विकल्प को जल्दी परिमेय पहचानें।
A positive integer has a rational square root only when it is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{16}=4\), but \(\sqrt{18}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check perfect squares to decide the nature of a square root. चरण 1: धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी मिलता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: जैसे (16) का वर्गमूल (4) है, पर (18) का वर्गमूल अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की प्रकृति जानने के लिए पूर्ण वर्ग जाँचें।
A. यदि \(a^2\) सम है, तो (a) सम है/If \(a^2\) is even, then (a) is even
Step 1
Concept
In the proof for \(\sqrt{2}\), we assume \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(a^2=2b^2\), so \(a^2\) is even and hence (a) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity argument leads to a contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में मानते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) है। चरण 2: इससे \(a^2=2b^2\) मिलता है, इसलिए \(a^2\) सम है और (a) सम होगा। चरण 3: समता वाला यह तर्क विरोध तक पहुँचाता है।
Its square is (\(\sqrt{13}\)2=13), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number is not always irrational, so examine examples carefully. चरण 1: \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका वर्ग (\(\sqrt{13}\)2=13) परिमेय है। चरण 3: हर अपरिमेय संख्या का वर्ग अपरिमेय नहीं होता, इसलिए उदाहरण ध्यान से देखें।
\(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use the largest perfect square factor for quick simplification. चरण 1: \(72=36\times2\) है। चरण 2: \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड लेने से सरल रूप जल्दी मिलता है।
The denominator has \(\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Rationalizing gives \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\), a non-zero rational multiple of an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Rationalizing the denominator often reveals the number type clearly. चरण 1: हर में \(\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 2: हर को परिमेय बनाने पर \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) मिलेगा, जो अशून्य परिमेय गुणक के साथ अपरिमेय है। चरण 3: हर परिमेय बनाने से संख्या की प्रकृति साफ दिखती है।
(\(2+\sqrt{3}\)+\(5-\sqrt{3}\)=7) because \(\sqrt{3}\) and \(-\sqrt{3}\) cancel.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can produce a rational result. चरण 1: पहले समान अपरिमेय पदों को देखें। चरण 2: (\(2+\sqrt{3}\)+\(5-\sqrt{3}\)=7), क्योंकि \(\sqrt{3}\) और \(-\sqrt{3}\) कट जाते हैं। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों से परिमेय उत्तर बन सकता है।
From \(x^2=7\), \(x=\sqrt{7}\) or \(x=-\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Among the options, \(\sqrt{7}\) is present and it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Remember both positive and negative roots, then match the given options. चरण 1: \(x^2=7\) से \(x=\sqrt{7}\) या \(x=-\sqrt{7}\) हो सकता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में \(\sqrt{7}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल याद रखें, पर विकल्प के अनुसार चुनें।
If both radicands are perfect squares, the sum is easily rational. चरण 1: \(\sqrt{9}=3\) और \(\sqrt{16}=4\) हैं। चरण 2: इनका योग (7) परिमेय है। चरण 3: दोनों मूल यदि पूर्ण वर्गों के हों, तो योग आसानी से परिमेय बनता है।
B. अपरिमेय, क्योंकि परिमेय में से अपरिमेय घटा है/Irrational because an irrational is subtracted from a rational
Step 1
Concept
(3) is rational and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
A rational number minus an irrational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not classify the whole expression by looking only at the rational part. चरण 1: (3) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या में से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 3: केवल परिमेय पद देखकर पूरे व्यंजक को परिमेय न मानें।
In conjugate multiplication, the middle irrational terms cancel. चरण 1: यह संयुग्मी संख्याओं का गुणन है। चरण 2: (\(1+\sqrt{2}\)\(1-\sqrt{2}\)=1-\(\sqrt{2}\)2=1-2=-1)। चरण 3: संयुग्मी गुणन में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं।
In \(0.123123123\ldots\), the block (123) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check repetition. चरण 1: \(0.123123123\ldots\) में (123) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: केवल असांत देखकर अपरिमेय न मानें; आवर्तन जरूर जाँचें।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not combine separate square roots as \(\sqrt{39}\). चरण 1: \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 2: योग \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: अलग-अलग मूलों को सीधे जोड़कर \(\sqrt{39}\) न लिखें।
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{32}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) है। चरण 2: \(\sqrt{32}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक घटाएँ।
A. \(3\sqrt{11}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{11}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the coefficients, not the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक जोड़ें, मूल के अंदर की संख्या नहीं।
A non-terminating decimal can still be rational if it is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
In \(0.37373737\ldots\), the block (37) repeats, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check for a repeating block. चरण 1: असांत दशमलव परिमेय भी हो सकता है, यदि उसमें आवर्तन हो। चरण 2: \(0.37373737\ldots\) में (37) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: असांत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; आवर्ती भाग को ध्यान से पहचानें।
(ab=\(\sqrt{3}\)2-22=3-4=-1), which is rational and negative.
Step 3
Exam Tip
In conjugate multiplication, the middle irrational terms cancel. चरण 1: (a) और (b) संयुग्मी रूप में हैं। चरण 2: (ab=\(\sqrt{3}\)2-22=3-4=-1), जो परिमेय और ऋणात्मक है। चरण 3: संयुग्मी गुणन में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so \(\sqrt{75}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Options where like terms cancel completely may give rational zero. चरण 1: पहले हर मूल को सरल करें। चरण 2: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए \(\sqrt{75}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: जिन विकल्पों में समान पद पूरी तरह कट रहे हों, वे शून्य परिमेय दे सकते हैं।
If (k) is a perfect square, then \(\sqrt{k}\) is rational and the fraction becomes rational.
Step 2
Why this answer is correct
(18) is not a perfect square, so \(\sqrt{18}\) is irrational and \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first check whether (k) is a perfect square. चरण 1: यदि (k) पूर्ण वर्ग हो, तो \(\sqrt{k}\) परिमेय होगा और भिन्न परिमेय बन जाएगी। चरण 2: (18) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) भी अपरिमेय रहेगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले (k) के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) are both irrational and different.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A common irrational factor can cancel in a quotient. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं और अलग-अलग हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\), जो परिमेय है। चरण 3: भागफल में समान अपरिमेय गुणनखंड कट सकता है।
On simplifying, \(x-4=\sqrt{6}\), and since (6) is not a perfect square, \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
When rational terms cancel, check the nature of the remaining radical. चरण 1: (x-4=\(4+\sqrt{6}\)-4) है। चरण 2: सरल करने पर \(x-4=\sqrt{6}\), और (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: व्यंजक में परिमेय पद कट जाए तो बचे हुए मूल की प्रकृति देखें।
